静态场以及其边值问题解PPT课件.ppt

第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题关于静态场及其边值问题的解1第一张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题26.1 6.1 边值问题的类型边值问题的类型边值问题的类型边值问题的类型已知场域边界面已知场域边界面S 上的位函数值，即上的位函数值，即第一类边值问题（或狄里赫利问题）第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面已知场域边界面S 上的位函数的法向导数值，即上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面已知场域一部分边界面S1 上的上的位函数值，而另一部分边界面位函数值，而另一部分边界面S2 上上则已知则已知位函数的法向导数值，即位函数的法向导数值，即第三类边值问题（或混合边值问题）第三类边值问题（或混合边值问题）第二类边值问题（或纽曼问题）第二类边值问题（或纽曼问题）第二张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题3 自然边界条件自然边界条件（无界空间）（无界空间）周期边界条件周期边界条件 衔接条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如不同媒质分界面上的边界条件，如第三张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题4例：例：（第一类边值问题）（第一类边值问题）（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：第四张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题5 在场域在场域V 的边界面的边界面S上给定上给定 或或 的值，的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有唯具有唯一值。一值。6.2 唯一性定理唯一性定理唯一性定理的重要意义唯一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有唯一解的条件给出了静态场边值问题具有唯一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据唯一性定理的表述唯一性定理的表述第五张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题6唯一性定理的证明唯一性定理的证明反证法反证法：假设解不唯一，则有两个位函数：假设解不唯一，则有两个位函数和和 在场域在场域V内满足同样的方程，即内满足同样的方程，即且在边界面且在边界面S 上有上有令令 ，则则在场域在场域V内内且在边界面且在边界面S 上满足同样的边界条件。上满足同样的边界条件。或或或或第六张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题7由格林第一恒等式由格林第一恒等式可得到可得到对于第一类边界条件：对于第一类边界条件：对于第二类边界条件：若对于第二类边界条件：若 和和 取同一点取同一点Q为参考点为参考点，则，则对于第三类边界条件：对于第三类边界条件：第七张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题8 本节内容本节内容 6.3.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像 6.3 镜像法镜像法第八张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题9 当当有有电电荷荷存存在在于于导导体体或或介介质质表表面面附附近近时时，导导体体和和介介质质表表面面会会出出现现感感应应电电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以以用等效电荷的电位替代用等效电荷的电位替代1.问题的提出问题的提出几个实例几个实例q q6.3.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理接接地地导导体体板板附附近近有有一一个点电荷，如图所示。个点电荷，如图所示。qq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷第九张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题10 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以以用用等等效效电电荷荷的的电电位替代位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷结论结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。问题问题：这种等效电荷是否存在？：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？这种等效是否合理？第十张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题112.镜像法的原理镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，在保持边界条件不变的情况下，将边界面移未知的较为复杂的电荷分布，在保持边界条件不变的情况下，将边界面移去，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空去，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。第十一张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题123.镜像法的理论基础镜像法的理论基础 解的解的唯一性定理唯一性定理 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据唯一性定理，只要找出的解答满足在同一给定方程下提条件下，根据唯一性定理，只要找出的解答满足在同一给定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是唯一的解答。问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是唯一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。第十二张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题13 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素”。4.镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点5.确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。第十三张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题141.点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。6.3.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数因因 z=0 时，时，有效区域有效区域q qq q第十四张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题15上半空间上半空间(z0）的电位函数）的电位函数q q导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为第十五张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题162.线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：镜像线电荷：满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。电位函数电位函数当当z=0 时，时，有效区域有效区域第十六张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题17例6-7 一水平架设的双线传输线，距地面的高度为h，两线间的距离为d，导线的半径为a，如图所示。求双线传输线单位长度的电容。设da,ha。解：把地面作为无限大导体平面，电位为0，因为a(d,h)，所以可近似把 及 看作是分别处在传输线轴线上，采用镜像法求解。镜像电荷的分布如图所示。地面上部空间任一点P的电位就等于这四个线电荷所产生的电位之和，即导线1的电位第十七张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题18第十八张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题19第十九张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题203.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如如图图所所示示，两两个个相相互互垂垂直直相相连连的的半半无无限限大大接接地地导导体体平平板板，点点电电荷荷q 位于位于(d1,d2)处。处。显显然然，q1 对对平平面面 2 以以及及 q2 对对平平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1,d2)对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于(d1,d2)只有在只有在(d1,d2)处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3=q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数 d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第二十张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题21 例例6.3.1 一一个个点点电电荷荷q与与无无限限大大导导体体平平面面距距离离为为d，如如果果把把它它移移至至无无穷远处，需要做多少功？穷远处，需要做多少功？解解：移移动动电电荷荷q时时，外外力力需需要要克克服服电电场场力力做做功功，而而电电荷荷q受受的的电电场场力力来来源源于于导导体体板板上上的的感感应应电电荷荷。可可以以先先求求电电荷荷q 移移至至无无穷穷远远时电场力所做的功。时电场力所做的功。qqx =0d-d 由由镜镜像像法法，感感应应电电荷荷可可以以用用像像电电荷荷 替替代代。当当电电荷荷q 移移至至x时，像电荷时，像电荷 应位于应位于x，则，则像电荷产生的电场强度像电荷产生的电场强度第二十一张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题226.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像 图图1 1 点电荷与电介质点电荷与电介质分界平面分界平面特点：特点：在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。图图2 2 介质介质1 1的镜像电荷的镜像电荷问题：问题：如图如图 1 所示，介电常数分别为所示，介电常数分别为 和和 的两种不同电介质的分界面是无限大的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质平面，在电介质 1 中有一个点电荷中有一个点电荷q，距，距分界平面为分界平面为h，求空间各点的电位求空间各点的电位。分析方法：分析方法：计算电介质计算电介质 1 中的电位时，用中的电位时，用位于介质位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。第二十二张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题23介质介质1中的电位为中的电位为 计算电介质计算电介质 2 中的电位时，用位中的电位时，用位于介质于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为满介电常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图 3 所示。介质所示。介质2中的电位为中的电位为图图3 3 介质介质2 2的镜像电荷的镜像电荷第二十三张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题24可得到可得到说明：说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带电荷（单位长度带），其镜像电荷为），其镜像电荷为利用电位满足的边界条件利用电位满足的边界条件第二十四张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题25图图1 1 线电流与磁介质线电流与磁介质分界平面分界平面图图2 2 磁介质磁介质1 1的镜像线的镜像线电流电流特点特点：在直线电流在直线电流I 产生的磁场作用下，磁介产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。的磁场由线电流和磁化电流共同产生。问题问题：如图如图1所示，磁导率分别为所示，磁导率分别为 和和 的的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介质在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为分界平面，且与分界平面相距为h。分析方法分析方法：在计算磁介质在计算磁介质1中的磁场时，中的磁场时，用置于介质用置于介质2中的镜像线电流来代替分界中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为磁导率为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像线电流与无限大磁介质平面的镜像 第二十五张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题26 因为电流沿因为电流沿 y 轴方向流动，所以矢量轴方向流动，所以矢量磁位只有磁位只有y 分量，则磁介质分量，则磁介质1和磁介质和磁介质2中任一中任一点的矢量磁位分别为点的矢量磁位分别为图图3 3 磁介质磁介质2 2的镜像的镜像线电流线电流 在计算磁介质在计算磁介质2中的磁场时，用置于中的磁场时，用置于介质介质1中的镜像线电流来代替分界面上的中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图3所示。所示。第二十六张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题27相应的磁场可由相应的磁场可由 求得。求得。可得到可得到故故利用矢量磁位满足的边界条件利用矢量磁位满足的边界条件第二十七张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题286.3.5 导体球面的镜像导体球面的镜像1.点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。来等效。q 应位于导体球内（显然应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷不影响原方程），且在点电荷q与球与球心的连线上，距球心为心的连线上，距球心为d。则有。则有 如图所示，点电荷如图所示，点电荷q 位于半径位于半径为为a 的接地导体球外，距球心为的接地导体球外，距球心为d。方法方法：利用导体球面上电位为零确定：利用导体球面上电位为零确定 和和 q。问题问题：PqarRdqPaqrRRdd第二十八张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题29 令令ra，由球面上电位为零，由球面上电位为零，即即 0，得，得此式应在整个球面上都成立。此式应在整个球面上都成立。qPqaRRddO 为了确定 和 ，可在球面上取过 的直径的两端点，对于这两端点的电位式为第二十九张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题30由以上两方程解得第三十张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题31可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。球外的电位函数为球外的电位函数为导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为第三十一张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题32点电荷对接地空心导体球壳的镜像点电荷对接地空心导体球壳的镜像 如图所示接地空心导体球壳的内半径为如图所示接地空心导体球壳的内半径为a、外半径为、外半径为b，点电荷，点电荷q 位于球位于球壳内，与球心相距为壳内，与球心相距为d(d|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量像电荷的位置和电量与外半径像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（无关（为什么为什么？）？）aqdobqrRRaqdOd 与点荷位于接地导体球外同样与点荷位于接地导体球外同样的分析，可得到的分析，可得到第三十二张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题33球壳内的电位球壳内的电位感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为导体球面的内表面上的总感应电荷为导体球面的内表面上的总感应电荷为可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。第三十三张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题342.点电荷对不接地导体球的镜像点电荷对不接地导体球的镜像 先先设设想想导导体体球球是是接接地地的的，则则球球面面上上只只有有总总电电荷荷量量为为q的的感感应应电电荷荷分分布布，则则 导体球不接地时的特点导体球不接地时的特点：导体球面是电位不为零的等位面；导体球面是电位不为零的等位面；球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零。电荷为零。采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷 点电荷点电荷q 位于一个半径为位于一个半径为a 的不接地的不接地导体球外，距球心为导体球外，距球心为d。PqarRdO第三十四张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题35 然后断开接地线，并将电荷然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电荷为零。为加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一个位于球心的镜像电荷可用一个位于球心的镜像电荷q来替代，即来替代，即球外任意点的电位为球外任意点的电位为qPaqrRRddqO第三十五张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题366.3.6 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像问题问题：如图如图 1 所示，一根电荷线密度所示，一根电荷线密度为为 的无限长线电荷位于半径为的无限长线电荷位于半径为a 的的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为轴线平行且到轴线的距离为d。图图1 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱图图2 线电荷与导体圆柱的线电荷与导体圆柱的镜像镜像特点特点：在导体圆柱面上有感应电荷，：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。同产生。分析方法分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。所示。1.线电荷对接地导体圆柱面的镜像线电荷对接地导体圆柱面的镜像第三十六张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题37由于导体圆柱接地，所以当由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 所以有所以有 设镜像电荷的线密度为设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为且距圆柱的轴线为 ，则由，则由 和和 共同产生的电位函数共同产生的电位函数由于上式对任意的由于上式对任意的 都成立，因此，将上式对都成立，因此，将上式对 求导，可以得到求导，可以得到第三十七张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题38导体圆柱面外的电位函数：导体圆柱面外的电位函数：由由 时，时，故故导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。第三十八张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题392.两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴图图1 1 两平行圆柱导体两平行圆柱导体图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴特点特点：由于两圆柱带电导体的电场互相影由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。度较小。分析方法分析方法：将导体表面上的电荷用线将导体表面上的电荷用线密度分别为密度分别为 、且相距为、且相距为2b 的两根的两根无限长带电细线来等效替代，如图无限长带电细线来等效替代，如图 2所示。所示。问题问题：如图如图1所示，两平行导体圆柱的所示，两平行导体圆柱的半径均为半径均为a，两导体轴线间距为，两导体轴线间距为2h，单，单位长度分别带电荷位长度分别带电荷 和和 。第三十九张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题40图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴 通常将带电细线所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方通常将带电细线所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。法又称为电轴法。由由 利用线电荷与接地导体圆柱面的利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定镜像确定b。思考思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？导体圆柱外任一点的电位为第四十张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题416.4 分离变量法分离变量法 本节内容本节内容 6.4.1 分离变量法解题的基本原理分离变量法解题的基本原理 6.4.2 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 6.4.3 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 6.4.4 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法第四十一张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题42 将偏微分方程中含有将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。件确定待定常数。分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法的理论依据是唯一性定理分离变量法的理论依据是唯一性定理分离变量法解题的基本思路：分离变量法解题的基本思路：6.4.1 分离变量法解题的基本原理分离变量法解题的基本原理第四十二张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题43在直角坐标系中，若位函数与在直角坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为无关，则拉普拉斯方程为6.4.2 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法将将 (x,y)表示为两个一维函数表示为两个一维函数 X(x)和和Y(y)的乘积，即的乘积，即将其代入拉普拉斯方程，得将其代入拉普拉斯方程，得再除以再除以 X(x)Y(y)，有，有分离常数分离常数第四十三张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题44 若取若取k2，则有，则有当当当当第四十四张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题45将所有可能的将所有可能的 (x,y)线性线性叠加起来，则得到位函数的通解，即叠加起来，则得到位函数的通解，即 若取若取k2，同理可得到，同理可得到通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。第四十五张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题46 例例6.4.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。体槽内的电位分布。解：解：位函数满足的方程和边界条件位函数满足的方程和边界条件为为因因 (0,y)0、(a,y)0，故，故位函数的通解应取为位函数的通解应取为第四十六张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题47确定待定系数确定待定系数第四十七张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题48将将U0 在（在（0,a）上按）上按 展开为傅里叶级数，即展开为傅里叶级数，即其中其中第四十八张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题49由由故得到故得到第四十九张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题506.4.3 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 令其解为令其解为 代入方程，可得到代入方程，可得到由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程 在圆柱坐标系中，若位函数与在圆柱坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为无关，则拉普拉斯方程为 通常通常(,)随变量随变量 的变化是以的变化是以 2 为周期的周期函数。因此，分为周期的周期函数。因此，分离常数离常数 k 应为整数，即应为整数，即k n(n0,1,2,)。第五十张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题51当当n=0时时 考虑到以上各种情况，考虑到以上各种情况，电位微分方程电位微分方程的解可取下列一般形式的解可取下列一般形式 当当n 0时时 第五十一张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题52 解解 选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向轴为圆柱轴线，电场强度的方向与与x 轴一致，即轴一致，即 当导体圆柱处于静电平衡时，圆当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与柱外的电位分布函数应与z 无关。解的无关。解的形式可取前述一般形式，但应满足下列形式可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条件：两个边界条件：例例 6.4.2 均匀外电场均匀外电场 中，有一半径为中，有一半径为 a、介电常数、介电常数为为的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求介质圆柱内、外的电位函数和电场强度。气，如图所示。试求介质圆柱内、外的电位函数和电场强度。xyaE0oP(,)第五十二张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题53 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为 那么，根据应满足的边界条件即可求得系数那么，根据应满足的边界条件即可求得系数 C1、D1 应为应为 此此式式表表明明，无无限限远远处处电电位位函函数数仅仅为为cos 的的函函数数，可可见见系系数数 ，且，且 。因此电位函数为。因此电位函数为第五十三张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题54代入前式，求得柱外电位分布函数为代入前式，求得柱外电位分布函数为 则圆柱外电场强度为则圆柱外电场强度为 E0电场线电场线等位面等位面xya圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如图所示。圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如图所示。圆柱表面的电荷分布圆柱表面的电荷分布第五十四张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题556.4.4 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 电位微分方程在球坐标系中的展开式为电位微分方程在球坐标系中的展开式为令令代入上式，得代入上式，得与前同理，与前同理，的解应为的解应为且且第五十五张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题56上式中第一项仅为上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与的函数，第二项与 r 无关。因此，与前同理第一无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令项应为常数。为了便于进一步求解，令 式中式中n 为整数。这是尤拉方程，其通解为为整数。这是尤拉方程，其通解为 且且令令 ，则上式变为，则上式变为上式为上式为连带勒让德方程连带勒让德方程，其通解为，其通解为第一类连带勒让德函数第一类连带勒让德函数 与与第二类连带勒让德函数第二类连带勒让德函数 之和，这里之和，这里 m n 。即即第五十六张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题57 根据第二类连带勒让德函数的特性知，当根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时，时，因此，当场存在的区域包括因此，当场存在的区域包括 或或 时，时，此时只能取第一类，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令所以，通常令因此，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合因此，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合 若若静静电电场场与与变变量量 无无关关，则则 m=0。那那么么 称称为为勒勒让德多项式。此时，让德多项式。此时，电位微分方程电位微分方程的通解为的通解为第五十七张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题58 例例 6.4.3 设半径为设半径为a、介电常数为、介电常数为 的介质球放在无限大的真空中，受到的介质球放在无限大的真空中，受到其中均匀电场其中均匀电场 E0 的作用，如的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。图所示。试求介质球内的电场强度。解解 取取球球坐坐标标系系，令令 E0 的的方方向向与与 z 轴轴一一致致，即即 。显显然然，此此时时场场分分布布以以z 轴轴为为旋旋转转对对称称，因因此此与与 无无关关。这这样样，球球内、外的电位分布函数可取为内、外的电位分布函数可取为则球内、外电位分别为则球内、外电位分别为E0zxa0第五十八张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题59球内外电位函数应该满足下列边界条件：球内外电位函数应该满足下列边界条件：无限远处电场未受影响，因此电位应为无限远处电场未受影响，因此电位应为 球内电位与球外电位在球面上应该连续，即球内电位与球外电位在球面上应该连续，即 根据边界上电位移的法向分量的连续性，可知内、外电位根据边界上电位移的法向分量的连续性，可知内、外电位的法向导数在球面上应满足的法向导数在球面上应满足 球心电位球心电位 应为有限值；应为有限值；第五十九张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题60考虑到边界条件考虑到边界条件，系数，系数 Dn 应为零，即应为零，即为了满足边界条件为了满足边界条件，除了，除了A1 以外的系数以外的系数 An 0，且，且 ，即，即 再考虑到边界条件再考虑到边界条件，得，得 为了进一步满足边界条件为了进一步满足边界条件，得，得式中式中第六十张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题61 由于上两式对于所有的由于上两式对于所有的 值均应满足，因此等式两边对应的各项系数值均应满足，因此等式两边对应的各项系数应该相等。由此获知各系数分别为应该相等。由此获知各系数分别为 代入前式，求得球内、外电位分别为代入前式，求得球内、外电位分别为第六十一张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第6章 静态场的边值问题静态场的边值问题感谢大家观看第六十二张，PPT共六十二页，创作于2022年6月