等腰三角形与直角三角形.pptx

知识点一知识点一 等腰三角形等腰三角形 1 1等腰三角形：有等腰三角形：有_相等的三角形叫做等腰三角形相等的三角形叫做等腰三角形两条边两条边第1页/共47页2 2等腰三角形性质等腰三角形性质(1)(1)等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是底边等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是底边的的_(2)(2)等腰三角形的底边上的等腰三角形的底边上的_、底边上的中线及顶角的、底边上的中线及顶角的_重合重合(3)(3)等腰三角形的两个底角等腰三角形的两个底角_垂直平分线垂直平分线高高平分平分线线相等相等第2页/共47页3 3等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形(2)(2)有两个有两个_相等的相等的三角形是等腰三角形，简称等角对等三角形是等腰三角形，简称等角对等边边角角第3页/共47页逆向运用等腰三角形逆向运用等腰三角形“三线合一三线合一”的性质也可以判定三角形的性质也可以判定三角形是等腰三角形是等腰三角形(1)(1)一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形形(2)(2)一边上的高线与这边所对角的平分线重合的三角形是等一边上的高线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形腰三角形(3)(3)一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形腰三角形第4页/共47页知识点二知识点二 等边三角形等边三角形 1 1等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形2 2等边三角形的性质等边三角形的性质(1)(1)等边三角形的三条边等边三角形的三条边_，三个角都等于，三个角都等于_._.(2)(2)等边三角形是轴对称图形，有等边三角形是轴对称图形，有_条对称轴条对称轴都相等都相等60603 3第5页/共47页3 3等边三角形的判定等边三角形的判定(1)(1)三条边都相等的三角形是等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形(2)(2)三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形(3)(3)有一个内角等于有一个内角等于6060的的_是等边三角形是等边三角形(4)(4)有两个角等于有两个角等于_的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形等腰三角形等腰三角形6060第6页/共47页知识点三知识点三 直角三角形直角三角形 1 1勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理(1)(1)勾勾股股定定理理：直直角角三三角角形形两两条条直直角角边边的的平平方方和和等等于于斜斜边边的的平平方方如如果果用用a a，b b和和c c分分别别表表示示直直角角三三角角形形的的两两直直角角边边和和斜斜边，那么边，那么a a2 2b b2 2c c2 2.(2)(2)逆逆定定理理：如如果果三三角角形形两两边边的的平平方方和和等等于于第第三三边边的的平平方方，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形第7页/共47页勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的重要依据段垂直的重要依据第8页/共47页2 2直角三角形的性质直角三角形的性质(1)(1)直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角_(2)(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的直角三角形斜边上的中线等于斜边的_(3)(3)直角三角形中直角三角形中3030角所对的直角边等于角所对的直角边等于_(4)(4)直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于这条直角边所对的角等于_互余互余一半一半斜边的一半斜边的一半3030第9页/共47页3 3直角三角形的判定直角三角形的判定(1)(1)有一个角是有一个角是_的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(2)(2)有两个角有两个角_的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(3)(3)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形边的平方，那么这个三角形是直角三角形(4)(4)如果三角形一边上的如果三角形一边上的_等于这边的一半，那么这个三等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形角形是直角三角形9090互余互余中线中线第10页/共47页知识点四知识点四 角平分线与线段的垂直平分线角平分线与线段的垂直平分线 1 1角平分线角平分线(1)(1)性质定理：角平分线上的点，到这个角的两边的距离性质定理：角平分线上的点，到这个角的两边的距离_(2)(2)判定定理：角的内部到角的两边距离判定定理：角的内部到角的两边距离_的点在角的的点在角的平分线上平分线上相等相等相等相等第11页/共47页2 2线段的垂直平分线线段的垂直平分线(1)(1)线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线这条线段的垂直平分线(2)(2)性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离_(3)(3)判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的_上上相等相等垂直平垂直平分线分线第12页/共47页考点考点一一等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定 (5(5年年2 2考考)命题角度命题角度等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定例例1 1(2017(2017昌乐一模昌乐一模)在正方形网格中，网格线的在正方形网格中，网格线的交点称为格点如图是交点称为格点如图是3333的正方形网格，已知的正方形网格，已知A A，B B是两格点，在网格中找一点是两格点，在网格中找一点C C，使得，使得ABCABC为等腰直为等腰直角三角形，则这样的点角三角形，则这样的点C C有有()()A A6 6个个 B B7 7个个 C C8 8个个 D D9 9个个第13页/共47页【分析分析】根据已知条件，分情况进行讨论根据已知条件，分情况进行讨论【自主解答自主解答】如图，如图，ABAB是腰长时，有是腰长时，有4 4个点可以作为点个点可以作为点C C；ABAB是底边时，有是底边时，有2 2个点可以作为点个点可以作为点C.C.满足条件的点满足条件的点C C的个数是的个数是4 42 26.6.故选故选A.A.第14页/共47页讲：讲：分类讨论解等腰三角形问题分类讨论解等腰三角形问题在在求求解解与与等等腰腰三三角角形形有有关关的的问问题题时时，如如果果腰腰或或者者顶顶角角不不确确定定，那那么么需需要要分分类类讨讨论论进进行行求求解解，最最易易犯犯错错的的地地方方就就是是忽忽略略分分类类讨论，导致漏解讨论，导致漏解练：练：链接变式训练链接变式训练3 3第15页/共47页1 1(2017(2017烟台烟台)某城市几条道路的位置关系如图所示，已某城市几条道路的位置关系如图所示，已知知ABCDABCD，AEAE与与ABAB的夹角为的夹角为4848，若，若CFCF与与EFEF的长度相等，的长度相等，则则C C的度数为的度数为()()A A48 B48 B40 C40 C30 D30 D2424D D第16页/共47页2 2(2016(2016滨州滨州)如图，如图，ABCABC中，中，D D为为ABAB上一点，上一点，E E为为BCBC上一点，且上一点，且ACACCDCDBDBDBEBE，A A5050，则，则CDECDE的度的度数为数为()()A A50 B50 B51 C51 C51.5 D51.5 D52.552.5D D第17页/共47页3 3已知等腰三角形的底边长为已知等腰三角形的底边长为10 cm10 cm，一腰上的中线把三，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5 cm5 cm，那么这个三角形的腰长为那么这个三角形的腰长为_ cm._ cm.1515第18页/共47页等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定例例2 2 如如图图，过过边边长长为为1 1的的等等边边ABCABC的的边边ABAB上上一一点点P P，作作PEACPEAC于于E E，Q Q为为BCBC延延长长线线上上一一点点，当当PAPACQCQ时时，连连接接PQPQ交交ACAC于于D D，则，则DEDE的长为的长为()()第19页/共47页【分析分析】过过P P作作PFBCPFBC交交ACAC于于F F，得出，得出APFAPF为等边三角为等边三角形，推出形，推出APAPPFPFQCQC，根据等腰三角形性质求出，根据等腰三角形性质求出EFEFAEAE，证，证得得PFDQCDPFDQCD，推出，推出FDFDCDCD，进而求得，进而求得DE.DE.第20页/共47页【自主解答自主解答】如图，过如图，过P P作作PFBCPFBC交交ACAC于于F.F.PFBCPFBC，ABCABC是等边三角形，是等边三角形，PFDPFDQCD.QCD.APFAPF是等边三角形，是等边三角形，APAPPFPFAF.AF.PEACPEAC，AEAEEF.EF.APAPPFPF，APAPCQCQ，PFPFCQ.CQ.第21页/共47页又又PDFPDFQDCQDC，PFDQCDPFDQCD，FDFDCD.CD.AEAEEFEF，EFEFFDFDAEAECDCD，AEAECDCDDEDE AC.AC.ACAC1 1，DEDE .故选故选A.A.第22页/共47页4 4如图，直线如图，直线lmnmn，等边，等边ABCABC的顶点的顶点B B，C C分别在直分别在直线线n n和和m m上，边上，边BCBC与直线与直线n n所夹锐角为所夹锐角为2828，则，则的度数的度数为为()()A A28 B28 B30 30 C C32 D32 D4545C C第23页/共47页5 5如图，等边如图，等边ABCABC的边长为的边长为6 6，ABCABC，ACBACB的角平分线的角平分线交于点交于点D D，过点，过点D D作作EFBCEFBC，交，交ABAB，ACAC于点于点E E，F F，则，则EFEF的长的长度为度为_4 4第24页/共47页考点二考点二 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理 (5(5年年3 3考考)例例3 3 (2017(2017昌乐一模昌乐一模)如图，点如图，点C C为线段为线段ABAB上一点，将线上一点，将线段段CBCB绕点绕点C C旋转，得到线段旋转，得到线段CD.CD.若若DAABDAAB，ADAD1 1，BDBD ，则则BCBC的长为的长为_第25页/共47页【分析分析】首先由旋转变换的性质得首先由旋转变换的性质得CDCDCBCB，运用勾股定理，运用勾股定理求出求出ABAB的长度；再次运用勾股定理列出关于的长度；再次运用勾股定理列出关于CBCB的方程，求出的方程，求出CBCB即可即可第26页/共47页【自主解答自主解答】由题意得由题意得CDCDCBCB，在在RtABDRtABD中，中，ABAB 4.4.在在RtACDRtACD中，由勾股定理得中，由勾股定理得ACAC2 2ADAD2 2DCDC2 2，即即(4(4BC)BC)2 21 12 2BCBC2 2，解得解得BCBC .故答案为故答案为 .第27页/共47页6 6如图，在如图，在ABDABD中，中，D D9090，CDCD6 6，ADAD8 8，ACDACD2B2B，则，则BDBD的长是的长是()()A A12 12 B B14 14 C C16 16 D D1818C C第28页/共47页7 7如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，中，ABADABAD于于A A，ABAB8 8 ，ADAD8 8 ，BCBC7 7，CDCD2525，则四边形，则四边形ABCDABCD的面积为的面积为_第29页/共47页考点三考点三 直角三角形的性质直角三角形的性质 (5(5年年1 1考考)例例4 4 如图，已知如图，已知AOBAOB6060，点，点P P在边在边OAOA上，上，OPOP1010，点，点M M，N N在边在边OBOB上，上，PMPMPN.PN.若若MNMN2 2，则，则OMOM()()A A3 3 B B4 4 C C5 5 D D6 6第30页/共47页【分析分析】过点过点P P作作PHMNPHMN于于H H，根据等腰三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出MHMH，根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出OHOH，进而求得，进而求得OM.OM.第31页/共47页【自主解答自主解答】如图，作如图，作PHMNPHMN于于H H，PMPMPNPN，MHMHNHNH MNMN1.1.AOBAOB6060，OPHOPH3030，OHOH OPOP5 5，OMOMOHOHMHMH4.4.故选故选B.B.第32页/共47页直角三角形的性质：直角三角形的性质：(1)(1)两锐角互余；两锐角互余；(2)(2)勾股定理；勾股定理；(3)(3)斜斜边的中线等于斜边的一半；边的中线等于斜边的一半；(4)30(4)30角所对的直角边等于斜角所对的直角边等于斜边的一半边的一半第33页/共47页8 8如图，如图，RtABCRtABC中，中，ACBACB9090，A A5555，将其折，将其折叠，使点叠，使点A A落在边落在边CBCB上上AA处，折痕为处，折痕为CDCD，则，则ADBADB ()()A A40 40 B B3030C C20 20 D D1010C C第34页/共47页9 9如图，正方形网格的边长为如图，正方形网格的边长为1 1，点，点A A，B B，C C在网格的格点在网格的格点上，点上，点P P为为BCBC的中点，则的中点，则APAP_第35页/共47页考点四考点四 角平分线与线段的垂直平分线角平分线与线段的垂直平分线 (5(5年年2 2考考)命题角度命题角度角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定例例5 5 (2017(2017高密一模高密一模)如图，在如图，在ABCABC中，中，CDCD是是ABAB边上的高，边上的高，BEBE平分平分ABCABC，交，交CDCD于点于点E E，BCBC5 5，DEDE2 2，则，则BCEBCE的面积的面积等于等于()()A A10 10 B B7 7 C C5 5 D D4 4第36页/共47页【分析分析】作作EFBCEFBC于于F F，根据角平分线的性质求得，根据角平分线的性质求得EFEF的的长，然后根据三角形面积公式求解即可长，然后根据三角形面积公式求解即可第37页/共47页【自主解答自主解答】如图，作如图，作EFBCEFBC于于F.F.BEBE平分平分ABCABC，EDABEDAB，EFBCEFBC，EFEFDEDE2 2，S SBCEBCE BCEFBCEF 52525.5.故选故选C.C.第38页/共47页1010如图，如图，ABCDABCD，BPBP和和CPCP分别平分分别平分ABCABC和和DCBDCB，ADAD过过点点P P，且与，且与ABAB垂直，若垂直，若ADAD8 8，则点，则点P P到到BCBC的距离是的距离是_._.4 4第39页/共47页命题角度命题角度线段的垂直平分线的性质与判定线段的垂直平分线的性质与判定例例6 6 如图，在如图，在ABCABC中，中，D D为为BCBC的中点，的中点，ADBCADBC，E E为为ADAD上一上一点，点，ABCABC6060，ECDECD4040，则，则ABEABE()()A A10 B10 B15 C15 C20 D20 D2525第40页/共47页【分析分析】根据等腰三角形的性质可知根据等腰三角形的性质可知ADAD是是BCBC的垂直平分的垂直平分线，从而可求出线，从而可求出ABEABE的值的值【自主解答自主解答】D D为为BCBC的中点，的中点，ADBCADBC，EBEBECEC，ABABACAC，EBDEBDECDECD4040，ABCABCACDACD6060，ABEABE6060404020.20.故选故选C.C.第41页/共47页线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，利用这个性线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，利用这个性质可以证明两条线段相等，进而由等腰三角形的性质解决相质可以证明两条线段相等，进而由等腰三角形的性质解决相关的问题关的问题第42页/共47页1111(2016(2016荆州荆州)如图，在如图，在RtABCRtABC中，中，C C9090，CABCAB的平分线交的平分线交BCBC于于D D，DEDE是是ABAB的垂直平分线，垂足为的垂直平分线，垂足为E.E.若若BCBC3 3，则，则DEDE的长为的长为()()A A1 1 B B2 2 C C3 3 D D4 4A A第43页/共47页1212如图，在如图，在ABCABC中，中，ACBACB9090，分别以点，分别以点A A和点和点B B为为圆心，以相同的长圆心，以相同的长(大于大于 AB)AB)为半径作弧，两弧相交于点为半径作弧，两弧相交于点M M和点和点N N，作直线，作直线MNMN交交ABAB于点于点D D，交，交BCBC于点于点E.E.若若ACAC3 3，ABAB5 5，则，则DEDE_第44页/共47页第45页/共47页第46页/共47页感谢您的观看！第47页/共47页