统计学普通相关分析幻灯片.ppt
统计学普通相关分析统计学普通相关分析第1页，共22页，编辑于2022年，星期二 变量之间的相关关系有两种：变量之间的相关关系有两种：确定性的关系确定性的关系 不确定性的关系不确定性的关系 相关分析是研究变量之间不确定关系的统计方法。相关分析是研究变量之间不确定关系的统计方法。最为常见的是两个或多个随机变量之间的线性相关最为常见的是两个或多个随机变量之间的线性相关关系。关系。也是本章研究的主要内容。也是本章研究的主要内容。第2页，共22页，编辑于2022年，星期二定义定义:X,Y 是随机变量是随机变量,已知二维已知二维(X,Y)分布分布,总体相关系数总体相关系数 1.两个随机变量的总体两个随机变量的总体(简单简单)相关系数相关系数一一.两个随机变量的总体相关与样本相关两个随机变量的总体相关与样本相关相关系数相关系数 XY-1,1,若若 XY=0,则称则称 X 与与 Y 不相关不相关.若若 X 与与Y 相互独立相互独立,则必然不相关则必然不相关,即即 XY=0.反之反之,不相关不相关,不一定独立不一定独立.但对两个正态分布但对两个正态分布,不相关不相关 独立独立.第3页，共22页，编辑于2022年，星期二 2.样本相关样本相关定义定义:(X1,Y1),(Xn,Yn)是是(X,Y)的的 一组样本一组样本(样本样本 X,Y 是配对的是配对的,不可独自交换顺序不可独自交换顺序),则样本相则样本相关系数关系数:注意注意:小写的小写的 xi 是大写是大写 Xi 的中心化结果的中心化结果,即即 xi=Xi X.对对yi 同理同理.这种相关关系这种相关关系,又称又称 Pearson积矩相关积矩相关.第4页，共22页，编辑于2022年，星期二 表10-1 我国人均国民收入与人均消费金额数据 单位:元年份人均国民收入人均消费金额年份人均国民收入人均消费金额1981198219831984198519861987393.8419.14460.86544.11668.29737.73859.972492672893294064515131988198919901991199219931068.81169.21250.71429.51725.92099.56436907138039471148相关系数计算相关系数计算【例例例例】在在研研究究我我国国人人均均消消费费水水平平的的问问题题中中，把把全全国国人人均均消消费费额额记记为为y y，把把人人均均国国民民收收入入记记为为x x。我我们们收收集集到到1981198119931993年年的的样样本本数数据据(x xi i ，y yi i)，i i=1,2,=1,2,，1313，数据见表，数据见表10-110-1，计算相关系数。，计算相关系数。第5页，共22页，编辑于2022年，星期二计算结果计算结果解：根据样本相关系数的计算公式有根据样本相关系数的计算公式有 人均国民收入与人均消费金额之间的相关系人均国民收入与人均消费金额之间的相关系 数为数为 0.9987第6页，共22页，编辑于2022年，星期二3 样本相关系数的几何解释样本相关系数的几何解释xy|y|=y12+yn2,表示向量表示向量 y=(y1,yn)T的模长的模长.第7页，共22页，编辑于2022年，星期二4.直观散点图直观散点图设有配对样本观测值设有配对样本观测值:x1,xn与与 y1,yn,则其直观散点则其直观散点图如图图如图:该散点图该散点图,反映出反映出x,y 之间的正相关关系之间的正相关关系.第8页，共22页，编辑于2022年，星期二1.两组配对的顺序数据的两组配对的顺序数据的 Spearman 等级相关系数等级相关系数(又称秩相关又称秩相关 或或 名名次相关次相关)对两组配对顺序样本而言对两组配对顺序样本而言,无法求出上述样本相关系数无法求出上述样本相关系数,而而应当采用应当采用Spearman 等级相关系数等级相关系数.设有配对样本观测值设有配对样本观测值x1,xn与与 y1,yn .二二.Spearman 等级相关等级相关等级相关系数公式如下等级相关系数公式如下:式中式中,而而表示表示 xi 的名次的名次,表示表示yi 的名次的名次.第9页，共22页，编辑于2022年，星期二注注:两个相同的名次两个相同的名次,要加起来除以要加起来除以 2.一个等价的公式是一个等价的公式是:2.刻度级刻度级(Scale)配对样本的等级相关系数配对样本的等级相关系数 刻度级的配对样本刻度级的配对样本,也可以排名次也可以排名次(秩秩),因此可以求因此可以求Spearman 等级相关系数等级相关系数.计算公式同上计算公式同上.等级相关等级相关,也称非参数相关也称非参数相关.第10页，共22页，编辑于2022年，星期二Spearmanman相关相关我国我国30个省市区个省市区1997年的出生率年的出生率X(单位单位:千分之一千分之一)和文盲率和文盲率Y(单位单位:百分之一百分之一)为为20.08 16.68 22.05 20.87 24.70 14.99 18.43 21.89 19.03 14.4517.91 18.99 30.18 28.48 61.13 21.00 32.88 42.14 25.02 14.65出生率出生率文盲率文盲率12.09 16.00 13.22 17.53 10.60 14.28 16.08 12.81 18.05 16.8317.71 20.97 21.24 16.40 23.20 16.59 17.40 14.12 14.24 13.82出生率出生率文盲率文盲率8.02 10.09 13.85 16.59 16.09 12.15 12.53 12.40 5.60 12.117.33 10.80 15.06 10.15 17.05 8.86 10.00 10.94 9.70 18.52出生率出生率文盲率文盲率第11页，共22页，编辑于2022年，星期二 13 16 10 22 20 26 19 29 27 30 14 23 28 24 25 14 16 9 10 8 18 20 27 26 30 22 28 29 25 11 -1 0 1 12 12 8 -1 2 1 0 -8 -5 -1 -1 14 2 3 12 18 17 7 9 8 1 6 5 15 11 21 4 1 6 12 5 15 2 4 7 3 19 17 21 23 13 24 1 -3 0 13 2 5 5 1 -2 -13 -12 -6 -12 8 -20 第12页，共22页，编辑于2022年，星期二三三.偏相关偏相关偏相关偏相关就是就是,在诸多相关的变量中在诸多相关的变量中,剔除了其中的一个或若剔除了其中的一个或若干个变量的影响后干个变量的影响后,两个变量之间的相关关系两个变量之间的相关关系.1.剔除了一个变量剔除了一个变量 Z 的影响后的影响后,两个变量两个变量 X,Y 之间的偏相关之间的偏相关系数。系数。偏相关系数是偏相关系数是:式中式中,r.是普通样本相关系数是普通样本相关系数.第13页，共22页，编辑于2022年，星期二2.剔除了两个变量剔除了两个变量 Z1,Z2 的影响后的影响后,两个变量两个变量 X,Y 之间的偏之间的偏相关系数相关系数偏相关系数是偏相关系数是:式中式中,r.,.是偏相关系数是偏相关系数.第14页，共22页，编辑于2022年，星期二四四.相关系数异于零的显著性检验相关系数异于零的显著性检验 由于我们是通过抽样的方法来研究变量之间的关系由于我们是通过抽样的方法来研究变量之间的关系,所以所以,当当求出各类样本相关系数不为零时求出各类样本相关系数不为零时,并不能真正一定表明变量之并不能真正一定表明变量之间是相关的间是相关的,要通过假设检验判别是否显著异于要通过假设检验判别是否显著异于 0.1.简单样本相关系数简单样本相关系数(Pearson)显著异于显著异于 0 的的 T 检验检验 在二维总体在二维总体(X,Y)服从正态分布条件下服从正态分布条件下,Fisher 给出了检验简给出了检验简单相关系数单相关系数(Pearson)显著异于显著异于0的的t 统计量为统计量为:服从服从 t(n-1)分布分布式中式中,n 是样本容量是样本容量,r 是简单相关系数是简单相关系数.第15页，共22页，编辑于2022年，星期二设定假设设定假设:H0:r=0 H1:r 0 这是一个双尾检验问题这是一个双尾检验问题.2.等级相关系数等级相关系数(Spearman)显著异于显著异于 0 的的 T 检验检验检验等级相关系数检验等级相关系数(Spearman)显著异于显著异于0的的t 统计量为统计量为:服从服从 t(n-1)分布分布式中式中,n 是样本容量是样本容量,r 是等级相关系数是等级相关系数.第16页，共22页，编辑于2022年，星期二3.偏相关系数显著异于偏相关系数显著异于 0 的的 T 检验检验检验偏相关系数显著异于检验偏相关系数显著异于0的的t 统计量为统计量为:服从服从 t(n-1)分布分布式中式中,n 是样本容量是样本容量,r 是偏相关系数，是偏相关系数，k是剔除了的变量数是剔除了的变量数.注意：注意：如果要作正负相关的双向检验，就要做双尾的如果要作正负相关的双向检验，就要做双尾的T检验。如果检验。如果只作正相关或负相关的检验，就只作单尾的只作正相关或负相关的检验，就只作单尾的T检验。检验。选择双尾还是单尾的选择双尾还是单尾的T检验，所计算出来的检验，所计算出来的 t 值是相同的，但是值是相同的，但是t的显著的显著性概率性概率p（统计值（统计值t的外侧概率）是不同的。在双尾情况下，的外侧概率）是不同的。在双尾情况下，t的外侧的的外侧的概率是概率是 21-P(Tt).在单尾的情况下在单尾的情况下,t的外侧的概率是的外侧的概率是1-P(T=7.5344t t(25-2)=2.0687(25-2)=2.0687，拒拒绝绝H H0 0，不不良良贷贷款款与与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系 第22页，共22页，编辑于2022年，星期二
