D101对弧长和曲线积分21355.pptx
一、对弧长的曲线积分的概念与性一、对弧长的曲线积分的概念与性质质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件的质量,（一）.引例:曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共32页（二）光滑曲线和对对弧长的曲线积分的定义定义1:设空间曲线的参数方程为若不同时为零，且在上连续，则称曲线是光滑曲线注：曲线是光滑的当且仅当曲线每一点都有切线，且切线连续变化光滑当且仅当上连续平面曲线不同时为零且在光滑当且仅当连续故平面曲线第2页/共32页设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点,定义定义2.下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.和对机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共32页如果 L 是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为定义2*面上的曲线弧,是如果是定义在上的有界函数,第4页/共32页注:(2)若在 L 上 f(x,y)1,(3)定积分不能看作对弧长曲线积分的特例.对弧长的曲线积分要求但定积分中表示L的弧长(4)中的L是函数的定义域例其中定义域是(1)曲线形构件的质量可能为负计算解:由被积函数故第5页/共32页（三）（三）.性质性质（k 为常数)(由 组成)机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)(1)第6页/共32页机动 目录 上页 下页 返回 结束(4)若曲线L关于即若则若轴对称，分为对称两部分即函数关于是偶函数,则即函数关于是奇函数,若曲线L关于轴对称，函数关于是偶或奇函数有类似结论第7页/共32页二、对弧长的曲线积分的计算二、对弧长的曲线积分的计算法法基本思路:计算定积分转 化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共32页二、对弧长的曲线积分的计算二、对弧长的曲线积分的计算法法基本思路:计算定积分转 化定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 存在,第9页/共32页证:根据定义 点设各分点对应参数为对应参数为 其中则第10页/共32页注:因此积分限必须满足(2)注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共32页(A)如果曲线如果曲线则有机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)计算公式(B)如果曲线则有(C)如果曲线则有第12页/共32页推广:设空间曲线弧的参数方程为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共32页例例1.计算计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解:上点 O(0,0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共32页例例2.计算半径为计算半径为 R,中心中心角为角为的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解:建立坐标系如图,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共32页例例3.计算计算其中L为圆解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的上半圆曲线极坐标方程为法一a故第16页/共32页例例3.计算计算其中L为圆解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的上半圆法二a曲线参数化为第17页/共32页例例.计算计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共32页例例.计算曲线积分计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解:线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共32页例例6.计算曲线积分计算曲线积分 其中是球面与平面解:的交线参数化曲线:由得故曲线有参数方程第20页/共32页被积函数的定义域为球面若平面是故上的曲线,故又如何?注：第21页/共32页例例.计计算算其中为球面 被平面 所截的圆周.解:由对称性可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共32页思考思考:例中例中 改改为为计算解:令,则圆的形心在原点,故,如何机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共32页内容小结内容小结1.定义2.性质(l 曲线弧 的长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共32页3.计算计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共32页思考与练习思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共32页2.设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程的方程为为(1)求它关于 z 轴的转动惯量(2)求它的质心.解:设其密度为 (常数).(2)L的质量而(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共32页故重心坐标为第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共32页思考思考.有一半圆有一半圆弧弧其线密度 解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共32页备用题备用题1.设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:分段积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共32页2.L为球为球面面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共32页感谢您的欣赏！第32页/共32页
