概率统计2-4(1).ppt
2.42.4几种重要的离散型分布几种重要的离散型分布n二项分布二项分布n超几何分布超几何分布n泊松分布泊松分布 在这一节里，我们将集中讨论几种常用的离散型分布。前面提到的两点分布、0-1分布是最简单的离散型分布，它们描述的是只有两种对立结果的随机试验。下面我们将介绍另几种常用离散型分布，它们之间有密切而深刻的内在联系。1n重伯努利试验重伯努利试验n我们前面提到的我们前面提到的0-1分布所对应的随机试验称伯分布所对应的随机试验称伯努利试验或伯努利概型努利试验或伯努利概型,即随机试验可能出现的即随机试验可能出现的结果只有对立的两种状态结果只有对立的两种状态,一种记为一种记为x x=1,其概率其概率为为p,另一种记为另一种记为x x=0,其概率为其概率为1-p。n其概率分布表为其概率分布表为x x01P1-ppn 现在我们考虑将上述伯努利试验独立地重复现在我们考虑将上述伯努利试验独立地重复n次，观测其中一种状态出现的次数次，观测其中一种状态出现的次数X，这这n次作为次作为一个整体的试验叫做一个整体的试验叫做n重伯努利试验。重伯努利试验。2n n重伯努利试验重伯努利试验n例：例：设某射手每次射击的中靶率为设某射手每次射击的中靶率为p（0p1）,该射手射击该射手射击n次。现在考察这次。现在考察这n次次射击中中靶次数射击中中靶次数X的分布。则这是一个的分布。则这是一个n重伯重伯努利试验。努利试验。n定义定义:设将试验独立重复进行设将试验独立重复进行n次，每次试验次，每次试验中，事件中，事件A发生的概率均为发生的概率均为p（0p1），则，则称这称这n次试验为次试验为n重伯努利试验。重伯努利试验。(更一般化的更一般化的定义定义)3引例引例例例:某射手在相同条件下独立地进行某射手在相同条件下独立地进行5次射击次射击,每次击中目标每次击中目标的概率是的概率是0.6,求击中目标次数求击中目标次数X的概率分布。的概率分布。解解:X的可能取值为的可能取值为0,1,2,3,4,5,设事件设事件Ai表示第表示第i(i=1,2,.,5)次射次射中中,则则Ai相互独立相互独立,PX=0=(1-0.6)5=0.45PX=1=50.6(1-0.6)4类推可得:i=0,1,2,3,4,52354P10X4二项分布二项分布n定义:如果随机变量X的分布律为：其中0pEX2=DX+(EX)2=npq+n2p2n例.设X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每 次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望E(X2)=DX+(EX)2=npq+n2p2=2.4+16=18.46二项分布数学期望的推导二项分布数学期望的推导7二项分布数学方差的推导二项分布数学方差的推导计算二项分布的方差X,考虑EX(X-1)=EX2-EX 8续上页续上页令i=k-2即EX2-EX=n2p2-np2,因此EX2=n2p2-np2+npDX=EX2-(EX)2=np-np2=np(1-p)=npq9二项分布的最可能值二项分布的最可能值n n设设XB(n,p),X取值为取值为0,1,.,n,使得概率使得概率PX=k最大的最大的k,记为记为k0,称为二项分布的最可能值称为二项分布的最可能值其中其中（n+1）p表示不超过（表示不超过（n+1）p的最大整数的最大整数.例如例如:若若XB(4,0.8),（n+1）p=50.8=4,所以所以,PX=4和和PX=3的概率值最大的概率值最大若若XB(10,0.8),（n+1）p=110.8=8.8,所以所以,PX=8的概率值最大的概率值最大8.8=8演示二项分布概率分演示二项分布概率分布图验证以上结论布图验证以上结论k0k0+1k0+2k0-1k0-2.10结论的证明结论的证明证:其中。考虑比值由此可知：11例题与解答例题与解答n例1:一批产品的废品率p=0.03,进行20次重复抽样(每次抽一个,观察后放回去再抽下一个),求出现废品的频率为0.1的概率.n解 令X表示20次重复抽取中废品出现的次数,X B(20,0.03)12例题与解答例题与解答n例2.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3。(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律。(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。n解:(1)由题意,XB(6,1/3),于是,X的分布律为:13二项分布的查表计算二项分布的查表计算n n对较小的对较小的n,p(一般一般n40,p0.4)查分布函数表查分布函数表nPXa=F(a);PXa=1-F(a);nPXa=PXa-1=F(a-1);nPX=a=F(a)-F(a-1)14查表计算示例查表计算示例n例3.设某人射击的命中率为0.4,连续射击10次,求(1)平均射中次数;(2)最多射中2次的概率;(3)至少射中2次的概率;(4)射中4次的概率值.n解:设射中次数为随机变量X,则XB(10,0.4),(1)EX=np=4,即平均射中次数为4次.(4)PX=4=PX4-PX3=F(4)-F(3)=0.6331-0.3823=0.2508(2)PX2=F(2),查分布函数表得:PX2=0.1673(3)PX2=1-PX2=1-PX1=1-F(1)=1-0.0464=0.953615二项分布的变换二项分布的变换n若n较小,p较大,应用以下定理:n定理 若XB(n,p),且Y=n-X,则YB(n,q),其中q=1-p.n证明:PY=m=Pn-X=m=PX=n-m所以,YB(n,q)一般地,若若n n40,40,p p0.6,0.6,由定理可得由定理可得:PPX X m m=PPn n-Y Y m m=PPY Y n n-m m PPX X=m m=PPn n-Y Y=m m=P=PY Y=n n-m m PPX X m m=P=PX X m m-1=P-1=Pn n-Y Y m m-1=P-1=PY Y n n-m m+1+1对随机变量对随机变量对随机变量对随机变量Y Y可查分布可查分布可查分布可查分布函数表取得函数表取得函数表取得函数表取得.16例题与解答例题与解答n例4.设某人射击的命中率为0.8,连续射击10次,求(1)最多射中2次的概率;(2)至少射中2次的概率;(3)射中4次的概率值.n解:设射中次数为随机变量X,则XB(10,0.8),令Y=10-X,则YB(10,0.2)(1)PX2=P10-Y2=PY8=1-F(7)=1-0.9999=0.00001(2)PX2=P10-Y2=PY8=F(8)1,(3)PX=4=PY=6=0.0112n若n较大,p接近于0,可转换为Possion分布(*后面介绍)17例题与解答例题与解答n例5.某班有学生20名,其中有5名女同学,今从班上任选4名学生去参观展览,被选到的女同学数X是一个随机变量,求X的分布.n解:X可取0,1,2,3,4这5个值,相应概率为18超几何分布超几何分布n定义:设N个元素分为两类,有N1个元素属于第一类,N2个元素属于第二类(N1+N2=N).从中按不重复抽样取n个,令X表示这n个中第一(或二)类元素的个数,则X的分布称为超几何分布,分布参数为n，N1，N2.其概率函数为:19超几何分布超几何分布vs二项分布二项分布n二项分布是放回抽样,而超几何分布是不放回抽样.n当在不放回抽样时,超几何分布中的N1/N相当于二项分布中的参数p,N2/N相当于二项分布中的q=1-p.n超几何分布也可以和二项分布一样看作是n个0-1分布的随机变量Xi的和,i=1,2,.,n,Xi表示第i次抽样抽到第一类元素的事件的次数,根据抽签原理PXi=1=N1/N,但如果i j,Xi与Xj相互之间是不独立的.20超几何分布的数学期望超几何分布的数学期望EXnEX=n(N1/N)可以认为与二项分布期望一样。n证明：21超几何分布的方差超几何分布的方差 DXnDX=n(N1/N)(N2/N)(N-n)/(N-1)。n证明:(先算出EX(X-1)=n(n-1)(N1/N)(N1-1)/(N-1)22超几何分布中超几何分布中EX(X-1)的计算的计算23例题与解答例题与解答n例6.一批产品20件，其中3件优质品，从中一次取4件，取到优质品数记为X，求X的概率分布及期望方差。n解：据题意，X服从超几何分布，N1=3，N2=17，n=4，则X0123P0.4910.4210.0840.004EX=3/5,DX=0.429524超几何分布的实际应用情况超几何分布的实际应用情况n元素的个数N是相当大的,例如,从中国人中任抽几千个人观察,从一个工厂的几十万件产品中任抽几千件观察,等等。n而在N非常大的情况下,放回抽样和不放回抽样的结果几乎是相同的。因此有,当当N很大很大,n相对较小相对较小(一般：一般：n/N 5%)的时候的时候,超几何分超几何分布可用二项分布来近似。布可用二项分布来近似。n换句话说,当当N趋于无穷时趋于无穷时,超几何分布的极超几何分布的极限是二项分布限是二项分布。25超几何分布与二项分布关系超几何分布与二项分布关系n n对固定的对固定的n,当当N,(N1/N)p时时,有有PX=m=26例题与解答例题与解答n例7 一大批种子的发芽率为90%,今从中任取10粒,求播种后,(1)恰有8粒发芽的概率;(2)不少于8粒发芽的概率.解 设10粒种子中发芽的数目为X.因10粒种子是由一大批种子中抽取的,这是一个N很大,n相对于N很小的情况下的超几何分布问题,可用二项分布近似计算.其中n=10,p=90%,q=10%,k=827泊松泊松(Poisson)分布分布n n定义定义:如果随机变量如果随机变量X的概率函数是的概率函数是则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布。的泊松分布。28泊松分布的应用背景泊松分布的应用背景n泊松分布常见于所谓稠密性的问题中,如一段时间内,电话用户对电话台的呼唤次数,候车的旅客数,原子放射粒子数,织机上断头的次数,以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等。n另外,对成功率为p的 n重Bernoulli实验,只要n比较大,p较小(n100,p0.1)时,可以通过随后将介绍的“泊松定理”,转化为近似服从泊松分布的问题而得到解决。所以泊松分布的应用非常广泛。29泊松定理泊松定理n nPoisson定理：在定理：在n重重Bernoulli实验中实验中,成功次成功次数数X服从二项分布服从二项分布,设每次实验成功的概率为设每次实验成功的概率为pn(0pn1),且且 则有则有泊松定理表明泊松定理表明泊松定理表明泊松定理表明,泊松分布是二项分布的极限分布泊松分布是二项分布的极限分布泊松分布是二项分布的极限分布泊松分布是二项分布的极限分布,当当当当n n很大很大很大很大,p p很小时很小时很小时很小时,二项分布就可近似地看成是参数二项分布就可近似地看成是参数二项分布就可近似地看成是参数二项分布就可近似地看成是参数 =npnp的泊松分布。的泊松分布。的泊松分布。的泊松分布。(n n100,100,p p0.10）的Poisson分布，当k为何值时，PX=k取最大值？n解：考虑比值由此可知所以有33例题与解答例题与解答n例9.随机变量X服从泊松分布,EX=5,查表求PX=2,PX=5,PX=20n解 因泊松分布的参数就是它的期望值,故=5,查书后附表,有P5(2)=0.084224,P5(5)=0.175467,P5(20)=034例题与解答例题与解答n例10.枪击飞机,每次命中目标的概率为0.001,连续射击5000次,求击中2弹或2弹以上的概率。n解:设命中次数为X,XB(5000,0.001),n较大,p较小,应用Possion定理,=np=5,所求为PX2=1-PX2 =1-PX=0-PX=1由Excel可得:PX=00.0067,PX=10.0337所以,PX21-0.0067-0.0337=0.959635例题与解答例题与解答n例11.一大批产品的废品率为p=0.015,求任取一箱(有100个产品),箱中恰有一个废品的概率。n解 所取一箱中的废品个数X服从超几何分布,由于产品数量N很大,可按二项分布公式计算,其中n=100,p=0.015。但由于n较大而p很小,可用泊松分布公式近似代替二项分布公式计算,其中=np=1.5。查表得:P1.5(1)=0.334695误差不超过1%。36例题与解答例题与解答n例12.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。n解:由题意37作业作业n习题二n55，56，58，60，6138浙江财经学院本科教学课程浙江财经学院本科教学课程-经济数学经济数学(三三)概率统计39
