二阶线性偏微分方程的分类PPT讲稿.ppt
二阶线性偏微分方程的二阶线性偏微分方程的分类分类第1页，共37页，编辑于2022年，星期四10.1 基本概念基本概念(1)偏微分方程偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如含有未知多元函数及其偏导数的方程，如其中其中是未知多元函数，是未知多元函数，而而 是未知是未知变变量；量；为为的偏的偏导导数数.有有时为时为了了书书第2页，共37页，编辑于2022年，星期四写方便，通常记写方便，通常记(2)方程的阶方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的程的阶阶(3)方程的次数方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的分方程的次数次数第3页，共37页，编辑于2022年，星期四(4)线性方程线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的合）偏导数的幂次数幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程的方程称为非线性方程(5)准线性方程准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程(6)自由项自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项项称为自由项第4页，共37页，编辑于2022年，星期四例如例如：方程的通解和特解概念方程的通解和特解概念二阶线性非齐次偏微分方程二阶线性非齐次偏微分方程 的的通解通解为为其中其中是两个独立的任意函数因是两个独立的任意函数因为为方程方程为为二阶的，所以是两个任意的函数若给函数二阶的，所以是两个任意的函数若给函数 指定为指定为 特殊的特殊的，则得到的解，则得到的解第5页，共37页，编辑于2022年，星期四称为方程的称为方程的特解特解 n阶常微分方程的通解含有阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而个任意常数，而n阶偏微分方程的通阶偏微分方程的通解含有解含有n个任意函数个任意函数10.2 数学物理方程的分类数学物理方程的分类第6页，共37页，编辑于2022年，星期四 在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程波动方程；热传导方程；稳定场方程这三类方程描写了不这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点点我们在解析几何中知道对于二次实曲线我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中其中 为常数，且设为常数，且设 第7页，共37页，编辑于2022年，星期四则则当当 时，上述二次曲线分别为双时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类微分方程进行分类.下面主要以含下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析为例，进行理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的两个自变量两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为普遍形式为第8页，共37页，编辑于2022年，星期四（10.2.1）其中其中 为为的已知函数的已知函数 定理定理10.2.1 如果如果 是方程是方程(10.2.2)的一般积分，则的一般积分，则 是方程是方程第9页，共37页，编辑于2022年，星期四(10.2.3)的一个特解的一个特解在具体求解方程在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式时，需要分三种情况讨论判别式 1.当判别式当判别式 以求得两个以求得两个实函数解实函数解 时，从方程时，从方程(10.2.10)可可第10页，共37页，编辑于2022年，星期四也就是说，偏微分方程也就是说，偏微分方程(10.2.1)有有两条实的特征线两条实的特征线于是，令于是，令即可使得即可使得 同时，根据同时，根据(10.2.4)式，就可以断定式，就可以断定 所以，方程所以，方程(10.2.6)即为即为 (10.2.4)第11页，共37页，编辑于2022年，星期四或者进一步作变换或者进一步作变换于是有于是有所以所以第12页，共37页，编辑于2022年，星期四又可以进一步将方程又可以进一步将方程(10.2.11)化为化为 这种类型的方程称为这种类型的方程称为双曲型方程双曲型方程我们前面建立的波动方程就属于我们前面建立的波动方程就属于此类型此类型2当判别式当判别式 时：这时方程时：这时方程(10.2.10)一定有重根一定有重根第13页，共37页，编辑于2022年，星期四因而只能求得一个解，例如，因而只能求得一个解，例如，特征线为特征线为 一条实特征线一条实特征线作变换作变换 就可以使就可以使 由由(10.2.4)式可以得出，一定有式可以得出，一定有，故可推出，故可推出 这样就可以任意选取另一个变换，这样就可以任意选取另一个变换，只要它和只要它和 彼此独立，即雅可俾式彼此独立，即雅可俾式第14页，共37页，编辑于2022年，星期四即可这样，方程即可这样，方程(10.2.6)就化为就化为 此类方程称为此类方程称为抛物型方程抛物型方程热传导（扩散）方程就属于热传导（扩散）方程就属于这种类型这种类型第15页，共37页，编辑于2022年，星期四3.当判别式当判别式 面的讨论，只不过得到的面的讨论，只不过得到的 时：这时，可以重复上时：这时，可以重复上和和 是一是一对共轭的复函数，或者说，偏微分方程对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的的两条特征线是两条特征线是一对共轭复函数族一对共轭复函数族于是于是是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量第16页，共37页，编辑于2022年，星期四于是于是所以所以 方程方程(10.2.11)又可以进一步化为又可以进一步化为第17页，共37页，编辑于2022年，星期四 这种类型的方程称为这种类型的方程称为椭圆型方程椭圆型方程拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程、方程、泊松泊松(Poisson)方程和方程和Helmholtz 方程都属于这种类型方程都属于这种类型 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式需讨论判别式 即可即可.第18页，共37页，编辑于2022年，星期四10.3 二阶线性偏微分方程标准化二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程对于二阶线性偏微分方程(10.3.1)若判别式为若判别式为，则二阶，则二阶线性偏微分方程分为三类：线性偏微分方程分为三类：第19页，共37页，编辑于2022年，星期四时，方程称为双曲型时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型时，方程称为抛物型;时，方程称为椭圆型时，方程称为椭圆型;1.双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，第20页，共37页，编辑于2022年，星期四设设特征方程的解特征方程的解为为 令令 (10.3.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式第21页，共37页，编辑于2022年，星期四(10.3.3)上式称为上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量，再作变量代换，令代换，令或或 则偏微分方程又变为则偏微分方程又变为第22页，共37页，编辑于2022年，星期四(10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式 注：上式中的注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如 与与是两个不同的函数。是两个不同的函数。2抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程第23页，共37页，编辑于2022年，星期四因为抛物型偏微分方程的判别式因为抛物型偏微分方程的判别式 线是线是一族实函数曲线一族实函数曲线，所以特征曲，所以特征曲其其特征方程的解特征方程的解为为 (10.3.5)因此令因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为进行自变量变换，则原偏微分方程变为(10.3.6)第24页，共37页，编辑于2022年，星期四上式称为抛物型偏微分方程的标准形式上式称为抛物型偏微分方程的标准形式3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式椭圆型偏微分方程的判别式，所以特征曲线是，所以特征曲线是一组共轭复变函数族其一组共轭复变函数族其特征方程的解为特征方程的解为(10.3.7)若令若令 第25页，共37页，编辑于2022年，星期四(10.3.8)作自变量变换，则偏微分方程变为作自变量变换，则偏微分方程变为(10.3.9)上式称为上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式椭圆型偏微分方程的标准形式第26页，共37页，编辑于2022年，星期四10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简化简 如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型双曲型 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简可进一步化简第27页，共37页，编辑于2022年，星期四注：上式中用小写字母注：上式中用小写字母代表常系数，以便与代表常系数，以便与我我们们不妨令不妨令 大写字母代表某函数区别开来大写字母代表某函数区别开来,例如例如为了化简，为了化简，从而有从而有(10.4.2)第28页，共37页，编辑于2022年，星期四其中其中 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简一步化简(10.4.3)式中式中 均为常系数若令均为常系数若令第29页，共37页，编辑于2022年，星期四 则有则有(10.4.4)(10.4.5)其中其中 第30页，共37页，编辑于2022年，星期四对于对于含常系数的抛物型偏微分标准方程含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）（含常系数）（10.4.6）还可以进一步化简上式中小写字母还可以进一步化简上式中小写字母 均为常系数均为常系数 为了化简，不妨令为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.7)2.抛物型抛物型第31页，共37页，编辑于2022年，星期四3.椭圆型椭圆型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数含常系数)(10.4.8)还可以进一步进行化简上式中小写字母的还可以进一步进行化简上式中小写字母的 为常系数为常系数第32页，共37页，编辑于2022年，星期四为了化简，不妨令为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.9)其中其中 第33页，共37页，编辑于2022年，星期四 含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下面的形式：面的形式：其中其中 L 是二阶线性偏微分算符，是二阶线性偏微分算符，G是是x,y的函数的函数线性偏微分算符有以下两个基本特征：线性偏微分算符有以下两个基本特征：10.5 线性偏微分方程解的特征线性偏微分方程解的特征第34页，共37页，编辑于2022年，星期四其中其中 均为常数进一步有如下结论：均为常数进一步有如下结论：1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：为为方程的解方程的解时时，则则也也为为方程的解；方程的解；(1).当当为为方程的解，方程的解，则则也是方程的解；也是方程的解；(2)若若2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：第35页，共37页，编辑于2022年，星期四为为非非齐齐次方程的特解，次方程的特解，为齐为齐次方程的通解，次方程的通解，则则为为非非齐齐次方程的通解；次方程的通解；(1)若若(2)若若 则则3线性偏微分方程的叠加原理线性偏微分方程的叠加原理需要指出需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠 第36页，共37页，编辑于2022年，星期四加原理，即若加原理，即若是方程是方程（其中（其中 L 是二是二阶线阶线性偏微分算符）的解性偏微分算符）的解.如果如果级级数数 收敛，且二阶偏导数存在（其中收敛，且二阶偏导数存在（其中 为任意常数），则为任意常数），则 一定是方程一定是方程 的解的解 程右端的级数是收敛的）程右端的级数是收敛的）（当然要假定这个方（当然要假定这个方第37页，共37页，编辑于2022年，星期四
