静定结构位移计算.pptx

问题：问题：为什么计算结构的位移？为什么计算结构的位移？第1页/共147页4-1 结构位移计算概述结构位移计算概述4-0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾4-2 变变形体形体虚功原理虚功原理4-3 单位荷载法单位荷载法4-4 图乘法图乘法4-5 其它外因引起的位移计算（温度等）其它外因引起的位移计算（温度等）4-6 互等定理互等定理第四章第2页/共147页一、结构的位移一、结构的位移 (Displacement of Structure)(Displacement of Structure)A位移位移转角位移转角位移线位移线位移A A点线位移点线位移A A点水平位移点水平位移A A点竖向位移点竖向位移A A截面转角截面转角FP 4.1 4.1 结构位移计算概述结构位移计算概述 第3页/共147页一、结构的位移一、结构的位移 (Displacement of Structure)(Displacement of Structure)AFP引起结构位移的原因引起结构位移的原因引起结构位移的原因引起结构位移的原因制造误差制造误差 等等荷载荷载温度温度改变改变支座移动支座移动还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产生位移生位移?如何计算如何计算位移位移?4.1 4.1 结构位移计算概述结构位移计算概述 第4页/共147页一、能量法一、能量法 功能原理：可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将做功。对于弹性体，不考虑其它能量的损失，外力在相应位移上做的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能 4.0 4.0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾 第5页/共147页二、应变能二、应变能轴向拉伸和压缩轴(向内)力FP，弹性模量E，截面面积A，杆长l 4.0 4.0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾 第6页/共147页二、应变能二、应变能纯弯曲：横力弯曲：弯曲弯矩M，惯性矩I，弹性模量E，杆长l，转角(纯弯梁)4.0 4.0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾 第7页/共147页二、应变能二、应变能剪切 （相对错动）剪力FQ，截面面积A，剪切模量G，杆长l，截面形状系数k。4.0 4.0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾 第8页/共147页二、应变能二、应变能扭转扭矩T，剪切模量G，极惯性矩IP，杆长l，4.0 4.0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾 第9页/共147页二、应变能二、应变能例：?4.0 4.0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾 第10页/共147页三、卡式第二定理三、卡式第二定理变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于Fi作用点沿Fi方向的位移卡氏第二定理推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构线弹性结构 4.0 4.0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾 第11页/共147页三、卡式第二定理三、卡式第二定理推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构线弹性结构?4.0 4.0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾 第12页/共147页四、摩尔定理（公式）四、摩尔定理（公式）推导过程使用了两种力施加不同顺序得出结果相同，所以只适用线弹性结构线弹性结构 4.0 4.0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾 第13页/共147页四、摩尔定理（公式）四、摩尔定理（公式）4.0 4.0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾 第14页/共147页五、刚体虚位移定理五、刚体虚位移定理 刚体虚位移原理 对于具有理想约束的刚体或刚体系，其平衡的充分必要条件是，作用于刚体或刚体系的外力在任意虚位移时所做的总虚功恒等于零，也即有如下虚功方程成立 虚功=外力在非非自身所产生的变形上所做的功，因此它是常力所做的功，所以没有这一系数。4.0 4.0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾 第15页/共147页五、刚体虚位移定理五、刚体虚位移定理FPl/2l/2 4.0 4.0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾 第16页/共147页一、虚位移、虚力一、虚位移、虚力FPFP/2FP/2对一变形体对一变形体力状态：平衡方程力状态：平衡方程满足平衡条件满足平衡条件位移状态：协调方程位移状态：协调方程满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小FP4.2 变形体虚功原理 第17页/共147页一、虚位移、虚力一、虚位移、虚力不光滑不光滑不连续不连续不满足约束不满足约束4.2 变形体虚功原理 第18页/共147页一、虚位移、虚力一、虚位移、虚力FPFP/2FP/2对一变形体对一变形体力状态：平衡方程力状态：平衡方程满足平衡条件满足平衡条件位移状态：协调方程位移状态：协调方程满足协调条件：光滑、满足约束、微小满足协调条件：光滑、满足约束、微小FP物理方程物理方程4.2 变形体虚功原理 第19页/共147页一、虚位移、虚力一、虚位移、虚力FPFP/2FP/2对一变形体对一变形体力状态：平衡方程力状态：平衡方程满足平衡条件满足平衡条件位移状态：协调方程位移状态：协调方程满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小力的状态和位移状态无关力的状态和位移状态无关虚虚虚虚4.2 变形体虚功原理 第20页/共147页一、虚位移、虚力一、虚位移、虚力关键点：u力状态和位移状态都是对同一个结构而言u虚力状态：满足平衡条件u虚位移状态：满足协调条件u虚力状态和虚位移状态之间不强调因果：“虚”指的是力状态和位移状态间可以无关，不是指“假设”、“虚假”4.2 变形体虚功原理 第21页/共147页二、虚功二、虚功功：是物理学上力对位移的累积的物理量功：是物理学上力对位移的累积的物理量实功实功：力在力在自身自身所产生的位移上所作的功所产生的位移上所作的功虚功虚功：力在力在非自身非自身所产生的位移上所作的功所产生的位移上所作的功4.2 变形体虚功原理 第22页/共147页三、变形体虚功原理概述三、变形体虚功原理概述刚体虚位移原理 对于具有理想约束的刚体或刚体系，其平衡的充分必要条件是，作用于刚体或刚体系的外力在任意刚体虚位移时所做的总虚功恒等于零4.2 变形体虚功原理 第23页/共147页三、变形体虚功原理概述三、变形体虚功原理概述力状态平衡力状态平衡位移状态协调位移状态协调前前 提提虚功原理宣告了一个数学等式虚功原理宣告了一个数学等式4.2 变形体虚功原理 第24页/共147页三、变形体虚功原理概述三、变形体虚功原理概述力状态平衡力状态平衡位移状态协调位移状态协调前前 提提虚功原理宣告了一个数学等式虚功原理宣告了一个数学等式4.2 变形体虚功原理 第25页/共147页三、变形体虚功原理概述三、变形体虚功原理概述整体是平衡的整体是平衡的局部是平衡的局部是平衡的外力外力分割面内力分割面内力变形体上的力状态4.2 变形体虚功原理 第26页/共147页三、变形体虚功原理概述三、变形体虚功原理概述力状态平衡力状态平衡位移状态协调位移状态协调前前 提提虚功原理宣告了一个数学等式虚功原理宣告了一个数学等式4.2 变形体虚功原理 第27页/共147页三、变形体虚功原理概述三、变形体虚功原理概述变形体上的位移状态位移是协调的位移是协调的初始位形初始位形变形位移变形位移刚体位移刚体位移4.2 变形体虚功原理 第28页/共147页三、变形体虚功原理概述三、变形体虚功原理概述力状态平衡力状态平衡位移状态协调位移状态协调前前 提提虚功原理宣告了一个数学等式虚功原理宣告了一个数学等式4.2 变形体虚功原理 第29页/共147页三、变形体虚功原理概述三、变形体虚功原理概述4.2 变形体虚功原理 原理的表述：原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所作的总虚功在虚位移时所作的总虚功We，恒等于变，恒等于变形体所接受的总虚变形功形体所接受的总虚变形功Wi。也即恒有。也即恒有如下虚功方程成立如下虚功方程成立We=Wi第30页/共147页三、变形体虚功原理概述三、变形体虚功原理概述u外力虚功=外力虚位移 =外力（刚体虚位移+变形虚位移）u虚变形功=力变形虚位移 =（外力+分割面内力）变形虚位移变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力4.2 变形体虚功原理 第31页/共147页四、变形体虚功原理证明四、变形体虚功原理证明变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力虚位移）=(外力+分割面内力)虚位移=力(刚体虚位移+变形虚位移)两种算法两种算法第一种第一种第二种第二种4.2 变形体虚功原理 第32页/共147页四、变形体虚功原理证明四、变形体虚功原理证明变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力虚位移）=(外力+分割面内力)虚位移=(外力虚位移)+(分割面内力虚位移)等于零为什么？第一种算法第一种算法4.2 变形体虚功原理 第33页/共147页四、变形体虚功原理证明四、变形体虚功原理证明(分割面内力虚位移)=0，为什么？u相邻分割体间内力是作用力与反作用力的关系，大小相等方向相反u虚位移是协调的，相邻分割体的分割面的虚位移相等虚位移相等虚位移相等大小相等，方向相反大小相等，方向相反第一种算法第一种算法4.2 变形体虚功原理 第34页/共147页四、变形体虚功原理证明四、变形体虚功原理证明变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力虚位移）=(外力+分割面内力)虚位移=(外力虚位移)+(分割面内力虚位移)=(外力虚位移)=We等于零外力总虚功第一种算法第一种算法4.2 变形体虚功原理 第35页/共147页四、变形体虚功原理证明四、变形体虚功原理证明变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力虚位移）=(外力+分割面内力)虚位移=力(刚体虚位移+变形虚位移)两种算法两种算法第一种第一种第二种第二种4.2 变形体虚功原理 第36页/共147页四、变形体虚功原理证明四、变形体虚功原理证明变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力虚位移）=力(刚体虚位移+变形虚位移)=(力 刚体虚位移)+(力变形虚位移)等于零第二种算法第二种算法4.2 变形体虚功原理 第37页/共147页四、变形体虚功原理证明四、变形体虚功原理证明变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力(力 刚体虚位移)=0，为什么？u各分割体上的力系是平衡的u刚体虚位移原理：力系平衡刚体虚功=0第二种算法第二种算法4.2 变形体虚功原理 第38页/共147页四、变形体虚功原理证明四、变形体虚功原理证明变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力虚位移）=力(刚体虚位移+变形虚位移)=(力 刚体虚位移)+(力变形虚位移)=(力变形虚位移)=Wi等于零总虚变形功第二种算法第二种算法4.2 变形体虚功原理 第39页/共147页四、变形体虚功原理证明四、变形体虚功原理证明We=W=Wi说明u虚功原理涉及的两个状态：虚力状态需要满足平衡方程，虚位移满足协调条件u原理的证明过程没有涉及材料、形状等其他信息，因此适用于任何结构uWi=(力变形虚)=(外力变形虚+内力变形虚)当隔离体是微元体时，外力变形虚位移是高阶小量，此时Wi=(内力变形虚位移)。一些书籍将Wi称为内力功，容易引起误解外力总虚功总虚变形功4.2 变形体虚功原理 第40页/共147页qpFPxWe=W=Wi五、直杆系虚功方程五、直杆系虚功方程We 的计算的计算:当无集中荷载时：4.2 变形体虚功原理 q(s)ijp(s)m(s)取任一单元取任一单元u(s)v(s)(s)We=pu+qv+mds第41页/共147页qpFPxWe=W=Wi五、直杆系虚功方程五、直杆系虚功方程We 的计算的计算:当无集中荷载时,We=pu+qv+mds 当有集中荷载时We=pu+qv+mds +FPxu+FPyv+M i集中荷载集中荷载集中荷载处对应位移集中荷载处对应位移 4.2 变形体虚功原理 第42页/共147页qpWe=W=Wi五、直杆系虚功方程五、直杆系虚功方程Wi 的计算的计算:微段拉伸微段剪切微段弯曲取微段,其受力如下变形可看成有如下几部分微段受力微段扭转4.2 变形体虚功原理 第43页/共147页qpWe=W=Wi五、直杆系虚功方程五、直杆系虚功方程Wi 的计算的计算:以水平方向外力以水平方向外力功为例加以说明功为例加以说明微段受力微段拉伸dWi=-FN*0+(FN+dFN)(ds)+pds(0.5 ds)=0.5p ds2+dFNds +FN ds =FN ds4.2 变形体虚功原理 第44页/共147页qpWe=W=Wi五、直杆系虚功方程五、直杆系虚功方程Wi 的计算的计算:Wi=FN+FQ+Mx+Mds 对于直杆体系，由于变形互不耦联，所以We=pu+qv+mds +FPxu+FPyv+M i适用范围：适用范围：1、严格的说仅适用于直杆系、严格的说仅适用于直杆系2、线性和非线性都适用、线性和非线性都适用3、小曲率曲杆近似适用、小曲率曲杆近似适用4.2 变形体虚功原理 第45页/共147页We=W=Wi六、两种应用六、两种应用 1）单位位移法单位位移法：虚功原理用于：虚功原理用于虚设的虚设的协协调位移状态调位移状态与与实际的实际的平衡力状态平衡力状态之间。之间。例例.求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。FPABaC(a)b解：去掉解：去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，则即为，则即为体系实际的虚力状态如图体系实际的虚力状态如图(b)待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态X(b)FP4.2 变形体虚功原理 第46页/共147页待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态X(b)FP由外力虚功总和为零，即：由外力虚功总和为零，即：(c)直线直线虚设协调的位移状态虚设协调的位移状态构造相应的虚位移状态.(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关,故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题用几何法来解静力平衡问题第47页/共147页We=W=Wi六、两种应用六、两种应用例例.求求 A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c 时引起时引起C点的竖向点的竖向位移位移 .(a)ABaCbc 2）单位荷载法单位荷载法：虚功原理用于：虚功原理用于虚设的虚设的平平衡力状态衡力状态与与实际的实际的协调位移状态协调位移状态之间。之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。解：首先构造出相应的虚设力状态。1ABC(b)4.2 变形体虚功原理 在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。第48页/共147页由由 求得：求得：虚功方程为：虚功方程为：这便是这便是单位荷载法单位荷载法(Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell,1864和和Mohr,1874提出，故提出，故也称为也称为Maxwell-Mohr Method(a)ABaCbc1ABC(b)(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力 P=1(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。(4)是用静力平衡法来解几何问题。第49页/共147页单位位移法的虚功方程 平衡方程单位荷载法的虚功方程 几何方程 第一种应用一些文献称为“虚位移原理”，而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要性命题。上述两原理都是充分、必要性命题，它们和虚功原理是有区别的。虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立.虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立”。第50页/共147页一、概述一、概述利用虚功原理计算结构位移实际位移状态FPABC虚设的力状态ABC1单位荷载法单位荷载法：虚功原理用：虚功原理用于于实际的实际的协调位移状态协调位移状态与与虚设的虚设的平衡力状态平衡力状态之间。之间。4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第51页/共147页一、概述一、概述利用虚功原理计算结构位移虚设的力状态1ABCWe=W=Wi对于直杆体系：对于直杆体系：We=Ni+Qi+Mi ds =Wi实际位移状态FPABC 4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第52页/共147页一、概述一、概述=Ni+Qi+Mi ds一般公式的普遍性表现在：一般公式的普遍性表现在：1.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；静定和超静定结构；2.材料性质：线性、非线性；材料性质：线性、非线性；3.变形类型：弯曲变形、拉变形类型：弯曲变形、拉(压压)变形、剪切变形变形、剪切变形4.位移种类：位移种类：广义位移广义位移5.位移原因：荷载、位移原因：荷载、温度改变、支座移动温度改变、支座移动等；等；4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第53页/共147页一、概述一、概述4.位移种类：位移种类：广义位移广义位移AFP线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移广义位移线位移 角位移 相对线位移 CDFP相对角位移 4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第54页/共147页一、概述一、概述4.位移种类：位移种类：广义位移广义位移例:巧妙：所加单位广义力与所求广义位移相对应，相对应，该单位广义力在所求广义位移上所做虚功等于所求广义位移值虚功等于所求广义位移值2)求A截面转角3)求AB两点相对水平位移4)求AB两截面相对转角1)求A点水平位移 4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 BAFP第55页/共147页BA(b)A(a)P=1P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。第56页/共147页ABCd(c)ABC(d)试确定指定广义位移对应的单位广义力。第57页/共147页AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。第58页/共147页P=1(g)A(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。第59页/共147页一、概述一、概述=Ni+Qi+Mi ds一般公式的普遍性表现在：一般公式的普遍性表现在：1.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；静定和超静定结构；2.材料性质：线性、非线性；材料性质：线性、非线性；3.变形类型：弯曲变形、拉变形类型：弯曲变形、拉(压压)变形、剪切变形变形、剪切变形4.位移种类：位移种类：广义位移广义位移5.位移原因：荷载、位移原因：荷载、温度改变、支座移动温度改变、支座移动等；等；4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第60页/共147页一、概述一、概述=Ni+Qi+Mi ds5.位移原因：荷载、位移原因：荷载、温度改变、支座移动温度改变、支座移动等；等；FPABCWe=kt =Nit+Qit+Mit ds=Wi荷载荷载+温度改变温度改变?4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第61页/共147页一、概述一、概述=Ni+Qi+Mi ds5.位移原因：荷载、温度改变、位移原因：荷载、温度改变、支座移动支座移动等；等；We=kC+R1 C1+R2 C2+R3 C3 =0=WiK1K荷载荷载+温度改变温度改变 +支座移动？支座移动？4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第62页/共147页一、概述一、概述=NiP+QiP+MiP ds仅仅荷载作用下：荷载作用下：对于由线弹性直杆组成的结构，有：式中：式中：E 弹性模量；弹性模量；G 剪切模量；剪切模量；A 横截面积；横截面积；I 截面惯性矩；截面惯性矩；k 截面形状系数。如：对矩形截截面形状系数。如：对矩形截面面k=6/5;圆形截面圆形截面k=10/9。4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第63页/共147页一、概述一、概述=NiP+QiP+MiP ds仅仅荷载作用下：荷载作用下：对于由线弹性直杆组成的结构，有：轴向 剪切 弯曲 摩尔公式？摩尔公式？4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第64页/共147页二、例题二、例题例1：已知图示梁的E、G,求A点的竖向位移。l解：构造虚设单位力状态.列出两种状态各杆的内力方程列出两种状态各杆的内力方程内力正负是如内力正负是如何确定的何确定的?各内力对位移各内力对位移大小影响大小影响?4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第65页/共147页二、例题二、例题讨论：讨论：EIqlM84=设杆件设杆件截面截面为为 b h 的矩形截面杆，有：的矩形截面杆，有：问题：问题：的取值范围是什么？的取值范围是什么？4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第66页/共147页二、例题二、例题讨论：讨论：对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计.取：取：，4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第67页/共147页二、例题二、例题例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。（实际位移状态）（实际位移状态）解：构造虚设状态解：构造虚设状态（虚拟力状态）（虚拟力状态）分别列出实际状态和虚拟状态分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内中各杆的内力方程（或画出内力图），如：力图），如：4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第68页/共147页二、例题二、例题例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。（实际位移状态）（实际位移状态）解：构造虚设状态解：构造虚设状态分别列出实际状态和虚拟状态分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内中各杆的内力方程（或画出内力图），如：力图），如：qxxqlqlx 4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第69页/共147页二、例题二、例题例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。解：构造虚设状态解：构造虚设状态分别列出实际状态和虚拟状态分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内中各杆的内力方程（或画出内力图），如：力图），如：（虚拟力状态）（虚拟力状态）xxlx11 4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第70页/共147页二、例题二、例题例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。xxlx11荷载内力图qxxqlqlx单位内力图 4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第71页/共147页二、例题二、例题将内力方程代入公式将内力方程代入公式讨论：讨论：轴向剪切弯曲 引入符号引入符号各内力对位移各内力对位移大小影响大小影响?4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第72页/共147页二、例题二、例题设杆件设杆件截面截面为为 b h 的矩形截面杆，有：的矩形截面杆，有：取：取：，有：，有：4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第73页/共147页二、例题二、例题因此因此,对受弯细长杆件对受弯细长杆件,通常略去通常略去FN,FQ的影响的影响。即：即：4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第74页/共147页二、例题二、例题一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。1.对梁和刚架：对梁和刚架：2.对桁架：对桁架：3.对组合结构：对组合结构：这些公式的适这些公式的适用条件是什么用条件是什么?4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第75页/共147页二、例题二、例题解：例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.NPNi 4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第76页/共147页二、例题二、例题练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.NPNi 4.3 4.3 单位荷载法单位荷载法 第77页/共147页作业:4-34-4第78页/共147页一、概述刚架与梁的位移计算公式为：4.4 图乘法 在杆件数量多的情况下，不方便.特点：单位力内力图为直线段或若干直线组成的折线段 静矩静矩第79页/共147页静矩静矩一、概述一、概述图乘法求位移公式为:图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。4.4 图乘法 第80页/共147页一、概述一、概述1.图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。应取自直线图中。3.若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧，取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。应用注意事项应用注意事项2.当两个图形均为直线图形时当两个图形均为直线图形时,取那个图形取那个图形的面积均可的面积均可4.4 图乘法 第81页/共147页例例1.试求图示梁试求图示梁B端转角端转角.MPMi二、例题二、例题4.4 图乘法 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图第82页/共147页例例2.试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.MPMi二、例题二、例题4.4 图乘法 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图第83页/共147页几种常见图形的面积和形心位置的确定方法几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二次抛物线二、例题二、例题4.4 图乘法 第84页/共147页图（）图BAq例3:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角二、例题二、例题4.4 图乘法 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图第85页/共147页例例 4.已知已知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架C、D两点两点距离的改变距离的改变 。二、例题二、例题4.4 图乘法 第86页/共147页解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图2二、例题二、例题4.4 图乘法 第87页/共147页例例 5.设设 EI 为常数，求为常数，求 二、例题二、例题4.4 图乘法 第88页/共147页解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图BAq图图CABFP=1图图对吗？对吗？应分段！应分段！应分段！应分段！二、例题二、例题4.4 图乘法 第89页/共147页四、应用举例四、应用举例求MPMi例 6.4.4 图乘法 第90页/共147页四、应用举例四、应用举例求MPMi 当两个图形均为直线图形时,取那个图形的面积均可.例 6.4.4 图乘法 第91页/共147页四、应用举例四、应用举例MPMi求例 7.4.4 图乘法 第92页/共147页四、应用举例四、应用举例 例例 8.图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。l/2ql/2MP不是简单图形，分解不是简单图形，分解?分解分解14.4 图乘法 第93页/共147页四、应用举例四、应用举例l/2ql/2MP分解分解24.4 图乘法 第94页/共147页四、应用举例四、应用举例l/2ql/2MP分解分解34.4 图乘法 第95页/共147页例9 求C截面竖向位移MPMi四、应用举例四、应用举例4.4 图乘法 第96页/共147页三、推广应用三、推广应用如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形.梯梯梯梯同同侧侧组组合合+=+=)/32()/32(21dcydcy4.4 图乘法 第97页/共147页三、推广应用三、推广应用如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形.梯梯梯梯异异侧侧组组合合ABCDabcd图图图图b、c 取负值取负值+=+=)/32()/32(21dcydcy注意:是竖标相加,不是图形的简单拼合.4.4 图乘法 第98页/共147页四、应用举例四、应用举例例例10 求求B点水平位移。点水平位移。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MPll注意:各杆刚度可能不同4.4 图乘法 第99页/共147页三、推广应用三、推广应用如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形.阶阶梯梯形形截截面面杆杆I1I2I34.4 图乘法 第100页/共147页lPlPl 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转角。MP练习练习1111对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘,结果为零.11第101页/共147页四、应用举例四、应用举例例例 11.已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。lqllqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图4.4 图乘法 第102页/共147页四、应用举例四、应用举例 例例 12.已知已知 EI 为常数，求为常数，求A点竖向位移点竖向位移 。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图qlllqMP4.4 图乘法 第103页/共147页例例13.已知已知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架A点的竖向位点的竖向位移移 ，并绘出刚架的变形曲线。，并绘出刚架的变形曲线。FP四、应用举例四、应用举例4.4 图乘法 第104页/共147页图图EI2EI图图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl在在 图求面积，在图求面积，在 图取竖标，有：图取竖标，有：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图四、应用举例四、应用举例4.4 图乘法 第105页/共147页绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：凸方向，注意反弯点的利用。如：图图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP四、应用举例四、应用举例4.4 图乘法 第106页/共147页 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 ,并画出变形图。并画出变形图。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqlq练习练习第107页/共147页 已知已知 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图Mi练习练习第108页/共147页例例 14.已知已知 CD、BD杆的杆的 和和AC杆的杆的 为常数，求为常数，求 。FPABCDaaa+11aFP+FPFP a解：作荷载和单位荷载的内力图解：作荷载和单位荷载的内力图四、应用举例四、应用举例第109页/共147页FPABCDaaa+11aFP+FPFP a第110页/共147页四、应用举例四、应用举例例例 15.已知：已知：E、I、A为常数，求为常数，求 。ABCFPaD4.4 图乘法 第111页/共147页解：作荷载内力图和单位荷载内力图四、应用举例四、应用举例4.4 图乘法 ABCFPaDABC1aD若把二力杆换成弹簧,该如何计算?第112页/共147页四、应用举例四、应用举例4.4 图乘法 讨论讨论:如果如果B支座处为刚度支座处为刚度k的的弹簧，该如何计算？弹簧，该如何计算？ABCFPk显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为 。因此，弹簧对位移的贡献为 。由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为ABCkFP=1若把弹簧看成一个弹性支座,该如何计算?第113页/共147页解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求B点竖向位移点竖向位移,EI=常数。常数。FPlll1MP练习练习MP第114页/共147页解：作荷载内力图和单位荷载内力图求求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。练习练习lllMP第115页/共147页练习练习解：作荷载内力图和单位荷载内力图求求A点竖向位移点竖向位移,EI=常数常数。MPlllAkk第116页/共147页图示一等截面圆弧曲杆图示一等截面圆弧曲杆AB,截面为矩形，圆弧的圆心截面为矩形，圆弧的圆心角为角为a a,半径为半径为R。设均布竖向荷载。设均布竖向荷载 q 沿水平线作用，沿水平线作用，试求试求B点的竖向位移点的竖向位移 By第117页/共147页虚拟状态：虚拟状态：在在B点点加加单单位位竖竖向向荷荷载载取O点为坐标原点，任一点C极半径为R，圆心角q计算实际状态和单位荷载作用下的内力 荷载内力式荷载内力式单位荷载内力式单位荷载内力式第118页/共147页荷载内力式荷载内力式单位荷载内力式单位荷载内力式第119页/共147页讨论讨论：设 对对于于细细长长受受弯弯构构件件(梁梁/曲曲杆杆)，弯弯曲曲变变形形对对位位移移 的的影影响响是是主主要要的的。一一般般轴轴力力和和剪剪力力所所引引起起的的位位移移可可以以忽略不计。忽略不计。若第120页/共147页作业:4-1(a)4-24-6第121页/共147页1 1、概述、概述 4.54.5其它外因引起的位移计算其它外因引起的位移计算ABCFP实际位移状态ABC1虚设力状态FR3FR2FR1We=FRi ci+FN、FQ、M、=Wi=FN+FQ+Mds第122页/共147页1 1、概述、概述 4.54.5其它外因引起的位移计算其它外因引起的位移计算位移计算的一般公式：位移计算的一般公式：=-FRi ci+FN+FQ+Mds支座位移公式荷载位移公式温度位移公式第123页/共147页2 2、温度位移、温度位移温度位移公式微段的温度变形分析图示结构，设外侧温度升高图示结构，设外侧温度升高 ，内侧温，内侧温度升高度升高 ，求，求K点的竖向位移点的竖向位移 。4.54.5其它外因引起的位移计算其它外因引起的位移计算线线膨膨胀胀系系数数第124页/共147页2 2、温度位移、温度位移温度位移公式微段的温度变形分析微段轴向伸长：微段轴向伸长：4.54.5其它外因引起的位移计算其它外因引起的位移计算其中：其中：若截面形心轴在截面中线：若截面形心轴在截面中线：第125页/共147页2 2、温度位移、温度位移温度位移公式微段的温度变形分析微段截面两端的相对转角：微段截面两端的相对转角：4.54.5其它外因引起的位移计算其它外因引起的位移计算其中：其中：温度变化时，杆件不引起温度变化时，杆件不引起剪应变剪应变第126页/共147页2 2、温度位移、温度位移温度位移公式 4.54.5其它外因引起的位移计算其它外因引起的位移计算等直杆情况下，等直杆情况下，h 为常量为常量若有若有 a a,t1,t2 沿杆长不变沿杆长不变第127页/共147页2 2、温度位移、温度位移温度引起的位移计算公式:上式中的正、负号：上式中的正、负号：4.54.5其它外因引起的位移计算其它外因引起的位移计算t0 升高为正，降低为负升高为正，降低为负w wNi 拉为正，压为负拉为正，压为负w wM 温温度度变变化化产产生生的的弯弯曲曲变变形形与与M产产生生的的弯弯曲曲方方向向相相同时为正，反之为负同时为正，反之为负第128页/共147页例：刚架施工时温度为20 ，试求冬季外侧温度为-10 ，内侧温度为 0 时A点的竖向位移 。已知 l=4 m,各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m解：构造虚拟状态MiFNi第129页/共147页例：求图示桁架温度改变引起的AB杆转角.解：构造虚拟状态FN第130页/共147页支座位移公式荷载位移公式温度位移公式 4.54.5其它外因引起的位移计算其它外因引起的位移计算第131页/共147页2 2、支座位移、支座位移支座位移公式例1：求CBAFP=1解：构造虚设力状态CBAll 4.54.5其它外因引起的位移计算其它外因引起的位移计算第132页/共147页2 2、支座位移、支座位移支座位移公式解：构造虚设力状态()例例 2：已知：已知 l=12 m,h=8 m,求 4.54.5其它外因引起的位移计算其它外因引起的位移计算第133页/共147页2 2、支座位移、支座位移支座位移公式问题：问题：当桁架有制造误差当桁架有制造误差 时时,如何求位移如何求位移？4.54.5其它外因引起的位移计算其它外因引起的位移计算 为杆件长度制造误差，超出量为正、短缺量为负为杆件长度制造误差，超出量为正、短缺量为负