三重积分及重积分应用.pptx
会计学1三重积分及重积分应用三重积分及重积分应用x0z y为图示曲顶柱体一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出第1页/共80页x0z y第2页/共80页第3页/共80页x0z yz2(x,y)为图示曲顶柱体I=P.积分区域是曲顶柱体Dz1(x,y)三、直角坐标系下三、直角坐标系下三、直角坐标系下三、直角坐标系下三重积分的计算三重积分的计算三重积分的计算三重积分的计算这就化为一个定积分和这就化为一个定积分和一个二重积分的运算一个二重积分的运算如图，第4页/共80页三重积分化为三次积分的过程：得到先z后y再x第5页/共80页三重积分化为三次积分的过程：得到先z后x再y第6页/共80页第7页/共80页第8页/共80页解第9页/共80页解第10页/共80页前面介绍的方法称为先一后二法或穿针、切丝法第11页/共80页第12页/共80页即 第13页/共80页第14页/共80页解第15页/共80页原式第16页/共80页四四四四、利用柱面坐标计算三重积分、利用柱面坐标计算三重积分规定：简单地说，柱面坐标就是xoy 面上的极坐标+z 坐标第17页/共80页柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平 面第18页/共80页如图，柱面坐标系中的体积元素为再根据 中 z，r，的关系，化为三次积分。一般，先对 z 积分，再对 r，最后对 积分。第19页/共80页由前面的讨论可知:在柱面坐标系下三重积分可表示为解 第20页/共80页10 xz yDxy1解 第21页/共80页0 xz y1Dxy11解 第22页/共80页五、三重积分的球面坐标计算法五、三重积分的球面坐标计算法五、三重积分的球面坐标计算法五、三重积分的球面坐标计算法0 xz yM(r,)rNyxz 空间任一点 M 还可用有序数组(r,)来表示.(r,)也称为点M 的球面坐标.圆锥面；球 面；半平面且第23页/共80页球面坐标与直角坐标的关系为如图，第24页/共80页球面坐标系中的体积元素为如图，一般，先对 r 积分，再对 ，最后对 积分。第25页/共80页解一、直角坐标系下 二、柱面坐标系下 三、球面坐标系下 第26页/共80页第27页/共80页第28页/共80页解第29页/共80页补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的奇偶性第30页/共80页解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是 的奇函数,第31页/共80页解第32页/共80页第33页/共80页三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）六、小结六、小结第34页/共80页复习 三重积分的计算法 1.三重积分的直角坐标计算法2.三重积分的柱面坐标计算法3.三重积分的球面坐标计算法截面计算法 第35页/共80页解法1：先一后二 第36页/共80页解法2：先二后一解法3：柱坐标第37页/共80页解法4：球坐标第38页/共80页思考题第39页/共80页练 习 题第40页/共80页第41页/共80页练习题答案第42页/共80页 第四节 重积分的应用一、问题的提出二、曲面的面积三、质心四、转动惯量五、引力六、小结 思考题第43页/共80页重积分应用重积分应用重积分应用重积分应用问题问题问题问题1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的方法 第44页/共80页一、一、一、一、从定积分定义出发可从定积分定义出发可从定积分定义出发可从定积分定义出发可解决的问题解决的问题解决的问题解决的问题第45页/共80页二、曲面的面积二、曲面的面积第46页/共80页1.设曲面的方程为：在D上偏导数连续设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为曲面S的面积元素)则第47页/共80页故有曲面面积公式即2.若光滑曲面方程为则有3.若光滑曲面方程为 则有第48页/共80页【例1】【解】第49页/共80页在D上无界第50页/共80页于是 半个球面的面积为整个球面的面积为【注】反常二重积分第51页/共80页【解】补充动画演示第52页/共80页第53页/共80页【解】解方程组得两曲面的交线为圆周在 平面上的投影域为第54页/共80页第55页/共80页例4.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A.azoxyz=x y.第56页/共80页axz y0第57页/共80页DaaaaxoyDxz y0第58页/共80页2xzyo第59页/共80页xzy2问题：曲面向哪个坐标面投影？o只能向只能向zoxzox平面投影平面投影第60页/共80页xzy2Dxzo第61页/共80页xzy2Dxzo第62页/共80页三、质心三、质心三、质心三、质心1.平面薄片的质心第63页/共80页当薄片是均匀的，重心称为形心.由元素法(二重积分表示)第64页/共80页【解】第65页/共80页【解】第66页/共80页【例8】薄片关于 轴对称【解】第67页/共80页2.空间物体的质心其中（推广）(三重积分表示)第68页/共80页四、转动惯量四、转动惯量1.平面薄片的转动惯量 第69页/共80页薄片对于 轴的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量第70页/共80页【解】第71页/共80页第72页/共80页2.空间立体的转动惯量点到x轴的距离平方点到原点的距离平方第73页/共80页【例10】【解】第74页/共80页第75页/共80页薄片对 轴上单位质点的引力为引力常数五、引力五、引力第76页/共80页【解】由积分区域的对称性知第77页/共80页所求引力为【推广】空间立体对质点的引力（略）第78页/共80页【几何应用】曲面的面积【物理应用】质心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结六、小结第79页/共80页
