疲劳与断裂力学弹塑性断裂力学基础.pptx

线弹性断裂力学 l 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂l 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学u 大范围屈服：端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸。如，中低强度钢制成的构件u 全面屈服：材料处于全面屈服阶段。如，压力容器的接管部位第1页/共58页 弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定量描述裂纹尖端区域弹塑性应力、应变场强度的参量。以便利用理论建立起这些参量与裂纹几何特性、外加载荷之间的关系，通过试验来测定它们，并最后建立便于工程应用的断裂准则。主要包括COD理论和J积分理论 第2页/共58页一、COD COD(Crack Opening Displacement)：裂纹张开位移裂纹体受载后，裂纹尖端附近的塑性区导致裂纹尖端表面张开量裂纹张开位移。表达材料抵抗延性断裂能力。COD准则 裂纹失稳扩展的临界值 COD准则需解决的3个问题：的计算公式;的测定;COD准则的工程应用第一节第一节 CODCOD准则准则第3页/共58页二、小范围屈服条件下的CTOD准则 1、平面应力的Irwin解小范围屈服时的CTOD计算公式 KI4KIKIKI2CTOD：裂纹尖端张开位移第4页/共58页Dugdale模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖端两端延伸呈尖劈带状。塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力 。假想：挖去塑性区 在弹性区与塑性区的界面上加上均匀拉应力 线弹性问题 2、平面应力的Dugdale解2aCODCODxyo2aeff=2a+2rpCTOD s s第5页/共58页 平面应力条件下，在全面屈服之前净/ys1，Dugdale给出裂尖张开位移与间的关系为：)2lnsec(8ssEapp=如果/ys1，则可将上式中 sec 项展开后略去高次项，得到：122281lnsp)2lnsec(sp-=-2 22 22 22 22 22 28 8)8 8(1 1lnlns ss s p p p p=+=)2 2lnsec(lnsec(s s pp得到：注意到当xt，可忽略筒体曲率的影响。视为无限大中心裂纹板，且为平面应力。第15页/共58页)2lnsec(8ssEapp=)12008002lnsec(1020014.3120083=pa=0.0106a由DugdaleCTOD计算式：在临界状态下有：=0.0106acc 得到：ac0.05/0.0106=4.71mm 故可以容许的缺陷总长度为 2a=9.42mm。第16页/共58页 讨论：假设按小范围屈服计算，由(7-11)式有：EKs21=可容许的缺陷总长度为 2a=11.94mm。故当/ys较大时，小范围屈服假设将引入较大的 误差，且结果偏危险。对于本题则断裂判据写为：即:或写为Easp2=c cs sc cE Ea a p p =2 21414.3 38008008008001010200200120012000505.0 03 32 2=p p E Ea aysysc cc c=5.97mm=5.97mm第17页/共58页一、J积分的定义和特性COD准则的优点：l 测定方法简单l 经验公式能有效地解决中、低强度强度钢焊接结构及压力 容器断裂分析问题缺点：不是一个直接而严密的裂纹尖端弹、塑性应变场的表征参量。Rice于1968年提出J积分概念，J积分主要应用于发电工业，特别是核动力装置中材料的断裂准则。第二节第二节 J J积分积分第18页/共58页J积分的两种定义：回路积分：即围绕裂纹尖端周围区域的应力应变和位移所组成的围线积分。J积分具有场强度的性质。不仅适用于线弹性，而且适用于弹塑性。形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对试样所做的形变功率给出。根据塑性力学的全量理论，这两种定义是等效的。第19页/共58页 有两个几何形状和受力完全相同的单位厚度板，各含有一个缺口，板1中缺口长为 ，此板的总势能为 ；板II中缺口长为 ，此板的总势能为 。二板总势能之差为：。这个差值是由 引起的。1、形变功率定义第20页/共58页 定义：是缺口长度不同造成的势能差别率。这就是 J 的形变功定义。可以看到：1）J的定义对材料的应力-应变关系没有任何要求，所以J积分适用于弹性体（线弹性体和非线性弹性体）和塑性体的单调加载（无卸载）情况。非线性弹性体和塑性体的曲线在加载时没有区别，但卸载时塑性体不沿加载曲线回零（塑性变形不可逆），差的能量成热能放出。因此J 只可用于塑性体单调加载的情况。第21页/共58页2）由于不允许卸载，J 不再具有裂纹扩展能量释放率的物理意义，而是功的吸收率。3）从 J 的定义可见，在线弹性范围 即 J 与 G 等价。所以J 是G 合理的延伸，是一种既适用于线弹性又适用于弹塑性的较一般的参数。第22页/共58页 设一均质板，板上有一穿透裂纹、裂纹表面无力作用，但外力使裂纹周围产生二维的应力、应变场。围绕裂纹尖端取回路下。始于裂纹下表面、终于裂纹上表面。按逆时针方向转动应变能密度 作用于路程边界上的力 路程边界上的位移矢量 与积分路径无关的常数。即具有守恒性。2、线积分定义第23页/共58页 其中：为从缺口下表面上任一点沿逆时针方向绕过缺口的顶端，而止于缺口上表面上任一点的曲线；为带缺口变形体的形变功密度，包括弹性应变能和塑性形变功；：回路 上对应的“表面力”矢量；：回路上各点的位移矢量；ds：回路的线元。第24页/共58页 J 的一个重要性质，就是 J 积分与积分路径 无关（Path-independent）。这称为J 积分的守恒性。J 积分守恒性的前提是：不允许卸载；变形为小变形；没有体积力。由于J 与路径无关，所以可选择一条容易求积分的路径（例如沿试样的周边，可能只有弹性应力和应变），简单地求得 J。第25页/共58页 与靠近裂纹尖端处行为相关的奇异场解是断裂力学发展中的核心问题。1968年 Rice 提出 J 积分概念后，Hutchinson、Rice 等人，导出了弹塑性材料裂尖应力应变场的表达式，即 HRR 理论，使断裂力学从线弹性发展到了弹塑性。二、弹塑性裂纹尖端的应力场1、采用以下基本公式，导出应力函数 的控制方程1）Airy 公式：第26页/共58页2）几何方程：3）物理方程：n为硬化指数：n大硬化能力大；n小，硬化能力小。无量纲应力：；无量纲应变：，E：材料弹性模量。第27页/共58页导出的应力函数 的控制方程为：边界条件取：（这时裂纹表面无外荷载作用）与上式对应的多轴本构关系是 其中第28页/共58页 2、裂尖解的结构 如能从上式中解出j，则问题得解。但目前解不出该方程。故要抓主要矛盾，予以简化：（1）设出j的形式：由于裂纹总是从裂尖向外扩展，所以裂尖附近是我们最关心的。在线弹性断裂力学中，当r0时，裂尖应力，而弹塑性解当n=1时，就应该是线弹性解。因此，比照Williams级数，可以设想上式的解是一个无穷级数，级数的第一项有奇异性。第29页/共58页 当只考虑裂尖附近行为时，r 小到一定范围，级数的第一项由于有奇性，比起其它项都大得多，其它项的值都可忽略不计。所以，当 r 相当小时，可以取：其中K为修正 幅值的系数，它决定了应力场的强度。（2）简化 方程：分析 方程中各项 r 的幂次：双调和项中 r 的幂次为（S-4），后面非线性诸项 r 幂次为(S-2)n-2。而要使应力分量有奇异性，必须 S1 第30页/共58页故 因此，当 时，方程中非线性诸项值增大的速度比双调和项快，这时非线性项是 方程的主要部分，所以可以把 式中双调和项略去。从物理意义上说，对任意S2，总能选择一个充分小的裂尖邻域，使此区域中弹性变形能与塑性变形功相比任意地微小，这样就可以把 式中代表弹性部分的双调和项略去。第31页/共58页因此，方程简化为：将 的裂尖解形式代入上式，得到关于 S 和 的微分方程为：第32页/共58页其中“”表示对应量的角度部分。第33页/共58页边界条件有二：i、处 。这要求 ii、本问题关于x 轴对称，所以在 处 ，。这要求 解上述方程是一个微分方程的边值问题。一般说对于任意 S，满足边界条件的微分方程解不存在。只有当 S 取某些定值时，方程才有解。因此上述方程是一个关于 S 的特征方程。第34页/共58页（3）S 的取值范围：i、从 得到的应力场应具有奇异性 S2 ii、用从 得到的应力应变场算出的余能必须有界，则因此 用数值迭代法在 S 的取值范围内解此边值问题，求出n 为整数时第35页/共58页同时算出 、和 的值（见图），图中曲线是将的最大值归为 1 时的相对值。第36页/共58页这样，导出裂尖附近塑性解的结构是：第37页/共58页3、常数 K 的确定 在裂尖塑性奇异解有效的区域内，以裂尖为圆心，作一半径为 r 的圆形积分路径，进行 J 积分，则第38页/共58页 从而其中 由于J积分的路径无关性，J与圆路径半径 r无关，所以计算出的J表达式中无r。第39页/共58页 是 n 的函数，可以由数值方法解出，其值为n35913平面应力In3.863.413.032.87平面应变In5.515.014.604.40第40页/共58页将上式代入裂尖解，得到 裂纹尖端附近应力、应变场的平面应变解与平面应力解相同。第41页/共58页 弹塑性裂纹尖端应力应变场的解是在1968年由 Hutchinson,Rice 和 Rosenfild 导出的，所以称为HRR应力应变场。当裂尖附近材料符合幂乘硬化律 时，裂尖应力场具有 阶奇性，裂尖应变场具有 阶奇性，裂尖位移场没有奇性。当 时，就是线弹性裂尖场。第42页/共58页三、J 判据 从 HRR 场应力解可见，反映裂尖附近 不同点处应力的相对大小，与外载无关；而该应力场的总体强度是由单参数 J 唯一决定的，J 与外载有关。第43页/共58页 对任何已知的 ，裂纹尖端处应力、应变与J有唯一的关系。而正是裂尖处的应力、应变决定着裂纹的起裂与扩展。于是可以断定，正如线弹性断裂可以用K描述一样，弹塑性断裂这种受裂尖行为控制的事件，必能用J描述。因此，在小变形范围内，在很接近裂纹尖端的地方，由于应力及应变场和J之间的一一对应关系，J是靠近裂纹尖端处行为的唯一有意义的量度。这就对弹塑性裂纹尖端处的行为，提出了合理的单参数表达。从 J 控制裂纹扩展这一概念出发，可以引出一系列重要的推论，例如 J 控制区概念，裂纹扩展的 J 判据概念等等。第44页/共58页 弹塑性裂纹的启裂，可以用单参数J来描述，对I型裂纹，J写成 。是一个与外载和裂纹长度 有关的参数。当 一定时，随外载增加，增大。当 达到该材料的临界值 时，裂纹开始扩展。临界值 称为延性断裂韧度，它是一个材料常数，可以通过实验测出。这样，弹塑性裂纹启裂的条件是：与K控制一样，J控制也是有条件的。为了清楚地讨论，现引进参数R来表示奇异场J主导区域的尺寸或半径。R的数值随平面应力、平面应变情况、载荷、硬化指数、几何等因素而变化。找J控制的适用范围，就是找R的上下限。第45页/共58页1、HRR理论在有限应变区内不能用，R的下限 HRR 场的推导中用了小变形和比例加载条件，而弹塑性裂尖塑性区内有一小区域（有限应变区）内的变形很大，还有卸载发生，不满足上述条件，J在该小区域内失效。因此有限应变区边界是J控制区的下限。第46页/共58页 1977年，McMeeking 对小范围屈服 I 型平面应变问题，分析了大应变（有限应变）裂尖数值解和小应变（比例应变）裂尖数值解的结果，发现当时，有限应变效应就可以忽略不计。上式中 为材料的流变应力。因此，对 I 型平面应变问题，J 主导区的下界为：第47页/共58页 2、HRR 理论在J主导区外不能用，R的上限 在裂尖塑性应变比例变化区内，用以全量理论为基础的HRR裂尖奇异解代替级数全解描述裂尖应力应变场有一定误差，这个误差随计算点距裂尖的距离R的增加而增大。当该误差增大到工程应用上不能接受的程度时，就达到了J主导区的上限。1979年Shih和German将用增量理论的数值计算结果作为全解与HRR奇异解进行了对比，发现对弯曲型试样，两种解吻合区的最大尺寸为 0.07c，c为试样的韧带长度。对拉伸型试样，吻合区的最大尺寸为0.01c。第48页/共58页 因此，对弯曲型试样，J主导区的上界为：故J控制区的有效范围为由 可得 如c小于此值，J控制区的上下限重合，实际上就不存在J控制区。第49页/共58页 对中心裂纹拉伸板（CCP），韧带尺寸限制为：这个问题很重要，它说明对不同类型的试样，要提出不同的韧带尺寸要求。第50页/共58页一、J积分与能量释放率的关系线弹性平面应变条件下，应变能密度为 又型裂纹尖端的应力分量 第三节第三节 J J积分与其它参数的关系积分与其它参数的关系KI2KIKIKI第51页/共58页积分回路：以裂纹尖端为中心，r为半径的圆周 又积分路径上的力又张开型位移第52页/共58页线弹性状态下 第53页/共58页二、J积分和COD的关系1、小范围屈服条件下的J和COD关系 在平面应力条件下，Irwin提出小范围屈服的COD计算公式 2、Dugdale塑性区模型导出的J和COD关系 Dugdale模型为一个弹性化的模型，塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的条件。第54页/共58页积分路径：塑性区边界ABD AB上：平行于 轴 BD上：平行于 轴 Dugdale模型过于简单，将塑性区考虑为理想塑性，实际上材料有着硬化现象，在塑性区断面上所受的力是x的函数，与材料的硬化指数n有关。第55页/共58页其中：kCOD降低系数，与试样塑性变形的程度以及裂纹前缘的应力状态有关。罗宾松（Robinson）指出：k随塑性区的增加而增加，在塑性区较小时，k=1 薛（shih）指出：k随硬化指数n的增加而减小。修正第56页/共58页J积分准则的优点：n 与COD准则比较，理论根据严格，定义明确。n 用有限元方法计算不同受力情况、各种形状结构的积分。而COD准则的计算公式只适用于几种最简单的几何形状和受力情况。n 实验求 ，简易可行。J积分准则的缺点：nJ积分理论根据塑性的全量理论，不允许卸载。但是裂 纹在稳定扩展时，尖端的应力要释放、要卸载。J积分 理论不能应用于裂纹临界扩展。（必须在一定的条件下 近似地分析扩展）。nJ积分定义限于二维问题。n材料的 一般由开裂点确定，设计过于保守。第57页/共58页感谢您的观看！第58页/共58页