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第三章数字特征本讲稿第一页，共四十一页解：直接比较，难知两射手技解：直接比较，难知两射手技术的优劣。故只能也只需找出术的优劣。故只能也只需找出更能集中、突出地描述两射手更能集中、突出地描述两射手技术水平的技术水平的数字特征数字特征。让我们先来研究概率论中刻划让我们先来研究概率论中刻划平均值平均值的数字特征。的数字特征。例：甲乙两人各射击例：甲乙两人各射击1000次，射击情况如表次，射击情况如表1所示。试问甲乙二人谁的所示。试问甲乙二人谁的水平较高？水平较高？表表1 1 甲甲 525 200 50 100 75 50 乙乙 400 200 245 155 0 0环数环数x i 10 9 8 7 6 5不难计算出两射手命中目标的不难计算出两射手命中目标的“平均环数平均环数”分别为分别为从平均环数看，甲比乙水平高一点。从平均环数看，甲比乙水平高一点。频频率率以频率为权数的加权平均值本讲稿第二页，共四十一页不难看出，由于频率的随机性，如果让甲乙二人再各射击不难看出，由于频率的随机性，如果让甲乙二人再各射击1000次次 同样计同样计算，结果一般不会相同。算，结果一般不会相同。若令若令fi表示频率，则上述二式可表示为表示频率，则上述二式可表示为由概率的统计定义知道，在大量试验下频率由概率的统计定义知道，在大量试验下频率fi概率概率pi稳定于稳定于从而从而稳定于稳定于表表2 2P(X1=x i)0.526 0.2 0.05 0.1 0.074 0.05环数环数x i 10 9 8 7 6 5P(X2=x i)0.398 0.2 0.245 0.157 0 0 若若甲、乙的命中环数甲、乙的命中环数X1,X2 的的分布列如表分布列如表2 所示，所示，概概率率以概率为权数的加权平均值则则本讲稿第三页，共四十一页第一节第一节数学期望数学期望（均值）（均值）一一离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望定义定义：设离散型随机变量：设离散型随机变量X的概率函数为的概率函数为P(X=x i)=pi i=1,2,若级数若级数绝对收敛绝对收敛，则称，则称为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望简称简称期望期望或或均值均值。记作。记作E X，即即E X=如果级数如果级数 不绝对收敛，则称随机变量不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在的数学期望不存在数学期望的直观含义：平均值数学期望的直观含义：平均值本讲稿第四页，共四十一页第第2题：题：离散型随机变量离散型随机变量X的概率函数为的概率函数为问问X是否有数学期望是否有数学期望?解解:级数发散级数发散,所以所以X没有数学期望没有数学期望.相关知识相关知识:p-级数级数:p1时级数收敛时级数收敛,p1时级数发散时级数发散.本讲稿第五页，共四十一页例：例：一批产品中有一、二、三、四等品、废品一批产品中有一、二、三、四等品、废品5种种,相应的概率分别为相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06、0.04，若其产值分别为若其产值分别为6元、元、5.4元、元、5元、元、4元、元、0 元。产值元。产值X是一个随机变量，其分布如表是一个随机变量，其分布如表3求：求：产品的平均产值。产品的平均产值。第第5题题：设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率函数为的概率函数为解：解：EX=6 0.7+5.4 0.1+5 0.1+4 0.06+0 0.04=5.48(元元)解：解：0.040.060.10.10.7P0455.46X表表3求：求：EX 本讲稿第六页，共四十一页记为记为设连续型随机变量设连续型随机变量X 的概率密度为的概率密度为 ，若积分若积分绝对收敛，则称积分绝对收敛，则称积分为为X的的数学期望数学期望。例例：计算在区间：计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量X的数学期望的数学期望解：解：依题意依题意二二 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望本讲稿第七页，共四十一页例：例：设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为 的指数的指数分布，求分布，求X 的数学期望的数学期望则则解：解：指数指数分布分布的密度函数为的密度函数为这表明这表明指数指数分布分布的数学期望为的数学期望为。例：例：设设 X N(,2)，求，求 X 的数学期望。的数学期望。解：解：这表明这表明正态分布正态分布的数学期望为的数学期望为 。本讲稿第八页，共四十一页定理定理3.13.1：设设Y=g(X)，g(x)是连续函数，那么是连续函数，那么(2)若若X为连续型随机变量，其为连续型随机变量，其密度函数为密度函数为f(x)，(1)若若X为离散型随机变量，其概率函数为为离散型随机变量，其概率函数为求 E Y 时，可以不求Y=g(X)的分布，而直接利用X 的分布。三三 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望本讲稿第九页，共四十一页 解：解：例：例：设随机变量设随机变量X的分布列为的分布列为求：求：EX2，E(2X-1)。P 1/8 1/4 3/8 1/4X -1 0 2 3例：例：求：求：EY 解：解：本讲稿第十页，共四十一页定理定理3.23.2若若(X,Y,Y)是二维随机变量，是二维随机变量，Z=Z=g(X,Y,Y)(1)若若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布为为二维离散型随机变量，其联合分布为(2)若若(X,Y)为二维连续型随机变量，联合密度函数为为二维连续型随机变量，联合密度函数为f(x,y)且且本讲稿第十一页，共四十一页解：解：设设(X,Y)的联合密度为的联合密度为例：例：求：求：EXY设设(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为例：例：求：求：E(X+Y)XY 1 2 1 2 3 0.1 0.30.150.2 00.25 解：解：(1+1)0.1+(1+2)0.2+(1+3)0+(2+1)0.3+(2+2)0.15+(2+3)0.25=3.55本讲稿第十二页，共四十一页性质性质1：常量的期望就是这个常量本身常量的期望就是这个常量本身,即即E(c)=c.推论推论：E(EX)=EX性质性质2：随机变量随机变量X与常量与常量c 之和的数学期望等于之和的数学期望等于X的期望与这个常量的期望与这个常量c 的和的和E(X+c)=EX+c四四数学期望的性质数学期望的性质性质性质3：常量常量c与随机变量与随机变量X的乘积的期望等于的乘积的期望等于 c与与X的期望的乘积，的期望的乘积，E(cX)=cEX 本讲稿第十三页，共四十一页性质性质4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数，即的同一线性函数，即E(kX+c)=k EX+c证：证：E(kX+c)=E(kX)+c=kEX+c性质性质5：两个随机变量之两个随机变量之和（差）的数学期望和（差）的数学期望等于这两个随机变量等于这两个随机变量数学期望的数学期望的和（差）和（差）E(X Y)=EX EY本讲稿第十四页，共四十一页推论：推论：对任意常数对任意常数ci(i=1,2,n)、常数、常数b及及随机变量随机变量Xi(i=1,2,n)特别地，特别地，n 个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量，其期望值个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量，其期望值等于这等于这n 个随机变量期望的算术平均数。个随机变量期望的算术平均数。性质性质6：两个两个相互独立相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积,即即E(XY)=EXEY本讲稿第十五页，共四十一页解：解：EX=9 0.3+10 0.5+11 0.2=9.9 EY 2=62 0.4+72 0.6=43.8例：例：两两相互独立相互独立的随机变量的随机变量X,Y 的分布如下面两表所示。的分布如下面两表所示。0.20.50.3P11109X0.60.4P76Y求：求：E(X+Y )、E(XY )和和EY2且且因因X与与Y 相互独立，所以相互独立，所以E(XY)=EXE E Y=9.9 6.6=65.34则则E(X+Y)=EX+EY=9.9+6.6=16.5 EY =6 0.4+7 0.6=6.6设设(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为例：例：求：求：E(X+Y)XY 1 2 1 2 3 0.1 0.30.150.2 00.25 解：解：0.250.350.4P321Y 0.70.3P21XEX=1 0.3+2 0.7=1.7EY=1 0.4+2 0.35+3 0.25=1.85E(X+Y)=EX+EY=1.7+1.85=3.55本讲稿第十六页，共四十一页第二节第二节 方方 差差解解：甲、乙两块手表，日走时甲、乙两块手表，日走时误差误差分别为随机变量分别为随机变量X1,X2（单位：秒），其概率函数分别（单位：秒），其概率函数分别如表如表1、表表2所示。试比较两块所示。试比较两块手表的优劣？手表的优劣？例例：P 0.1 0.8 0.1X1 -1 0 1 表表1P 0.2 0.6 0.2 X2 -1 0 1 表表2从从平均值平均值意义上意义上看，两块手表质看，两块手表质量相同。量相同。从从离散程度离散程度意义意义上看，甲表质量上看，甲表质量优于乙表。优于乙表。方差方差本讲稿第十七页，共四十一页 一一 方差的定义方差的定义随机变量X 的方差记作 DX 或 VarX，即方差方差的定义：的定义：标准差的定义：标准差的定义：称为X的标准差（均方差）DX =E(X-EX)2 随机变量的随机变量的方差是非负数方差是非负数，即，即DX 0，粗略地讲，粗略地讲，当当X 的可能取值密集的可能取值密集在它的期望值在它的期望值 EX 附近时，方差较小，反之方差则较大。因此方差的大小可以附近时，方差较小，反之方差则较大。因此方差的大小可以表示随机变量分布的离散程度。表示随机变量分布的离散程度。本讲稿第十八页，共四十一页 二 方差的计算公式方差的计算公式方差的计算公式：方差的计算公式：证：证：DX =E(X -EX )2=EX 2-2X EX+(EX )2 =EX 2-E(2X EX)+E(EX )2=EX 2-2EX (EX)+(EX)2=EX 2-(EX )2如果如果X是连续型随机变量，并且有密度函数是连续型随机变量，并且有密度函数f(x)，则则如果如果X是离散型随机变量，并且是离散型随机变量，并且PX=xk=pk(k=1,2,)，则则DX =E(X-EX)2本讲稿第十九页，共四十一页甲、乙两块手表，日走时误差分别为随机变量甲、乙两块手表，日走时误差分别为随机变量X1,X2,其概率函数分别其概率函数分别如表如表1、表表2所示。试比较两块手表的优劣？所示。试比较两块手表的优劣？例例：P 0.1 0.8 0.1X1 -1 0 1 表表1P 0.2 0.6 0.2 X2 -1 0 1 表表2解解：本讲稿第二十页，共四十一页例例：计算在区间：计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量X 的方差的方差解：解：依题意依题意例例：2x 0 x1已知已知Xf(x)=求：求：DX 0 其他其他解解：本讲稿第二十一页，共四十一页因因 DX=EX 2-(EX )2=0.15 ax2+bx+c 0 x 0，DY 0，则称则称 为为X,Y 的线性相关系数，简称相关系数，记作的线性相关系数，简称相关系数，记作 X,Y 或或 XY 或或 。即：。即：二二 相关系数相关系数本讲稿第三十页，共四十一页例：设二维随机变量例：设二维随机变量(X,Y)的联合分布如下表所示，的联合分布如下表所示，求求 X,Y XY-1 0 1 1 0 0.2 0.1 2 0.3 0.4 0解：可求出解：可求出X,Y的边缘分布：的边缘分布：X 1 2Y-1 0 1P 0.3 0.7P 0.3 0.6 0.1EX=1 0.3+2 0.7=1.7 EY=-0.2Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=-0.5-1.7(-0.2)=-0.16本讲稿第三十一页，共四十一页解：解：例：设二维连续型随机变量例：设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为：的联合密度为：x+y 0 x 1,0 y 1 f(x,y)=0 其他其他求：求：X,Yx+1/2 0 x 1 fX(x)=0 其他其他y+1/2 0 y 1 fY(y)=0 其他其他本讲稿第三十二页，共四十一页2 2 相关系数的性质相关系数的性质性质性质1：x,Y=Y,X ax,aY=X,Y性质性质2：|1性质性质3：|=1 的充要条件是的充要条件是X与与Y 以概率以概率 1 存在线性关系。存在线性关系。即存在常数即存在常数 a,b 使得使得 P(Y=aX+b)=1|=1称称X 与与Y 完全线性相关完全线性相关 =1 完全正相关完全正相关 =-1 完全负相关完全负相关|1X与与Y 之间线性相关的程度随着之间线性相关的程度随着|的减少而减弱的减少而减弱 =0称称X 与与Y 不相关或零相关不相关或零相关相关系数相关系数 是刻划随机变量是刻划随机变量X,YX,Y之间线性关系强弱的特征数之间线性关系强弱的特征数 注注:由于由于 =0等价于等价于Cov(X,Y)=0,所以判断所以判断X,Y是否相关是否相关,只需判断只需判断Cov(X,Y)是否为是否为0本讲稿第三十三页，共四十一页注：注：X 与与Y 独立独立，则，则X 与与Y 不相关（不相关（=0）。但反之不成立）。但反之不成立若若(X,Y)N(1,2,12,22,)X 与与Y 独立等价于独立等价于 X与与Y 不相关（不相关（=0）本讲稿第三十四页，共四十一页第四节第四节 矩矩1原点矩原点矩定义：随机变量定义：随机变量X的的k次幂的数学期望叫做随机变量次幂的数学期望叫做随机变量X的的k阶原点矩阶原点矩记做记做 k，即即对离散型随机变量对离散型随机变量X，设概率函数为设概率函数为P(X=xi)=pi,（i=1，2，)则则对连续型随机变量对连续型随机变量X，密度函数为密度函数为f(x)，则则本讲稿第三十五页，共四十一页定义：定义：X-EX的的k次幂的数学期望叫随机变量次幂的数学期望叫随机变量X的的k阶中心矩。阶中心矩。记做记做 k，即即对离散型随机变量对离散型随机变量X，设概率函数为设概率函数为P(X=xi)=pi，（，（i=1，2，)则则对连续型随机变量对连续型随机变量X，设密度函数为设密度函数为f(x)，则则2中心中心矩矩本讲稿第三十六页，共四十一页例例:设设X的分布函数为的分布函数为则则EX=()解解:本讲稿第三十七页，共四十一页例例:一射手对同一目标独立地进行射击一射手对同一目标独立地进行射击,直到射中目标为止直到射中目标为止,已知每已知每次命中率为次命中率为3/5,则射击次数的数学期望为则射击次数的数学期望为().解解:用用X表示射击次数表示射击次数,则则所以所以X服从于几何分布服从于几何分布本讲稿第三十八页，共四十一页证明证明:事件在一次试验中发生次数事件在一次试验中发生次数X的方差一定不超过的方差一定不超过1/4.证明证明:XB(1,p),所以所以DX=p(1-p).本讲稿第三十九页，共四十一页例例:设设(X,Y)(X,Y)的联合分布率如下图的联合分布率如下图,则有则有().().XY 0 1 0 0.1 0 1 0.7 0.2A.X,YA.X,Y独立独立 B.X,YB.X,Y不相关不相关 C.X,YC.X,Y不独立但不相关不独立但不相关 D.X,YD.X,Y不独立不独立解解:X 0 1Y 0 1P 0.1 0.9P 0.8 0.2所以所以X,YX,Y不独立不独立.所以所以X,YX,Y相关相关.选选D.D.本讲稿第四十页，共四十一页例例:设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)服从区域服从区域内的均匀分布内的均匀分布,求求(X,Y)(X,Y)的联合概率密度函数以及的联合概率密度函数以及X X与与Y Y各自各自的边缘概率密度函数的边缘概率密度函数,并求它们的协方差并求它们的协方差Cov(X,Y).Cov(X,Y).解解:时时,本讲稿第四十一页，共四十一页