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热工基础第九章 1第1页，共66页，编辑于2022年，星期日研究方法 从连续介质的假设出发从连续介质的假设出发，从宏观的角度来讨从宏观的角度来讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响因素论导热热流量与物体温度分布及其他影响因素之间的关系。之间的关系。连续介质 一一般般情情况况下下，绝绝大大多多数数固固体体、液液体体及及气气体体都都可可以以看看作作连连续续介介质质。但但是是当当分分子子的的平平均均自自由由行行程程与与物物体体的的宏宏观观尺尺寸寸相相比比不不能能忽忽略略时时，如如压压力力降降低低到到一一定定程程度度的的稀稀薄薄气气体体，就就不不能能认认为为是是连续介质。连续介质。2第2页，共66页，编辑于2022年，星期日9-1 导热理论基础 主要内容 （1 1）与导热有关的基本概念；与导热有关的基本概念；（2 2）导热基本定律导热基本定律 ；（3 3）导热现象的数学描述方法。导热现象的数学描述方法。为进一步求解导热问题奠定必要的理论基础。为进一步求解导热问题奠定必要的理论基础。1.导热的基本概念（1）温度场温度场(temperature field)在在 时刻，物体内所有各点的温度分布称为该时刻，物体内所有各点的温度分布称为该物体在该时刻的物体在该时刻的温度场温度场。3第3页，共66页，编辑于2022年，星期日 一一般般温温度度场场是是空空间间坐坐标标和和时时间间的的函函数数，在在直直角角坐坐标系中，温度场可表示为标系中，温度场可表示为非稳态温度场非稳态温度场：温温度度随随时时间间变变化化的的温温度度场场，其其中的导热称为中的导热称为非稳态导热非稳态导热。稳态温度场稳态温度场：温温度度不不随随时时间间变变化化的的温温度度场场，其其中的导热称为中的导热称为稳态导热稳态导热。一维温度场一维温度场二维温度场二维温度场三维温度场三维温度场4第4页，共66页，编辑于2022年，星期日（2）等温面与等温线等温面与等温线 在在在在同同同同一一一一时时时时刻刻刻刻，温温温温度度度度场场场场中中中中温温温温度度度度相相相相同同同同的的的的点点点点连连连连成成成成的的的的线线线线或或或或面面面面称称称称为为为为等温线等温线等温线等温线或或或或等温面等温面等温面等温面。等等等等温温温温面面面面上上上上任任任任何何何何一一一一条条条条线线线线都都都都是是是是等等等等温温温温线线线线。如如如如果果果果用用用用一一一一个个个个平平平平面面面面和和和和一一一一组组组组等等等等温温温温面面面面相相相相交交交交,就就就就会会会会得得得得到到到到一一一一组组组组等等等等温温温温线线线线。温温温温度度度度场可以用一组等温面或等温线表示。场可以用一组等温面或等温线表示。场可以用一组等温面或等温线表示。场可以用一组等温面或等温线表示。等温面与等温线的特征：等温面与等温线的特征：同同同同一一一一时时时时刻刻刻刻，物物物物体体体体中中中中温温温温度度度度不不不不同同同同的的的的等等等等温温温温面面面面或或或或等等等等温温温温线线线线不不不不能能能能相相相相交交交交；在在在在连连连连续续续续介介介介质质质质的的的的假假假假设设设设条条条条件件件件下下下下，等等等等温温温温面面面面（或或或或等等等等温温温温线线线线）或或或或者者者者在在在在物物物物体体体体中中中中构构构构成成成成封封封封闭闭闭闭的的的的曲曲曲曲面面面面（或或或或曲曲曲曲线线线线），或或或或者者者者终终终终止止止止于于于于物物物物体体体体的的的的边边边边界界界界，不不不不可能在物体中中断。可能在物体中中断。可能在物体中中断。可能在物体中中断。5第5页，共66页，编辑于2022年，星期日（3）温度梯度温度梯度(temperature gradient)在在在在温温温温度度度度场场场场中中中中，温温温温度度度度沿沿沿沿x x方方方方向向向向的变化率的变化率的变化率的变化率(即偏导数即偏导数即偏导数即偏导数)很很很很明明明明显显显显,等等等等温温温温面面面面法法法法线线线线方方方方向向向向的的的的温温温温度度度度变变变变化化化化率率率率最最最最大大大大，温温温温度度度度变变变变化化化化最最最最剧剧剧剧烈。烈。烈。烈。温度梯度温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量：等温面法线方向的温度变化率矢量：等温面法线方向的温度变化率矢量：等温面法线方向的温度变化率矢量：n等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。温温温温度度度度梯梯梯梯度度度度是是是是矢矢矢矢量量量量，指指指指向温度增加的方向。向温度增加的方向。向温度增加的方向。向温度增加的方向。6第6页，共66页，编辑于2022年，星期日 在直角坐标系中，温度梯度可表示为在直角坐标系中，温度梯度可表示为在直角坐标系中，温度梯度可表示为在直角坐标系中，温度梯度可表示为 分分别别为为x、y、z 方方向向的的偏偏导导数数;i、j、k 分分别为别为x、y、z 方向的单位矢量。方向的单位矢量。（4）热流密度热流密度(heat flux)热热流流密密度度的的大大小小和和方方向向可可以以用用热流密度矢量热流密度矢量q 表示表示 热流密度矢量热流密度矢量的的方向指向温度降低的方向。方向指向温度降低的方向。ntdAdq7第7页，共66页，编辑于2022年，星期日 在直角坐标系中，在直角坐标系中，在直角坐标系中，在直角坐标系中，热流密度矢量热流密度矢量可表示为可表示为可表示为可表示为 q qx x、q qy y、q qz z分别表示分别表示分别表示分别表示q q在三个坐标方向的分量的大小。在三个坐标方向的分量的大小。在三个坐标方向的分量的大小。在三个坐标方向的分量的大小。2.导热的基本定律 傅里叶傅里叶傅里叶傅里叶（Fourier）于于于于18221822年提出了著名的导热基本定律年提出了著名的导热基本定律年提出了著名的导热基本定律年提出了著名的导热基本定律，即即即即傅里叶定律傅里叶定律傅里叶定律傅里叶定律，指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的，指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的，指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的，指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系。关系。关系。关系。对于对于对于对于各向同性物体各向同性物体各向同性物体各向同性物体,傅里叶定律表达式为傅里叶定律表达式为傅里叶定律表达式为傅里叶定律表达式为 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶定定定定律律律律表表表表明明明明,导导导导热热热热热热热热流流流流密密密密度度度度的的的的大大大大小小小小与与与与温温温温度度度度梯梯梯梯度度度度的的的的绝绝绝绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。8第8页，共66页，编辑于2022年，星期日 标量形式的傅里叶定律表达式为标量形式的傅里叶定律表达式为标量形式的傅里叶定律表达式为标量形式的傅里叶定律表达式为 对于各向同性材料对于各向同性材料对于各向同性材料对于各向同性材料,各方向上的热导率各方向上的热导率各方向上的热导率各方向上的热导率 相等相等相等相等,由由由由傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶定定定定律律律律可可可可知知知知,要要要要计计计计算算算算导导导导热热热热热热热热流流流流量量量量,需需需需要要要要知知知知道道道道材材材材料料料料的的的的热热热热导导导导率率率率,还还还还必必必必须须须须知知知知道道道道温温温温度度度度场场场场。所所所所以以以以,求求求求解解解解温温温温度度度度场场场场是是是是导导导导热分析的主要任务。热分析的主要任务。热分析的主要任务。热分析的主要任务。9第9页，共66页，编辑于2022年，星期日傅里叶定律的适用条件傅里叶定律的适用条件：（1 1 1 1）傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶定定定定律律律律只只只只适适适适用用用用于于于于各各各各向向向向同同同同性性性性物物物物体体体体。对对对对于于于于各各各各向向向向异异异异性性性性物物物物体体体体，热热热热流流流流密密密密度度度度矢矢矢矢量量量量的的的的方方方方向向向向不不不不仅仅仅仅与与与与温温温温度度度度梯梯梯梯度度度度有有有有关关关关,还还还还与与与与热热热热导导导导率率率率的的的的方方方方向向向向性性性性有有有有关关关关,因因因因此此此此热热热热流流流流密密密密度度度度矢矢矢矢量量量量与与与与温温温温度度度度梯梯梯梯度度度度不不不不一一一一定定定定在同一条直线上。在同一条直线上。在同一条直线上。在同一条直线上。（2 2 2 2）傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶定定定定律律律律适适适适用用用用于于于于工工工工程程程程技技技技术术术术中中中中的的的的一一一一般般般般稳稳稳稳态态态态和和和和非非非非稳稳稳稳态态态态导导导导热热热热问问问问题题题题，对对对对于于于于极极极极低低低低温温温温（接接接接近近近近于于于于0K0K0K0K）的的的的导导导导热热热热问问问问题题题题和和和和极极极极短短短短时时时时间间间间产产产产生生生生极极极极大大大大热热热热流流流流密密密密度度度度的的的的瞬瞬瞬瞬态态态态导导导导热热热热过过过过程程程程,如如如如大大大大功功功功率率率率、短短短短脉脉脉脉冲冲冲冲(脉脉脉脉冲冲冲冲宽宽宽宽度度度度可可可可达达达达1010-12-121010-15-15s s)激激激激光光光光瞬瞬瞬瞬态态态态加加加加热热热热等等等等,傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶定定定定律律律律不不不不再再再再适用。适用。适用。适用。xyqxqyqnxy10第10页，共66页，编辑于2022年，星期日3.热导率（导热系数）热热热热导导导导率率率率表表表表明明明明物物物物质质质质导导导导热热热热能能能能力力力力的的的的大大大大小小小小。根根根根据据据据傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶定定定定律律律律表达式表达式表达式表达式 绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。11第11页，共66页，编辑于2022年，星期日物质的热导率在数值上具有下述特点物质的热导率在数值上具有下述特点:(1)(1)(1)(1)对对对对于于于于同同同同一一一一种种种种物物物物质质质质,固固固固态态态态的的的的热热热热导导导导率率率率值值值值最最最最大大大大,气气气气态态态态的的的的热热热热导导导导率值最小；率值最小；率值最小；率值最小；(2)(2)(2)(2)一般金属的热导率大于非金属的热导率一般金属的热导率大于非金属的热导率一般金属的热导率大于非金属的热导率一般金属的热导率大于非金属的热导率 ；(3)(3)(3)(3)导电性能好的金属导电性能好的金属导电性能好的金属导电性能好的金属,其导热性能也好其导热性能也好其导热性能也好其导热性能也好 ；(4)(4)(4)(4)纯金属的热导率大于它的合金纯金属的热导率大于它的合金纯金属的热导率大于它的合金纯金属的热导率大于它的合金 ；(5)(5)(5)(5)对于各向异性物体对于各向异性物体对于各向异性物体对于各向异性物体,热导率的数值与方向有关热导率的数值与方向有关热导率的数值与方向有关热导率的数值与方向有关 ；(6)(6)(6)(6)对对对对于于于于同同同同一一一一种种种种物物物物质质质质,晶晶晶晶体体体体的的的的热热热热导导导导率率率率要要要要大大大大于于于于非非非非定定定定形形形形态态态态物物物物体体体体的的的的热热热热导率导率导率导率。热热热热导导导导率率率率数数数数值值值值的的的的影影影影响响响响因因因因素素素素较较较较多多多多,主主主主要要要要取取取取决决决决于于于于物物物物质质质质的的的的种种种种类类类类、物物物物质质质质结结结结构构构构与与与与物物物物理理理理状状状状态态态态,此此此此外外外外温温温温度度度度、密密密密度度度度、湿湿湿湿度度度度等等等等因因因因素素素素对对对对热热热热导导导导率也有较大的影响。其中温度对热导率的影响尤为重要。率也有较大的影响。其中温度对热导率的影响尤为重要。率也有较大的影响。其中温度对热导率的影响尤为重要。率也有较大的影响。其中温度对热导率的影响尤为重要。12第12页，共66页，编辑于2022年，星期日温度对热导率的影响：温度对热导率的影响：一一一一般般般般地地地地说说说说,所所所所有有有有物物物物质质质质的的的的热热热热导导导导率率率率都都都都是是是是温温温温度度度度的的的的函函函函数数数数,不不不不同同同同物物物物质质质质的的的的热导率随温度的变化规律不同。热导率随温度的变化规律不同。热导率随温度的变化规律不同。热导率随温度的变化规律不同。纯纯纯纯金金金金属属属属的的的的热热热热导导导导率率率率随随随随温温温温度度度度的的的的升升升升高而减小。高而减小。高而减小。高而减小。一一一一般般般般合合合合金金金金和和和和非非非非金金金金属属属属的的的的热热热热导导导导率随温度的升高而增大。率随温度的升高而增大。率随温度的升高而增大。率随温度的升高而增大。大大大大多多多多数数数数液液液液体体体体（水水水水和和和和甘甘甘甘油油油油除除除除外外外外）的热导率随温度的升高而减小。的热导率随温度的升高而减小。的热导率随温度的升高而减小。的热导率随温度的升高而减小。13第13页，共66页，编辑于2022年，星期日 在在在在工工工工业业业业和和和和日日日日常常常常生生生生活活活活中中中中常常常常见见见见的的的的温温温温度度度度范范范范围围围围内内内内,绝绝绝绝大大大大多多多多数数数数材材材材料料料料的的的的热导率可近似地认为随温度线性变化热导率可近似地认为随温度线性变化热导率可近似地认为随温度线性变化热导率可近似地认为随温度线性变化,并表示为并表示为并表示为并表示为 0 0为为为为按按按按上上上上式式式式计计计计算算算算的的的的00下下下下的的的的热热热热导导导导率率率率值值值值，并并并并非非非非热热热热导导导导率率率率的的的的真真真真实实实实值值值值,如如如如图图图图所所所所示示示示。b b b b为为为为由由由由实实实实验验验验确确确确定定定定的的的的常常常常数数数数，其其其其数数数数值值值值与与与与物物物物质质质质的的的的种种种种类类类类有关。有关。有关。有关。14第14页，共66页，编辑于2022年，星期日多孔材料的热导率多孔材料的热导率 绝绝绝绝大大大大多多多多数数数数建建建建筑筑筑筑材材材材料料料料和和和和保保保保温温温温材材材材料料料料（或或或或称称称称绝绝绝绝热热热热材材材材料料料料）都都都都具具具具有有有有多多多多孔孔孔孔或或或或纤纤纤纤维维维维结结结结构构构构(如如如如砖砖砖砖、混混混混凝凝凝凝土土土土、石石石石棉棉棉棉、炉炉炉炉渣渣渣渣等等等等),),),),不不不不是是是是均均均均匀匀匀匀介质介质介质介质,统称统称统称统称多孔材料多孔材料多孔材料多孔材料。多多多多孔孔孔孔材材材材料料料料的的的的热热热热导导导导率率率率是是是是指指指指它它它它的的的的表表表表观观观观热热热热导导导导率率率率,或或或或称称称称作作作作折折折折算算算算热热热热导率导率导率导率。用用用用于于于于保保保保温温温温或或或或隔隔隔隔热热热热的的的的材材材材料料料料。国国国国家家家家标标标标准准准准规规规规定定定定，温温温温度度度度低低低低于于于于350350时热导率小于时热导率小于时热导率小于时热导率小于0.120.12 W/(mW/(m K)K)的材料称为的材料称为的材料称为的材料称为保温材料保温材料保温材料保温材料。保温材料保温材料保温材料保温材料（或称（或称（或称（或称绝热材料绝热材料绝热材料绝热材料）：）：）：）：15第15页，共66页，编辑于2022年，星期日 多孔材料的热导率随温度的升高而增大。多孔材料的热导率随温度的升高而增大。多孔材料的热导率随温度的升高而增大。多孔材料的热导率随温度的升高而增大。多多多多孔孔孔孔材材材材料料料料的的的的热热热热导导导导率率率率与与与与密密密密度度度度和和和和湿湿湿湿度度度度有有有有关关关关。一一一一般般般般情情情情况况况况下下下下密密密密度度度度和和和和湿湿湿湿度愈大，热导率愈大。度愈大，热导率愈大。度愈大，热导率愈大。度愈大，热导率愈大。典型材料热导率的数值范围典型材料热导率的数值范围纯金属纯金属纯金属纯金属 50415 W/(mK)合金合金合金合金 12120 W/(mK)非金属固体非金属固体非金属固体非金属固体 140 W/(mK)液体液体液体液体(非金属非金属非金属非金属)0.170.7 W/(mK)绝热材料绝热材料绝热材料绝热材料 0.030.12 W/(mK)气体气体气体气体 0.0070.17 W/(mK)16第16页，共66页，编辑于2022年，星期日4.导热问题的数学描述（数学模型）（1 1 1 1）导热微分方程式的导出）导热微分方程式的导出）导热微分方程式的导出）导热微分方程式的导出 导热微分方程式导热微分方程式导热微分方程式导热微分方程式+单值性条件单值性条件单值性条件单值性条件建立数学模型的目的建立数学模型的目的建立数学模型的目的建立数学模型的目的：求解温度场：求解温度场：求解温度场：求解温度场依据依据依据依据：能量守恒和傅里叶定律。：能量守恒和傅里叶定律。：能量守恒和傅里叶定律。：能量守恒和傅里叶定律。假设假设假设假设：1 1 1 1）物体由各向同性的连续介质组成）物体由各向同性的连续介质组成）物体由各向同性的连续介质组成）物体由各向同性的连续介质组成；2 2）有有内内热热源源，强强度度为为 ，表表示示单单位位时时间间、单单位位体积内的生成热，单位为体积内的生成热，单位为W/m3 。1 1 1 1）根根根根据据据据物物物物体体体体的的的的形形形形状状状状选选选选择择择择坐坐坐坐标标标标系系系系,选选选选取取取取物物物物体体体体中中中中的的的的微微微微元体作为研究对象；元体作为研究对象；元体作为研究对象；元体作为研究对象；导热数学模型的组成导热数学模型的组成导热数学模型的组成导热数学模型的组成：步骤步骤步骤步骤：2 2 2 2）根据能量守恒）根据能量守恒）根据能量守恒）根据能量守恒,建立微元体的热平衡方程式；建立微元体的热平衡方程式；建立微元体的热平衡方程式；建立微元体的热平衡方程式；3 3 3 3）根根根根据据据据傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶定定定定律律律律及及及及已已已已知知知知条条条条件件件件,对对对对热热热热平平平平衡衡衡衡方方方方程程程程式式式式进进进进行行行行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。归纳、整理，最后得出导热微分方程式。归纳、整理，最后得出导热微分方程式。归纳、整理，最后得出导热微分方程式。17第17页，共66页，编辑于2022年，星期日导热过程中微元体的热平衡导热过程中微元体的热平衡导热过程中微元体的热平衡导热过程中微元体的热平衡：单单单单位位位位时时时时间间间间内内内内，净净净净导导导导入入入入微微微微元元元元体体体体的的的的热热热热流流流流量量量量d与与与与微微微微元元元元体体体体内内内内热热热热源源源源的的的的生生生生成成成成热热热热dV之之之之和和和和等等等等于于于于微微微微元元元元体体体体热热热热力力力力学学学学能的增加能的增加能的增加能的增加dU,即即即即 d+dV=dU d=dx+dy+dz dx=dx dx+dx =qx dydz qx+dx dydz 18第18页，共66页，编辑于2022年，星期日同理可得同理可得同理可得同理可得从从从从y和和和和z方向净导入微元体的热流量分别为方向净导入微元体的热流量分别为方向净导入微元体的热流量分别为方向净导入微元体的热流量分别为于是于是于是于是,在单位时间内净导入微元体的热流量为在单位时间内净导入微元体的热流量为在单位时间内净导入微元体的热流量为在单位时间内净导入微元体的热流量为 单位时间内微元体内热源的生成热：单位时间内微元体内热源的生成热：单位时间内微元体内热源的生成热：单位时间内微元体内热源的生成热：单单单单位位位位时时时时间间间间内内内内微微微微元元元元热热热热力力力力学能的增加：学能的增加：学能的增加：学能的增加：根据微元体的热平衡表达式根据微元体的热平衡表达式根据微元体的热平衡表达式根据微元体的热平衡表达式 d d +d dV V=d dU 可得可得可得可得导热微分导热微分方程式方程式19第19页，共66页，编辑于2022年，星期日 导导导导热热热热微微微微分分分分方方方方程程程程式式式式建建建建立立立立了了了了导导导导热热热热过过过过程程程程中中中中物物物物体体体体的的的的温温温温度度度度随随随随时时时时间间间间和和和和空空空空间变化的函数关系。间变化的函数关系。间变化的函数关系。间变化的函数关系。当热导率当热导率当热导率当热导率 为常数时为常数时为常数时为常数时,导热微分方程式可简化为导热微分方程式可简化为导热微分方程式可简化为导热微分方程式可简化为 式中式中式中式中 2 2是是是是拉普拉斯算子拉普拉斯算子拉普拉斯算子拉普拉斯算子,在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中或写成或写成或写成或写成 称为称为称为称为热扩散率热扩散率热扩散率热扩散率,也称也称也称也称导温系数导温系数导温系数导温系数,单位为单位为单位为单位为mm2 2/s/s。其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。木材木材木材木材a a=1.510=1.510-7-7 紫紫紫紫铜铜铜铜a a=5.33=5.331010-5-5 20第20页，共66页，编辑于2022年，星期日导热微分方程式的简化导热微分方程式的简化导热微分方程式的简化导热微分方程式的简化 (1)(1)(1)(1)物体无内热源：物体无内热源：物体无内热源：物体无内热源：(2)(2)(2)(2)稳态导热：稳态导热：稳态导热：稳态导热：(3)(3)(3)(3)稳态导热、无内热源：稳态导热、无内热源：稳态导热、无内热源：稳态导热、无内热源：2 2t=0，即即即即 21第21页，共66页，编辑于2022年，星期日圆柱坐标系下的导热微分方程式圆柱坐标系下的导热微分方程式圆柱坐标系下的导热微分方程式圆柱坐标系下的导热微分方程式 如果如果如果如果 为常数：为常数：为常数：为常数：22第22页，共66页，编辑于2022年，星期日球坐标系下的导热微分方程式球坐标系下的导热微分方程式球坐标系下的导热微分方程式球坐标系下的导热微分方程式 为常数时为常数时为常数时为常数时23第23页，共66页，编辑于2022年，星期日（2）单值性条件单值性条件l 导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的具导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的具导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的具导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的具体特点体特点体特点体特点,适用于无穷多个导热过程适用于无穷多个导热过程适用于无穷多个导热过程适用于无穷多个导热过程,也就是说有无穷也就是说有无穷也就是说有无穷也就是说有无穷多个解。多个解。多个解。多个解。v 为完整地描写某个具体的导热过程，必须说明导热过为完整地描写某个具体的导热过程，必须说明导热过为完整地描写某个具体的导热过程，必须说明导热过为完整地描写某个具体的导热过程，必须说明导热过程的具体特点程的具体特点程的具体特点程的具体特点,即给出导热微分方程的即给出导热微分方程的即给出导热微分方程的即给出导热微分方程的单值性条件单值性条件单值性条件单值性条件（或（或（或（或称称称称定解条件定解条件定解条件定解条件），使导热微分方程式具有唯一解。），使导热微分方程式具有唯一解。），使导热微分方程式具有唯一解。），使导热微分方程式具有唯一解。v 导热微分方程式导热微分方程式导热微分方程式导热微分方程式与与与与单值性条件单值性条件单值性条件单值性条件一起构成具体导热过一起构成具体导热过一起构成具体导热过一起构成具体导热过程完整的数学描述。程完整的数学描述。程完整的数学描述。程完整的数学描述。v 单值性条件单值性条件单值性条件单值性条件一般包括一般包括一般包括一般包括：几何条件几何条件几何条件几何条件、物理条件物理条件物理条件物理条件、时间时间时间时间条件条件条件条件、边界条件边界条件边界条件边界条件。24第24页，共66页，编辑于2022年，星期日1)1)几何条件几何条件 说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。2)2)物理条件物理条件 说明导热物体的物理性质说明导热物体的物理性质说明导热物体的物理性质说明导热物体的物理性质,例如物体有无内热源以及内热例如物体有无内热源以及内热例如物体有无内热源以及内热例如物体有无内热源以及内热源的分布规律，给出热物性参数源的分布规律，给出热物性参数源的分布规律，给出热物性参数源的分布规律，给出热物性参数(、c、a等)的数值及其特的数值及其特的数值及其特的数值及其特点等。点等。点等。点等。3)3)时间条件时间条件 说明导热过程时间上的特点说明导热过程时间上的特点说明导热过程时间上的特点说明导热过程时间上的特点,是稳态导热还是非稳态导热。是稳态导热还是非稳态导热。是稳态导热还是非稳态导热。是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热对于非稳态导热对于非稳态导热对于非稳态导热,应该给出过程开始时物体内部的温度分布规应该给出过程开始时物体内部的温度分布规应该给出过程开始时物体内部的温度分布规应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律（称为初始条件）：律（称为初始条件）：律（称为初始条件）：律（称为初始条件）：25第25页，共66页，编辑于2022年，星期日4)4)边界条件边界条件 说说说说明明明明导导导导热热热热物物物物体体体体边边边边界界界界上上上上的的的的热热热热状状状状态态态态以以以以及及及及与与与与周周周周围围围围环环环环境境境境之之之之间间间间的的的的相相相相互互互互作作作作用用用用。例例例例如如如如,边边边边界界界界上上上上的的的的温温温温度度度度、热热热热流流流流密密密密度度度度分分分分布布布布以以以以及及及及边边边边界界界界与与与与周周周周围围围围环环环环境之间的热量交换情况等。境之间的热量交换情况等。境之间的热量交换情况等。境之间的热量交换情况等。常见的边界条件分为以下三类常见的边界条件分为以下三类常见的边界条件分为以下三类常见的边界条件分为以下三类:(a)第一类第一类边界条件边界条件 给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：(b)第二类第二类边界条件边界条件 给给给给出出出出边边边边界界界界上上上上的的的的热热热热流流流流密密密密度度度度分分分分布布布布及及及及其其其其随随随随时间的变化规律：时间的变化规律：时间的变化规律：时间的变化规律：26第26页，共66页，编辑于2022年，星期日(c)第三类第三类边界条件边界条件 给给给给出出出出了了了了与与与与物物物物体体体体表表表表面面面面进进进进行行行行对对对对流流流流换换换换热热热热的的的的流体的温度流体的温度流体的温度流体的温度tf及表面传热系数及表面传热系数及表面传热系数及表面传热系数h 。如果物体的某一表面是绝热的如果物体的某一表面是绝热的如果物体的某一表面是绝热的如果物体的某一表面是绝热的,即即即即q qw w=0=0,则则则则 物物物物体体体体内内内内部部部部的的的的等等等等温温温温面面面面或或或或等等等等温温温温线线线线与与与与该绝热表面垂直相交。该绝热表面垂直相交。该绝热表面垂直相交。该绝热表面垂直相交。根根根根据据据据边边边边界界界界面面面面的的的的热热热热平平平平衡衡衡衡，由由由由傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶定定定定律律律律和牛顿冷却公式可得和牛顿冷却公式可得和牛顿冷却公式可得和牛顿冷却公式可得 第第第第三三三三类类类类边边边边界界界界条条条条件件件件建建建建立立立立了了了了物物物物体体体体内内内内部部部部温温温温度度度度在在在在边边边边界界界界处处处处的的的的变变变变化化化化率率率率与与与与边边边边界界界界处处处处对对对对流流流流换换换换热热热热之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系，也也也也称称称称为为为为对对对对流流流流换换换换热热热热边边边边界界界界条件条件条件条件。27第27页，共66页，编辑于2022年，星期日 上上上上式式式式描描描描述述述述的的的的第第第第三三三三类类类类边边边边界界界界条条条条件件件件是是是是线线线线性性性性的的的的,所所所所以以以以也也也也称称称称为为为为线性边界条件线性边界条件线性边界条件线性边界条件，反映了导热问题的大部分实际情况。，反映了导热问题的大部分实际情况。，反映了导热问题的大部分实际情况。，反映了导热问题的大部分实际情况。如如如如果果果果导导导导热热热热物物物物体体体体的的的的边边边边界界界界处处处处除除除除了了了了对对对对流流流流换换换换热热热热还还还还存存存存在在在在与与与与周周周周围围围围环境之间的辐射换热环境之间的辐射换热环境之间的辐射换热环境之间的辐射换热,则边界面的热平衡表达式为则边界面的热平衡表达式为则边界面的热平衡表达式为则边界面的热平衡表达式为 qr 为为为为物物物物体体体体边边边边界界界界面面面面与与与与周周周周围围围围环环环环境境境境之之之之间间间间的的的的净净净净辐辐辐辐射射射射换换换换热热热热热热热热流流流流密密密密度度度度，它它它它与与与与物物物物体体体体边边边边界界界界和和和和周周周周围围围围环环环环境境境境的的的的温温温温度度度度和和和和辐辐辐辐射射射射特特特特性性性性有有有有关关关关,是是是是温温温温度度度度的的的的复复复复杂杂杂杂函函函函数数数数。这这这这种种种种对对对对流流流流换换换换热热热热与与与与辐辐辐辐射射射射换换换换热热热热叠叠叠叠加加加加的的的的复复复复合合合合换换换换热热热热边边边边界界界界条条条条件件件件是非线性的边界条件是非线性的边界条件是非线性的边界条件是非线性的边界条件。本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。28第28页，共66页，编辑于2022年，星期日 对对对对一一一一个个个个具具具具体体体体导导导导热热热热过过过过程程程程完完完完整整整整的的的的数数数数学学学学描描描描述述述述（即即即即导导导导热热热热数数数数学学学学模模模模型）应该包括型）应该包括型）应该包括型）应该包括 建建建建立立立立合合合合理理理理的的的的数数数数学学学学模模模模型型型型,是是是是求求求求解解解解导导导导热热热热问问问问题题题题的的的的第第第第一一一一步步步步,也是最重要的一步。也是最重要的一步。也是最重要的一步。也是最重要的一步。目目目目前前前前应应应应用用用用最最最最广广广广泛泛泛泛的的的的求求求求解解解解导导导导热热热热问问问问题题题题的的的的方方方方法法法法有有有有:(1)(1)(1)(1)分分分分析析析析解解解解法法法法、(2)(2)(2)(2)数数数数值值值值解解解解法法法法、(3)(3)(3)(3)实实实实验验验验方方方方法法法法。这这这这也也也也是是是是求求求求解解解解所所所所有有有有传传传传热热热热学学学学问题的三种基本方法。问题的三种基本方法。问题的三种基本方法。问题的三种基本方法。(1)(1)(1)(1)导热微分方程式导热微分方程式导热微分方程式导热微分方程式;(2)(2)(2)(2)单值性条件。单值性条件。单值性条件。单值性条件。对对对对数数数数学学学学模模模模型型型型进进进进行行行行求求求求解解解解,就就就就可可可可以以以以得得得得到到到到物物物物体体体体的的的的温温温温度度度度场场场场,进进进进而而而而根根根根据据据据傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶定定定定律律律律就就就就可可可可以以以以确确确确定定定定相相相相应应应应的的的的热热热热流流流流分分分分布。布。布。布。本章主要介绍导热问题的分析解法和数值解法。本章主要介绍导热问题的分析解法和数值解法。本章主要介绍导热问题的分析解法和数值解法。本章主要介绍导热问题的分析解法和数值解法。29第29页，共66页，编辑于2022年，星期日9-2 稳态导热 稳态导热是指温度场不随时间变化的导热过程稳态导热是指温度场不随时间变化的导热过程.下下下下面面面面分分分分别别别别讨讨讨讨论论论论日日日日常常常常生生生生活活活活和和和和工工工工程程程程上上上上常常常常见见见见的的的的平平平平壁壁壁壁、圆圆圆圆筒筒筒筒壁壁壁壁、球壁球壁球壁球壁及及及及肋壁肋壁肋壁肋壁的一维稳态导热问题。的一维稳态导热问题。的一维稳态导热问题。的一维稳态导热问题。1.平壁的稳态导热 当当当当平平平平壁壁壁壁的的的的两两两两表表表表面面面面分分分分别别别别维维维维持持持持均均均均匀匀匀匀恒恒恒恒定定定定的的的的温温温温度时，平壁的导热为一维稳态导热。度时，平壁的导热为一维稳态导热。度时，平壁的导热为一维稳态导热。度时，平壁的导热为一维稳态导热。假设假设假设假设：表表表表面面面面面面面面积积积积为为为为A A、厚厚厚厚度度度度为为为为、为为为为常常常常数数数数、无无无无内内内内热热热热源源源源，两两两两侧侧侧侧表表表表面面面面分分分分别别别别维维维维持持持持均均均均匀匀匀匀恒恒恒恒定定定定的的的的温温温温度度度度t tw1w1、t tw2w2，且，且，且，且t tw1w1 t tw2w2 。（1）单层平壁的稳态导热单层平壁的稳态导热 选取坐标轴选取坐标轴选取坐标轴选取坐标轴x x与壁面垂直与壁面垂直与壁面垂直与壁面垂直,如图所示。如图所示。如图所示。如图所示。30第30页，共66页，编辑于2022年，星期日数学模型：数学模型：数学模型：数学模型：x=x=0,0,t=tt=tw1w1 x=x=,t=tt=tw2w2 求解结果：求解结果：求解结果：求解结果：可可可可见见见见，当当当当 为为为为常常常常数数数数时时时时,平平平平壁壁壁壁内内内内温温温温度度度度分分分分布布布布曲曲曲曲线线线线为为为为直直直直线线线线，其其其其斜斜斜斜率率率率为为为为 由傅里叶定律可得热流密度由傅里叶定律可得热流密度由傅里叶定律可得热流密度由傅里叶定律可得热流密度通过整个平壁的热流量为通过整个平壁的热流量为通过整个平壁的热流量为通过整个平壁的热流量为上式与第八章中给出的公式完全相同。上式与第八章中给出的公式完全相同。上式与第八章中给出的公式完全相同。上式与第八章中给出的公式完全相同。31第31页，共66页，编辑于2022年，星期日变热导率问题：变热导率问题：变热导率问题：变热导率问题：当平壁材料的热导率是当平壁材料的热导率是当平壁材料的热导率是当平壁材料的热导率是温度的函数时温度的函数时温度的函数时温度的函数时,平壁一维稳态平壁一维稳态平壁一维稳态平壁一维稳态导热的数学模型为导热的数学模型为导热的数学模型为导热的数学模型为 x=0,t=tw1 x=,t=tw2 当温度变化范围不大时当温度变化范围不大时当温度变化范围不大时当温度变化范围不大时,可以近似地认为材料的热导率可以近似地认为材料的热导率可以近似地认为材料的热导率可以近似地认为材料的热导率随温度作线性变化随温度作线性变化随温度作线性变化随温度作线性变化,即即即即 可见可见可见可见,当平壁材料的热导