线性变换的定义.pptx
图 6.1例1在二维几何空间中，令是将每个向量旋转角的一个旋转变换（见图6.1）一.定义及例子容易看出：对任意向量,及实数 k 均有(+)()+()(k)k()1.两个实例第1页/共23页容易看出：对任意向量,及实数 k 均有(+)()+()(k)k()例2在中，H是过原点的一个平面.令是对平面H的正投影变换（图6.2）图6.2第2页/共23页定义1设V是数域F上的一个线性空间，是V的一个变换，如果它满足以下两个条件：（1）对任意的,V，有(+)()+()；（2）对任意的kF，有(k)=k().则称是向量空间V的一个线性变换2.定义第3页/共23页例3 对 的每个向量，规定是 的一个变换，我们证明它是一个线性变换1）对于 的任意两个向量 ，与 ，有(+)=(x1+y1,x2+y2,x3+y3)3.一些例子=(x1+y1,3(x1+y1)-(x2+y2),(x2+y2)+(x3+y3)第4页/共23页2)对任意数 kF，则有(k)=(kx1,kx2,kx3）=(kx1,3kx1-kx2,kx2+kx3)=k(x1,3x1-x2,x2+x3)=k()因此，是F3的一个线性变换=(x1,3 x1-x2,x2+x3)+(y1,3 y1-y2,y2+y3)=()+()第5页/共23页=(1,0,0),=(2,0,0),+=，()=,()=,()+()=,而(+)=,(+)_()+().如果在F3中规定()(x12,3 x1-x2，x2+x3）那么就不是F3的线性变换.(3,0,0)(1,3,0)(4,6,0)(5,10,0)(9,9,0)第6页/共23页例4在Mn(F)中,对任意的n阶方阵X,规定 (X)=AXB，其中A和B为F上两个固定的 方阵.由于：1）对任意的X、YMn(F)，则有(X+Y)=;A(X+Y)BAXB+AYB(X)+(Y)2)对任意的kF，有(kX)=A(kX)Bk(AXB)k(X)所以,是 Mn(F)的一个线性变换.第7页/共23页特别地，若A=B,则(X)=BXB,是Mn(F)的一个线性变换；若B可逆，且A=B-1,则(X)=B-1XB,也是Mn(F)的一个线性变换.第8页/共23页例5设V是数域F上的一个线性空间，取定F中的 一个数k，对任意的V，规定()k.当k1时，是V的恒等变换；是V的一个线性变换，叫做V的一个数乘（或 位似）变换.因此，恒等变换及零变换都是线性变换.当k0时，是V的零变换.第9页/共23页例7设Ca,b是定义在a,b上的一切连续函数作成的R上的线性空间.对任意的f(x)Ca,b,规定J(f(x).例6在Fx中，令D(f(x)=f(x)容易验证，D是Fx的一个线性变换，称为F x的微商变换（或微分变换）.J(f(x)仍是a,b上的连续函数线性变换，叫做Ca,b的积分变换.J是Ca,b的一个第10页/共23页二.线性变换的基本性质 1)线性变换把零向量变成零向量；把任一向量的负向量-变成的象()的负向量-().证 任取一向量，有(0)(0)0()0 所以(-)-()()+(-)(-)(0)0，第11页/共23页2)定义1中的条件(1),(2)与以下条件等价：(3)对任意的a,bF,V，有 (a+b)a()+b().3）线性变换保持线性关系式，即对于V，若有k1,k2,knF,及1,2,n V使得 k11+k22+knn则 ()k1(1)+k2(2)+kn(n),第12页/共23页特别地，当0时，有K1(1)+k2(2)+kn(n)0.若k1，k2，kn 不全为0，则得性质：4)线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.5)设是V的一个线性变换,V是V的子空间.V在下的象集合,记作(V),即(V)=()V.则(V)是V的一个子空间.第13页/共23页证对任意的，(V)总有,V使(),().由于是线性变换，所以，对任意的a,bF,有 a +b a()+b()(a+b).但V 是 V 的子空间，a+bV,因而 a +b (V),故(V)是V 的一个子空间.特别地，(V)是V的子空间，称为的象，可用Im()表示.第14页/共23页6）设是V的一个线性变换，W是V的一个 子空间，则W在之下的原象集合 V（）W 是V的一个子空间 特别地，零子空间0在之下的原象集是 V的一个子空间，称为的核，用ker()表示.即 ker()V()0第15页/共23页VVker()O图6.4我们用图6.3和图6.4分别表示子空间Im()和ker().VVIm()图6.3O第16页/共23页性质5）和性质6）可总括为：在线性变换之下，向量空间V的 子空间的象集和原象集都是V的子 子空间.第17页/共23页的求解问题，用线性变换的话来说，就是求向量 的原象的问题.线性方程组例8在 中，令 ()A,是 中任意的向量，A是确定的F上的n阶方阵.则 是 的一个线性变换.而解齐次线性方程组就相当于求线性变换 的核.第18页/共23页容易看出Im()=L(A1,A2,An)=L(1,2,n)其中而1,2,n是A的列向量.第19页/共23页习题6.11.判断以下的变换是否是线性变换，说出理由1)在R3中,(x1,x2,x3)=(0,x1+x2-3 x3,2x1-x2-2x3);2)在Q3中,(x1,x2,x3)=(,x2-x3,3)在线性空间V中，(),是V中固定 的一个向量；4)在线性空间V中,()+,是V中 固定的一个向量；第20页/共23页 5）在Mn(F)中，(X)XA+AX,其中A是Mn(F)中固定的一个方阵；6）在Fx,(f(x)=f(x+1)-f(x);7)在由实数域R上的所有次数不超过n的多项式及 零多项式构成的线性空间Rnx中，(f(x)=xf(x)；8）把复数域C看成它自己的线性空间,令 ()=,C,是的共轭复数第21页/共23页 2.设是数域F上的线性空间V的一个变换，证明：是线性变换的充要条件是，对任意 的a、bF 和任意,V都有 (a+b)=a()+b().3.证明：线性空间V的子空间W在V的线性变 换下 的原象仍是V的子空间.第22页/共23页感谢您的观看！第23页/共23页
