等腰三角形角平分线定理垂直平分线定理.pptx
1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简写成“等角对等边”）第1页/共22页4、等腰三角形有关结论：（1）等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）（2）等腰三角形的底边上的中点到两腰的距离相等。（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)（4）等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。第2页/共22页等腰三角形和等边三角形的性质和判定的应用，证明线段、角相等，求线段的长度、角的度数。第3页/共22页下列命题中真命题的个数是下列命题中真命题的个数是()()；等边三角形也是等腰三角形，任何一边都可以作为底等边三角形也是等腰三角形，任何一边都可以作为底或腰；或腰；不等边三角形是遍都不相等的三角形；不等边三角形是遍都不相等的三角形；不等边三角形是三边不都相等的三角形；不等边三角形是三边不都相等的三角形；三角形按边可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形按边可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。三角形。A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4 B第4页/共22页已知一个三角形的边长为已知一个三角形的边长为4cm4cm，5cm5cm，且第，且第三边长三边长x x为整数，问：为整数，问：（1 1）由）由4cm,5cm,xcm4cm,5cm,xcm为边可组成多少个不同为边可组成多少个不同的三角形？的三角形？（2 2）如果这个三角形是等腰三角形，试确定）如果这个三角形是等腰三角形，试确定x x的值。的值。解：（解：（1 1）由三边关系可知，）由三边关系可知，5-45-4x x 5+45+4，即即1 1 x x 9 9 又又x x为整数，故为整数，故x x可取值为可取值为2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8共共7 7个，因而可组成个，因而可组成7 7个个不同的三角形。不同的三角形。（2 2）当当x=4cmx=4cm或或5cm5cm时，可组成等腰三角形。时，可组成等腰三角形。第5页/共22页如图，P，Q是ABC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求BAC的度数。APBCQ开动脑筋第6页/共22页在在ABCABC中，中，AB=AC,AB=AC,点点D D在在BCBC上，且上，且AD=BD,AD=BD,AC=CD,AC=CD,求求B B的度数。的度数。AB=AC,AD=BD,AC=CDAB=AC,AD=BD,AC=CDB=C=BAD,ADC=DACB=C=BAD,ADC=DAC设设B=xB=x，则，则ADC=B+BAD=2xADC=B+BAD=2xDAC=ADC=2xDAC=ADC=2x在在ABCABC中中 B+C+BAC=180B+C+BAC=180 x=36x=36 故故B=36B=36第7页/共22页如图，如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD,CA=CB,DF=DB,AE=AD,求求AA的度数的度数设设AA为为x xCA=CBCA=CB A=B=x A=B=xDF=DBDF=DBF=B=xF=B=x A=B=F=x A=B=F=xADE=2xADE=2xAE=ADAE=ADAED=ADE=2xAED=ADE=2x A=1805=36 A=1805=36E第8页/共22页ABCABC是等边三角形，过是等边三角形，过ACAC边上的点边上的点D D作作DG/BC,DG/BC,交交ABAB于点于点G G，在，在GDGD的延长线上取的延长线上取一点一点E E，使，使DE=DCDE=DC，连接，连接AE,BDAE,BD。（1 1）求证）求证AGEDABAGEDAB。解：解：ABC ABC是等边三角形，是等边三角形，DG/BCDG/BC AGDAGD是等边三角形是等边三角形 AG=GD=AD,AGD=60AG=GD=AD,AGD=60 DE=DC DE=DC GE=GD+DE=AD+DC=AC=ABGE=GD+DE=AD+DC=AC=AB AGD=BAD,AG=ADAGD=BAD,AG=AD AGEDAB AGEDAB第9页/共22页（2 2）过点）过点E E作作EF/DBEF/DB，交，交BCBC于点于点F F，连接，连接AFAF，求求AFEAFE的度数。的度数。解：解：EF/DB EF/DB，DG/BCDG/BC四边形四边形BFEDBFED是平行四边形是平行四边形EF=BDEF=BDEF=AEEF=AEDBC=DEFDBC=DEFABD+DBC=AEG+DEFABD+DBC=AEG+DEF 即即AEF=ABC=60AEF=ABC=60AEFAEF是等边三角形是等边三角形 AFE=60AFE=60第10页/共22页已知，在已知，在ABCABC中，中，AB=AC,BDACAB=AC,BDAC于点于点D D，求证：，求证：2DBC=BAC2DBC=BAC证明：过点A作AEBC于点EAB=AC，AEBC2EAC=BACEAC+C=90又BDACDBC=EAC所以2DBC=BAC第11页/共22页如图，在ABC中，BAC90，ABAC，ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD2CE第12页/共22页如图，在ABC中，已知ABAC，BAC90，D是BC上一点，ECBC，ECBD，DFFE求证：（1）ABDACE；（2）AFDE第13页/共22页已知如图1，B、C、E三点在同一条直线上，ABC与DCE都是等边三角形，AE交CD于点G，BD交AC与点F，连接FG。证明：（1）AE=BD；（2）FG BE；图1 1 第14页/共22页（3）如图2，若M、N分别是AE、BD的中点，MNC是什么三角形？请说明理由。图2 2 第15页/共22页角平分线定理与垂直平分线定理角平分线定理与垂直平分线定理第16页/共22页例1：如图，已知：AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，垂足是点E，C=70，求BDC的度数。解：AB=AC，ABC=C=70。A=180-2 C=40，又DE垂直平分AB，AD=BD。DBA=A=40。BDC=A+ABD=40+40=80。第17页/共22页例2如图1，OC平分，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：证明：过点P作，垂足分别为M、N因OC是角平分线，故PM=PN由PD=PE，PM=PN，得，而第18页/共22页例3如图2，在中，的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P。过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N。求证：BM=CN。证明：因AP是的角平分线，又因为，故PM=PN因PD是BC的垂直平分线，故PB=PC因PB=PC，PM=PN，故第19页/共22页例4：已知：如图，PB、PC分别是ABC的外角平分线，相交于点P.求证：P在A的平分线上证明：过点作，垂足分别为，。，分别是ABC的外角平分线PE=PQ,PF=PQ PE=PF，点P在A的平分线上第20页/共22页例5：已知：如图，在ABC中，AD是高，BC的垂直平分线交AC于E，BE交AD于F。求证：E在AF的垂直平分线上。证明：E在BC的垂直平分线上EB=ECC=CBE（等边对等角）。ADBC（已知），BFD+C=90，CAD+C=90，BFD=CAD又AFE=BFDCAD=AFE，EA=EF（等角对等边），E在AF的垂直平分线上第21页/共22页感谢您的观看！第22页/共22页
