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第12讲波动方程本讲稿第一页，共二十五页 由于波沿由于波沿 x 轴正向传播，所以在轴正向传播，所以在 x 0 处的每个质处的每个质点将依次较晚开始振动。点将依次较晚开始振动。本讲稿第二页，共二十五页 设波向设波向 x 轴正方向传播，取平衡位置在坐标原点轴正方向传播，取平衡位置在坐标原点o 处的处的质元作参考。设它在时刻质元作参考。设它在时刻 t 的位移为的位移为（振动方程）（振动方程）t 时刻，时刻，o 点的相位：点的相位：则则t 时刻，时刻，p 点的相位：点的相位：由于波源的振动状态由于波源的振动状态相位要延迟一段时间相位要延迟一段时间才能传到才能传到 p 点点本讲稿第三页，共二十五页则，则，p 处质点在处质点在 t 时刻偏离平衡位置的位移为时刻偏离平衡位置的位移为 由于由于 p 点的任意性，这表示的就是波线上任一点的点的任意性，这表示的就是波线上任一点的振动状态。因而它描述的是波传播方向上任一点的振动振动状态。因而它描述的是波传播方向上任一点的振动规律，这就是我们要寻找的波函数。规律，这就是我们要寻找的波函数。本讲稿第四页，共二十五页 如果波反向传播，那么如果波反向传播，那么 t 时刻时刻 p 点的相位比点的相位比 o点点的相位超前的相位超前t 时刻，时刻，o 点点 p 点点 本讲稿第五页，共二十五页解：例题1：一平面简谐波向右传播，波速一平面简谐波向右传播，波速u。若已知。若已知 a 点的振动为点的振动为 ，求波函数。，求波函数。取向右为取向右为 x 轴正向，轴正向，a 点距坐标原点为点距坐标原点为L，波线上波线上 p 点的振动比点的振动比 a 点落后点落后 Luap若若 ，若若 ，p 点的振动比点的振动比 a 点落后；点落后；p 点的振动比点的振动比 a 点超前。点超前。本讲稿第六页，共二十五页 若若 a 点初相位不为零，点初相位不为零，则则若若反向传播反向传播 总之，已知振动点为坐标原点时，波函数为总之，已知振动点为坐标原点时，波函数为“”号对应右行波；号对应右行波；即即讨论“+”号对应左行波号对应左行波本讲稿第七页，共二十五页利用利用 及及 ，角波数角波数波传播单位距离上两点间的相波传播单位距离上两点间的相位差位差 可将波函数改写为可将波函数改写为本讲稿第八页，共二十五页行波方程行波方程二、波函数的物理意义二、波函数的物理意义本讲稿第九页，共二十五页 给定给定则则 表示表示x0 点的振动方程。点的振动方程。其中其中为为x0 处质点落后于处质点落后于 o 点的相位点的相位xyox0 x2tT 为为o 处质点的初相位处质点的初相位y 是（是（t，x）的二元函数）的二元函数在形如在形如的函数中，有两个自变量的函数中，有两个自变量 t、x即即本讲稿第十页，共二十五页 对不同的对不同的 x 点，点，不同。不同。x 越大，相位落后越多。故越大，相位落后越多。故传播方向上各质点的相位依次落后。传播方向上各质点的相位依次落后。这就是波动的基本特征这就是波动的基本特征x0 处质点的振动初相为处质点的振动初相为本讲稿第十一页，共二十五页波线上任意两点间的相位差波线上任意两点间的相位差xyox1x2称为称为波程差波程差若若 则则 n=0，1，2，（振动相位相同）（振动相位相同）是波在空间上的周期性的标志是波在空间上的周期性的标志 可见相差一个波长整数倍距离的质点振动状态完全可见相差一个波长整数倍距离的质点振动状态完全相同，这说明波长这个物理量描写的是波在空间上的周相同，这说明波长这个物理量描写的是波在空间上的周期性。期性。本讲稿第十二页，共二十五页 这相当于用照相机摄下的某时刻这相当于用照相机摄下的某时刻 t 的画面。的画面。给定给定 t=t0表示介质中各质点在此刻偏离平衡位置的位移分布表示介质中各质点在此刻偏离平衡位置的位移分布本讲稿第十三页，共二十五页 给定给定 t=t0 这相当于用照相机摄下的某时刻这相当于用照相机摄下的某时刻 t 的画面。的画面。表示介质中各质点在此刻偏离平衡位置的位移分布表示介质中各质点在此刻偏离平衡位置的位移分布本讲稿第十四页，共二十五页 连续地改变连续地改变 t，就可以得到波形不断地从左就可以得到波形不断地从左到右（或从右向左）移动的过程。到右（或从右向左）移动的过程。本讲稿第十五页，共二十五页同一质点在相邻两时刻的振动相位差同一质点在相邻两时刻的振动相位差T 是波在时间上的周期性的标志是波在时间上的周期性的标志 连续地改变连续地改变 t，就可以得到波形不断地从左到就可以得到波形不断地从左到右（或从右向左）移动的过程。右（或从右向左）移动的过程。本讲稿第十六页，共二十五页若若 x,t 均变化均变化i)t 时刻的波函数时刻的波函数ii)t+t 时刻的波函数时刻的波函数包含了不同时刻的波形包含了不同时刻的波形iii)t 时刻，时刻，x 处的某个状态经过处的某个状态经过 t，传播了，传播了 x 的距离的距离本讲稿第十七页，共二十五页波形无畸变地朝前推进波形无畸变地朝前推进在时间在时间 t 内整个波形内整个波形沿波的传播方向平移沿波的传播方向平移了一段距离了一段距离 x这就给了我们一幅行波的图像这就给了我们一幅行波的图像本讲稿第十八页，共二十五页 平面简谐波沿平面简谐波沿 ox 轴正向传播，轴正向传播，u=5m/s，已知坐，已知坐标原点的振动曲线如图。求：标原点的振动曲线如图。求：点的振动方程；点的振动方程；x=5/4 处质点的振动方程，处质点的振动方程，t=3s 时其波形曲线。时其波形曲线。解：例题2：由图知由图知振动方程振动方程本讲稿第十九页，共二十五页其振动曲线图示其振动曲线图示给定给定 ，得振动方程，得振动方程u=5m/s本讲稿第二十页，共二十五页如果已知如果已知的是某的是某 x0点的点的振动图形而不是振动图形而不是原点，该如何计原点，该如何计算？算？给定时间给定时间 ，得波形方程，得波形方程波形曲线如图所示波形曲线如图所示本讲稿第二十一页，共二十五页 平面简谐波沿平面简谐波沿 ox 轴正向传播，轴正向传播，u=5m/s，已知，已知 /2 点的振动曲线如图。求：点的振动曲线如图。求：点的振动方程；点的振动方程；x=5/4 处质点的振动方程，处质点的振动方程，t=3s 时其波形曲时其波形曲线。线。解：例题3：由图知由图知本讲稿第二十二页，共二十五页o 点振动方程点振动方程可得波动方程可得波动方程本讲稿第二十三页，共二十五页0.20mD 已知已知 T=2s，t=1/3 s 时的波形如图时的波形如图(右行右行)，求波，求波函数、函数、D点的振动方程。点的振动方程。解：例题4：由图和已知条件由图和已知条件设波函数为设波函数为本讲稿第二十四页，共二十五页0.20mD由图得：由图得：波函数为：波函数为：求求D点的振动方程点的振动方程 本讲稿第二十五页，共二十五页