44方差和标准差.ppt
问题情景问题情景 2班的林宁怡和娄其旺两人参加体育项班的林宁怡和娄其旺两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示目训练，近期的五次测试成绩如下表所示 谁的成绩较为稳定？为什么？谁的成绩较为稳定？为什么？能通过计算回答吗能通过计算回答吗?测试次数测试次数第一次第一次第二次第二次第三次第三次第四次第四次第五次第五次林宁怡林宁怡7080808090娄其旺娄其旺100601006080我们把这两位同学的成绩画出折线统计图如下，我们把这两位同学的成绩画出折线统计图如下，通过计算发现，两个同学体育成绩的平均数均通过计算发现，两个同学体育成绩的平均数均为为80，那它们有没有什么差异呢？，那它们有没有什么差异呢？由图中可以看出，由图中可以看出，娄其娄其旺同学的体育成绩没有旺同学的体育成绩没有林宁怡同学的稳定林宁怡同学的稳定.我们班现要挑选他我们班现要挑选他们中的其中一名参加校们中的其中一名参加校运动会，你认为挑选哪运动会，你认为挑选哪一位比较适宜？一位比较适宜？01220345406080100成绩成绩训训练练次次数数娄其旺娄其旺 林宁怡林宁怡 运用画图的方法对两组数据进行比运用画图的方法对两组数据进行比较较,操作简单方便操作简单方便,形象直观，但当两组数形象直观，但当两组数据的据的集中程度集中程度差异不大或样本数据较大差异不大或样本数据较大时，画图就显得相当麻烦，且不容易得时，画图就显得相当麻烦，且不容易得出结论。出结论。考察样本数据的考察样本数据的分散程度分散程度的大小的大小,最常用的统计量是最常用的统计量是方差和标准差方差和标准差。设一组数据设一组数据x1、x2、xn中，各数据与它们的平均数的差的中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是平方分别是(x1x)2、(x2x)2、(xnx)2，那么我们用它们的，那么我们用它们的平均数，即用平均数，即用来来衡量衡量这组数据的这组数据的波动大小波动大小，并把它叫做这组数据的，并把它叫做这组数据的方差方差.在在样本容量相同样本容量相同的情况下的情况下,方差越大方差越大,说明数据的说明数据的波动越大波动越大,越不稳定越不稳定.S2=(x1x)2(x2x)2 (xnx)2 1n建构数学建构数学 高中教材：高中教材：一般地，一般地，设设一一组样组样本数据本数据，其平均数，其平均数为为,则则称称为这个样本的为这个样本的方差方差 方差方差用来衡量一批数据的用来衡量一批数据的波动大小，波动大小，也就是这组数据的离散程度也就是这组数据的离散程度.例例:为了考察甲、乙两种小麦的长势为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出分别从中抽出10株苗，测得苗高如下株苗，测得苗高如下(单位单位:cm):甲甲:12 13 14 15 10 16 13 11 15 11乙乙:11 16 17 14 13 19 6 8 10 16问哪种小麦长得比较整齐问哪种小麦长得比较整齐?思考：思考：求数据方差的一般步骤是什么？求数据方差的一般步骤是什么？1、求数据的平均数；、求数据的平均数；2、利用方差公式求方差。、利用方差公式求方差。S2=(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2 数学运用数学运用 例例：为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽出抽出10株苗，测得苗高如下（单位：株苗，测得苗高如下（单位：cm）：）：甲：甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；乙：乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16；问：哪种小麦长得比较整齐？问：哪种小麦长得比较整齐？X甲甲 （cm）X乙乙 （cm）S2甲甲 （cm2）S2乙乙 （cm2）因为因为S2甲甲”“走近中考走近中考3、（、（2010浙江浙江绍兴绍兴）甲、乙、丙、丁四位）甲、乙、丙、丁四位选选手手各各10次射次射击击成成绩绩的平均数和方差如下表：的平均数和方差如下表：选选 手手甲甲乙乙丙丙丁丁平均数平均数(环环)9.29.29.29.2方差方差(环环2)0.0350.0150.0250.027则这则这四人中成四人中成绩发挥绩发挥最最稳稳定的是定的是()()A.甲甲 B.乙乙 C.丙丙 D.丁丁乙乙第4题4（2010福建南平）如福建南平）如图图是甲、乙两位同学某学是甲、乙两位同学某学期的四次数学考期的四次数学考试试成成绩绩的折的折线统计图线统计图，则这则这四次数四次数学考学考试试成成绩绩中中()A乙成乙成绩绩比甲成比甲成绩稳绩稳定定 B甲成甲成绩绩比乙成比乙成绩稳绩稳定定C甲、乙两成甲、乙两成绩绩一一样稳样稳定定 D不能比不能比较较两人成两人成绩绩的的稳稳定性定性A已知三组数据已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15和和3、6、9、12、15。1、求这三组数据的平均数、方差和标准差。、求这三组数据的平均数、方差和标准差。2、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？平均数平均数方差方差标准差标准差1、2、3、4、511、12、13、14、153、6、9、12、15322132223918请你用发现的结论来解决以下的问题：请你用发现的结论来解决以下的问题：已知数据已知数据a1，a2，a3，an的平均数为的平均数为x，方差为，方差为y。则。则数据数据a1+3，a2+3，a3+3，an+3的平均数为的平均数为-，方差为，方差为-标准差为标准差为-。数据数据a1-3，a2-3，a3-3，an-3的平均数为的平均数为-，方差为，方差为-标准差为标准差为-。数据数据3a1，3a2，3a3，3an的平均数为的平均数为-，方差为，方差为-标准差为标准差为-。数据数据2a1-3，2a2-3，2a3-3，2an-3的平均数为的平均数为-方差为方差为-，标准差为标准差为-。x+3yx-3y3x9y2x-36y1 1、为了描述随机变量的取值在其数学期望为了描述随机变量的取值在其数学期望周围的分散程度，即周围的分散程度，即反映一组数据离散程度反映一组数据离散程度的指标，的指标，我们学习了随机变量的另外一个特我们学习了随机变量的另外一个特征数征数方差方差2、因为方差的单位是随机变量的单位的平方，、因为方差的单位是随机变量的单位的平方，故在实用上有时不方便，此时可改用其算术故在实用上有时不方便，此时可改用其算术平方根平方根标准差标准差小结：小结：3.方差方差:各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这 批数据的方差批数据的方差.4.方差：方差：用来衡量一批数据的用来衡量一批数据的波动大小波动大小(即这批数即这批数据偏离平均数的大小据偏离平均数的大小).在样本容量相同的情况下在样本容量相同的情况下,方差越大方差越大,说明数据的说明数据的波动越大波动越大,越不稳定越不稳定.5.标准差标准差:方差的算术平方根叫做标准差方差的算术平方根叫做标准差.S2=(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2 S=(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2 计算一组数据的方差的一般步骤：计算一组数据的方差的一般步骤：1)1)利用平均数公式计算这组数据的平均数利用平均数公式计算这组数据的平均数X X2)2)利用方差公式计算这组数据的方差利用方差公式计算这组数据的方差S S2 26.平均数与方差的区别平均数与方差的区别平均数是反映一组数据总体趋势的平均数是反映一组数据总体趋势的指标，方差、标准差均是表示一组指标，方差、标准差均是表示一组数据离散程度的指标数据离散程度的指标.计算方差的步骤可概括为计算方差的步骤可概括为“先平均，先平均，后求差，平方后，再平均后求差，平方后，再平均”.
