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测量误差和不确定度1本讲稿第一页，共五十二页测量误差和不确定度估计测量误差和不确定度估计的基础知识的基础知识本讲稿第二页，共五十二页测量误差和数据处理的基础知识测量误差和数据处理的基础知识 测量误差和不确定度估算的基础知识测量误差和不确定度估算的基础知识 实验数据有效位数的确定实验数据有效位数的确定 作图法处理实验数据作图法处理实验数据 数据的直线拟合（最小二乘法处理实验数据）数据的直线拟合（最小二乘法处理实验数据）本讲稿第三页，共五十二页测测 量量物理实验以测量为基础：物理实验以测量为基础：所谓测量就是借助仪器用某一计量单所谓测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。即待测量是该计量单位的多少倍。位把待测量的大小表示出来。即待测量是该计量单位的多少倍。完整的测量结果应表示为完整的测量结果应表示为：以电阻测量为例以电阻测量为例包括：包括：测量对象测量对象 测量对象的量值测量对象的量值 测量的不确定度测量的不确定度 测量值的单位测量值的单位 （X=x x 表示被测对象的真值落在（表示被测对象的真值落在（x x，x x）范围内）范围内的概率很大，的概率很大，x的取值与一定的概率相联系。）的取值与一定的概率相联系。）本讲稿第四页，共五十二页测量的分类测量的分类直接测量和间接测量（按测量方法分）直接测量和间接测量（按测量方法分）直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果；直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果；间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的函数关系经过间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。计算从而得到被测量值的测量。等精度测量与不等精度测量（按测量条件分）等精度测量与不等精度测量（按测量条件分）等精度测量是指在同一条件下进行的多次测量，每次测量的可靠程等精度测量是指在同一条件下进行的多次测量，每次测量的可靠程度相同；度相同；不等精度测量是指在非同一条件下进行的多次测量，每次测量的可不等精度测量是指在非同一条件下进行的多次测量，每次测量的可靠程度不相同。靠程度不相同。本讲稿第五页，共五十二页测量的要素测量的要素测量对象测量对象测量手段（仪器、方法）测量手段（仪器、方法）测量结果测量结果测量单位测量单位测量条件测量条件本讲稿第六页，共五十二页测量误差及其分类测量误差及其分类 误差误差x测量结果测量结果x 真值真值 x0误差特性：普遍性、误差是小量误差特性：普遍性、误差是小量由于真值的不可知，误差实际上很难计算由于真值的不可知，误差实际上很难计算（有时可以用准确度较高的结果作为约定真值来计算误（有时可以用准确度较高的结果作为约定真值来计算误差）差）误差的表示方法：误差的表示方法：绝对误差绝对误差 x 相对误差相对误差误差分类误差分类 系统误差系统误差 随机误差随机误差 本讲稿第七页，共五十二页系统误差系统误差定义：定义：在相同条件下多次测量同一物理量时，其误差的大小和符号保持在相同条件下多次测量同一物理量时，其误差的大小和符号保持不变，不变，或按某一确定的规律变化，这类误差称为系统误差。或按某一确定的规律变化，这类误差称为系统误差。主要来源：主要来源：仪器误差、方法（理论）误差、环境误差、人员误差等仪器误差、方法（理论）误差、环境误差、人员误差等分类及处理方法：分类及处理方法：已定系统误差：已定系统误差：必须修正必须修正电表、螺旋测微计的零位误差；电表、螺旋测微计的零位误差；伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽略表内阻引起的误差。伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽略表内阻引起的误差。未定系统误差：未定系统误差：要估计出分布范围要估计出分布范围（大致与（大致与 B 类不确定度类不确定度S B 相当）相当）如：螺旋测微计制造时的螺纹公差等如：螺旋测微计制造时的螺纹公差等本讲稿第八页，共五十二页随机误差随机误差定义：定义：消除或修正了一切明显的系统误差后，在相同条件下对同一物消除或修正了一切明显的系统误差后，在相同条件下对同一物理量进行多次测量时，每次测量值的随机涨落称为随机误差。理量进行多次测量时，每次测量值的随机涨落称为随机误差。产生原因：产生原因：实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化。例如：发生涨落的变化。例如：电表轴承的摩擦力变动、环境因素的波动、操作读数时的视差影响。电表轴承的摩擦力变动、环境因素的波动、操作读数时的视差影响。特点：特点：小误差出现的概率比大误差出现的概率大；小误差出现的概率比大误差出现的概率大；多次测量时分布对称，具有抵偿性多次测量时分布对称，具有抵偿性因此因此取多次测量的平取多次测量的平 均值有利于消减随机误差。均值有利于消减随机误差。本讲稿第九页，共五十二页系统误差与系统误差与随机误差的区别和联系随机误差的区别和联系区别：产生的原因不同、误差的性质和处理的方区别：产生的原因不同、误差的性质和处理的方法不同。前者是非统计量，处理方法针对具体的法不同。前者是非统计量，处理方法针对具体的实验情况来确定；后者是随机量，在处理上有一实验情况来确定；后者是随机量，在处理上有一套完整的统计方法。套完整的统计方法。共同之处：系统误差与共同之处：系统误差与随机误差都是测量误差的一个随机误差都是测量误差的一个分量。分量。本讲稿第十页，共五十二页精密度、准确度、精确度精密度高：指随机误差小，测量的数据很集中。准确度高：指系统误差系统误差小，测量的平均值偏离 真值小。精确度高：指随机误差和系统误差都非常系统误差都非常小，才能说测量的精确度高。本讲稿第十一页，共五十二页 假定对一个量进行了假定对一个量进行了n次测量，测得的值为次测量，测得的值为xi(i=1,2，n)，可以，可以用多次测量用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值的算术平均值作为被测量的最佳估计值(假定无系统误差假定无系统误差)用标准偏差用标准偏差 x 表示测得值的分散性表示测得值的分散性x按贝塞耳公式求出：按贝塞耳公式求出：x大，表示测得值很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低；大，表示测得值很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低；x小，表示测得值很密集，随机误差分布范围窄，测量的精密度高；小，表示测得值很密集，随机误差分布范围窄，测量的精密度高；x可由带统计功能的计算器直接求出。可由带统计功能的计算器直接求出。随机误差的处理随机误差的处理本讲稿第十二页，共五十二页随机误差的处理举例随机误差的处理举例例：用例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度分度的游标卡尺测某一圆棒长度L，6次测量次测量 结果如下（单位结果如下（单位mm）：）：120.08,120.14,120.06,120.10,120.06,120.10则：测得值的最佳估计值为则：测得值的最佳估计值为 测量列的标准偏差测量列的标准偏差本讲稿第十三页，共五十二页测量误差与不确定度测量误差与不确定度 不确定度的权威文件是国际标准化组织不确定度的权威文件是国际标准化组织(ISO)、国际、国际 计量局计量局(BIPM)等七个国际组织等七个国际组织1993年联合推出的年联合推出的 Guide to the expression of Uncertainty in measurement 不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不能不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不能 确定的程度。确定的程度。不确定度是一定概率下的误差限值不确定度是一定概率下的误差限值。不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随机不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随机 误差分量和未定系统误差的联合分布范围。误差分量和未定系统误差的联合分布范围。由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可 正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为 零的正值，是可以具体评定的。零的正值，是可以具体评定的。本讲稿第十四页，共五十二页随机变量的分布随机变量的分布 正态分布正态分布：大量相对独立微小因素共同作用下得到的随机变量服从大量相对独立微小因素共同作用下得到的随机变量服从正态分布。物理实验中多次独立测量得到的数据一般可以近似看作服正态分布。物理实验中多次独立测量得到的数据一般可以近似看作服从正态分布。从正态分布。表示表示 x 出现概率最大的值，消除系统误差后，出现概率最大的值，消除系统误差后，通常就可以得到通常就可以得到 x 的真值。的真值。称为标准差，是曲线称为标准差，是曲线 的拐点的拐点表示随机变量表示随机变量 x 在在x1，x2区间出现的概率，称为置信概率。区间出现的概率，称为置信概率。实际测量的任务是通过测量数据求得实际测量的任务是通过测量数据求得 和和的值。的值。P(x)x小大本讲稿第十五页，共五十二页随机变量的分布随机变量的分布实际测量次数有限，可用实际测量次数有限，可用 n 次测量值的次测量值的 来估算来估算、:可以证明平均值的标准偏差可以证明平均值的标准偏差 是单次测量的是单次测量的 sx 值的值的 倍倍 此时可用此时可用 来表示实验结果来表示实验结果但是由于测量次数但是由于测量次数n小，测量值的平均值将不符合正态分布，而是符合小，测量值的平均值将不符合正态分布，而是符合t 分分布（布（t 分布是分布是从从 的的性质得到一种分布。其中自由度性质得到一种分布。其中自由度=n1。n 小时，小时，t 分布偏离正态分布较多。分布偏离正态分布较多。n 大时趋于正态分布大时趋于正态分布）。）。此时，此时，的置信概率不是的置信概率不是0.683，需乘以与置信水平，需乘以与置信水平、自由度自由度有关有关系数系数 ，得到置信水平为，得到置信水平为的结果：的结果：的值可查表的值可查表本讲稿第十六页，共五十二页直接测量量不确定度的估算直接测量量不确定度的估算总不确定度分为两类不确定度：总不确定度分为两类不确定度：A 类分量类分量SA 多次重复测量时用统计学方法估算的分量；多次重复测量时用统计学方法估算的分量；B 类分量类分量SB 用其他方法（非统计学方法）评定的分量。用其他方法（非统计学方法）评定的分量。这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成总不确这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成总不确定度：定度：（物理实验教学中一般用的总不确定度，置信概率取为（物理实验教学中一般用的总不确定度，置信概率取为95%）本讲稿第十七页，共五十二页直接测量量不确定度的估算直接测量量不确定度的估算简化处理方法：简化处理方法：A 类分量类分量SA 的估算的估算：实验中用到的，列表如下实验中用到的，列表如下当当 5 n 10时，可简化认为时，可简化认为 SA=Sx（置信概率置信概率95%）B 类分量类分量SB=仪仪,认为认为 SB 主要由仪器的误差特点来决定主要由仪器的误差特点来决定 不确定度合成：不确定度合成：本讲稿第十八页，共五十二页直接测量量不确定度的估算直接测量量不确定度的估算结果表示：结果表示：以测量列以测量列 x 的平均值的平均值 再再修正掉已定系统误差项修正掉已定系统误差项0 得到被测对象得到被测对象的量值。的量值。由由A、B 类不确定度合成总不确定度类不确定度合成总不确定度则：则：本讲稿第十九页，共五十二页关于仪器误差限ins一般取基本误差限或示值误差限（仪器误差限）电表 ins=k%量程电阻箱 R=a%R+nRb a-电阻箱的级别 R-取用的电阻值 n-所用的旋钮个数 Rb-常数，对于0.1级电阻箱,Rb=0.001大多数情况下把ins简化为（许多仪器误差的成因分析和各分量限值的计算相当复杂）非随机分量的B类不确定度SB本讲稿第二十页，共五十二页关于单次测量仪器精度较低，随机误差小，多次测量相同对测量结果的准确度要求不高因条件的限制，不可能进行多次测量不确定度用极限误差表示：1、取仪器的允差2、根据仪器 结构、测量对象、环境条件、测量者感官灵敏度估计一个极限误差。（二者取一便可）本讲稿第二十一页，共五十二页直接测量量直接测量量不确定度不确定度估算过程（小结）估算过程（小结）求测量数据列的平均值求测量数据列的平均值 修正已定系统误差修正已定系统误差 ，得出被测量值，得出被测量值 x 用贝塞耳公式求标准偏差用贝塞耳公式求标准偏差sx 标准偏差标准偏差sx 乘以因子来求得乘以因子来求得SA 当当 5n10，置信概率为置信概率为95%时，可简化认为时，可简化认为SA Sx本讲稿第二十二页，共五十二页直接测量量直接测量量不确定度不确定度估算过程（小结）估算过程（小结）根据使用仪器得出根据使用仪器得出SB:SB =仪仪 由由SA、SB合成总不确定度合成总不确定度S 给出直接测量的最后结果：给出直接测量的最后结果：（单位）（单位）本讲稿第二十三页，共五十二页直接测量量直接测量量不确定度不确定度估算举例估算举例例例：用用螺螺旋旋测测微微计计测测某某一一钢钢丝丝的的直直径径，6次次测测量量值值Di分分别别为为：0.249,0.250,0.247,0.251,0.253,0.250;同同时时读读得得螺螺旋旋测测微微计计的的零零位位x0为为：0.004,单单位位mm，已已知知螺螺旋测微计的仪器误差为旋测微计的仪器误差为仪仪=0.004mm，请给出完整的测量结果。，请给出完整的测量结果。解：解：测得值的最佳估计值为测得值的最佳估计值为 测量列的标准偏差测量列的标准偏差 测量次数测量次数n=6，可近似有，可近似有 则：测量结果为则：测量结果为 D=0.2460.004mm本讲稿第二十四页，共五十二页间接测量量的不确定度合成间接测量量的不确定度合成 实用公式实用公式本讲稿第二十五页，共五十二页间接测量量的不确定度合成过程间接测量量的不确定度合成过程1.先写出（或求出）各直接测量量先写出（或求出）各直接测量量 xi 的不确定度的不确定度2.依据依据 关系求出关系求出 或或3.用用 或或 求出求出 或或4.完整表示出完整表示出Y的值的值 （单位）（单位）本讲稿第二十六页，共五十二页间接测量量的不确定度合成举例间接测量量的不确定度合成举例例：例：已知金属环的外径已知金属环的外径 内径内径 高度高度 求环的体积求环的体积V 和不确定度和不确定度SV。解：解：求环体积求环体积 求偏导求偏导 合成合成 求求SV 结果结果 V=9.440.08cm3 本讲稿第二十七页，共五十二页 在实验中我们所得的测量结果都是可能含有误差的数值，对这些数值不能任意取舍，应反映出测量值的精确度。所以在记录数据、计算以及书写测量结果时，应根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟应取几位有效数字。实验数据有效位数的确定实验数据有效位数的确定本讲稿第二十八页，共五十二页1.直接测量量（原始数据）的读数应反映直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度仪器的准确度游标类器具游标类器具（游标卡尺、游标卡尺、分光计度盘、分光计度盘、大气压计等大气压计等）一般读至游标一般读至游标最小分度的整最小分度的整数倍，即不需数倍，即不需估读。估读。本讲稿第二十九页，共五十二页1.直接测量量（原始数据）的读数应反映直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度仪器的准确度数显仪表及有数显仪表及有十进步式标度十进步式标度盘的仪表盘的仪表（电阻电阻箱、电桥、电位差箱、电桥、电位差计、数字电压表等计、数字电压表等）一般应直接读取仪一般应直接读取仪表的示值。表的示值。本讲稿第三十页，共五十二页1.直接测量量（原始数据）的读数应反直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度映仪器的准确度指针式仪表指针式仪表及其它器具及其它器具，读数时估读到仪读数时估读到仪器最小分度的器最小分度的1/21/10，或使估，或使估读间隔不大于仪读间隔不大于仪器基本误差限的器基本误差限的1/51/3。本讲稿第三十一页，共五十二页直接读数注意事项直接读数注意事项注意指针指注意指针指在整刻度线在整刻度线上时读数的上时读数的有效位数。有效位数。本讲稿第三十二页，共五十二页2.中间运算结果的有效位数中间运算结果的有效位数用计算器或计算机进行计算时中间结果可不作修约或适用计算器或计算机进行计算时中间结果可不作修约或适当多取几位（不能任意减少）。当多取几位（不能任意减少）。加减运算的结果末位以参与运算的末位最高的数为准加减运算的结果末位以参与运算的末位最高的数为准 (假设参与运算的数全是测量结果假设参与运算的数全是测量结果)。如如 11.4+2.56=14.0 75-10.356=65乘除运算结果的有效位数，可比参与运算的有效位数最少的数乘除运算结果的有效位数，可比参与运算的有效位数最少的数多取一位多取一位(假设参与运算的数全是测量结果假设参与运算的数全是测量结果)。如如 40009=3.6104 2.0000.99=2.00本讲稿第三十三页，共五十二页3.测量结果表达式中的有效位数测量结果表达式中的有效位数总不确定度总不确定度S的有效位数，取的有效位数，取1 2位位首位大于首位大于2时，一般取时，一般取1位位首位为首位为1、2时，一般取时，一般取2位位例例：估算结果估算结果 S=0.548mm时，取为时，取为S=0.6mm S=1.37 时，时，取为取为S=1.4 本讲稿第三十四页，共五十二页3.测量结果表达式中的有效位数测量结果表达式中的有效位数被测量值有效位数的确定被测量值有效位数的确定YyS中，被测量值中，被测量值 y 的末位要与不确定度的末位要与不确定度S的末位对齐的末位对齐 （求出（求出 y后先多保留几位，求出后先多保留几位，求出S，由，由S决定决定 y的末位）的末位）例：环的体积例：环的体积不确定度分析结果不确定度分析结果最终结果为：最终结果为：V=9.440.08cm3即：不确定度末位在小数点后第二位，测量结果的最后一位即：不确定度末位在小数点后第二位，测量结果的最后一位也取到小数点后第二位。也取到小数点后第二位。本讲稿第三十五页，共五十二页 作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某些物作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要先整理出数据表格先整理出数据表格，并，并要要用坐标纸作图。用坐标纸作图。1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小 坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。根据表数据根据表数据U 轴可选轴可选1mm对应于对应于0.10V，I 轴可选轴可选1mm对应于对应于0.20mA，并可定并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）约为约为130mm130mm。作图步骤作图步骤：实验数据列表如下：实验数据列表如下.表表1：伏安法测电阻实验数据：伏安法测电阻实验数据作图法处理实验数据作图法处理实验数据本讲稿第三十六页，共五十二页2.标明坐标轴：标明坐标轴：用粗实线画坐标轴，用箭用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位或符号、单位,再按顺序标出再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。坐标轴整分格上的量值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004.连成图线：连成图线：用直尺、曲线板等把用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线过每个实验点，应使图线线正穿过实验点时可以在线正穿过实验点时可以在两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图点处断开。点处断开。3.标实验点标实验点：实验点可用实验点可用“”、“”、“”等符号标等符号标出（同一坐标系下不同曲出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号线用不同的符号）。）。本讲稿第三十七页，共五十二页5.标出图线特征：标出图线特征：在图上空白位置标明在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻线可给出被测电阻R大小：大小：从从所绘所绘直线直线上读取两点上读取两点 A、B 的坐标就可求出的坐标就可求出 R 值。值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线电阻伏安特性曲线6.标出图名：标出图名：在图线下方或空白位置在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要写出图线的名称及某些必要的说明。的说明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上由图上A、B两点可得被测电阻两点可得被测电阻R为：为：至此一张图才算完成至此一张图才算完成本讲稿第三十八页，共五十二页不当图例展示不当图例展示：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图图图1曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。本讲稿第三十九页，共五十二页n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图改正为改正为：本讲稿第四十页，共五十二页图图2I(mA)U(V)0 02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取不当。横轴以3 cm 代表1 V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1 mm 代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。本讲稿第四十一页，共五十二页I(mA)U(V)o o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线改正为：改正为：本讲稿第四十二页，共五十二页定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.20001.60000.80000.4000图图3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。本讲稿第四十三页，共五十二页定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()改正为：改正为：本讲稿第四十四页，共五十二页用逐差法处理数据 一次逐差.二次逐差.三次逐差。用逐差法处理数据的两个条件 1)函数可以写成x的多项式形式,即 y=a0+a1x y=a0+a1x+a2x2,y=a0+a1x+a2x2+a3x3.2)自变量x是等间距变化的逐差法处理数据逐差法处理数据本讲稿第四十五页，共五十二页逐差法在物理实验中的应用逐差法在物理实验中的应用 验证多项式.a）当 y=a0+a1x 测得xi，yi（i=1，2，n）一次逐差有 yiyi-1=a1x 则 函数是线性函数 b）当 y=a0+a1x+a2x2 测得 xi，yi（i=1，2，n）二次逐差结果是恒量 则：函数是y=a0+a1x+a2x2型函数c）当 y=a0+a1x+a2x2+a3x3 测得xi，yi（i=1，2，n）三次逐差结果是恒量 则：函数是y=a0+a1x+a2x2+a3x3 型函数发现系统误差或实验数据的某些变化规律求物理量的数值本讲稿第四十六页，共五十二页数据的直线拟合数据的直线拟合(最小二乘法最小二乘法)用最小二乘法进行直线拟合优于作图法。用最小二乘法进行直线拟合优于作图法。最小二乘法的理论基础、最佳经验公式最小二乘法的理论基础、最佳经验公式 y=a+bx 中中a、b的的求解求解:通过实验，等精度地测得一组互相独立的实验数据通过实验，等精度地测得一组互相独立的实验数据xi，yi（i=1，2n），设此），设此两物理量两物理量 x、y 满足线性关系，且假定实验误差主要出现在满足线性关系，且假定实验误差主要出现在yi上，设拟合直线上，设拟合直线公式为公式为 y=f(x)=a+bx，当所测各当所测各yi值与拟合直线上各估计值值与拟合直线上各估计值 f(xi)=a+bxi之间偏差之间偏差的平方和最小，即的平方和最小，即 时，所得拟合公式即为时，所得拟合公式即为最佳经验公式。最佳经验公式。据此有据此有解得解得本讲稿第四十七页，共五十二页数据的直线拟合数据的直线拟合(最小二乘法最小二乘法)相关系数相关系数r：最小二乘法处理数据除给出最小二乘法处理数据除给出 a、b 外，还应给出相关系数外，还应给出相关系数 r，r 定义为定义为 r 表表示示两两变变量量之之间间的的函函数数关关系系与与线线性性的的符符合合程程度度，r-1，1。|r|1，x、y 间线性关系好，间线性关系好，|r|0，x、y 间无线性关系，拟合无意义。间无线性关系，拟合无意义。物理实验中一般要求物理实验中一般要求 r 绝对值达到绝对值达到0.999以上以上(3个个9以上以上)。其中其中本讲稿第四十八页，共五十二页数据的直线拟合数据的直线拟合(最小二乘法最小二乘法)a、b、r 的具体求解方法：的具体求解方法：1.用有二维统计功能的计算器可直接求得用有二维统计功能的计算器可直接求得 a、b、r；2.用计算机用计算机Excel 程序中的程序中的 intercept、slope、correl 函数也可直接求得函数也可直接求得 a、b、r；3.可以根据实际情况自己编程求可以根据实际情况自己编程求 a、b、r。本讲稿第四十九页，共五十二页研究测量误差的目的研究测量误差的目的产生误差的原因，正确认识误差的性质及其传递的规侓.分析它对测量结果的影响程度，并对其作出正确的定量估计.有针对性地找出消除或减小误差的办法合理设计实验方法.选用测量仪器，获得最佳的实验结果.对测量结果进行分析判断，得出适当的结论。本讲稿第五十页，共五十二页平均法处理数据用平均法处理数据的基本思想 用平均法处理数据是解决在拟合曲线时方程的组数多于变量的个数的一种方法。即把几组数据归并求出其“重心”,亦即平均的效果,得到方程的组数与变量的个数相同,然后解代数方程,得出结果来。本讲稿第五十一页，共五十二页平均法的优点及局限用平均法处理数据是很简便的,特别是在处理一元线性拟合时,得到的结果也是较好的。平均法取的是某种平均效果,它是一种并非建立在严格和统计理论基础之上的数据处理方法,如果我们按不同方式将数据分组就将有不同的结果。方程分组时，以前后顺序分组为好,以使两个方程的重心相差大些为好。如果几组方程的数据很接近,则用平均法处理数据就将会得到谬误的结果。由此也可说明,对二次以上方程己不宜用平均法处理了。用平均法处理数据,一般不计算误差。因为这种方法本身是粗略的,而且没有严格的统计理论作为依据,计算误差也就没有意义了。本讲稿第五十二页，共五十二页