高中数学空间向量的运算.pptx
平面向量复习定义：既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：用有向线段表示；字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段的起点与终点字母 表示相等的向量：长度相等且方向相同的向量 ABCD第1页/共47页平面向量的加减法运算向量的加法：向量的加法：aba+b平行四边形法则平行四边形法则aba+b三角形法则三角形法则(首尾相连首尾相连)第2页/共47页平面向量的加法运算律加法交换律：加法交换律：abba 加法结合律：加法结合律：(ab)ca(bc)第3页/共47页推广首尾相接的若干向量之和，等于由起始向首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：量的起点指向末尾向量的终点的向量即：第4页/共47页首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：则它们的和为零向量即：第5页/共47页向量的减法向量的减法aba-b三角形法则三角形法则 减向量减向量终点指向终点指向被减向量被减向量终点终点第6页/共47页一、空间向量的基本概念空间向量空间向量零零向量向量单位单位向量向量相等相等向量向量相反相反向量向量既有既有大小大小，又有，又有方向方向的量的量长度为长度为零零的向量的向量长度为长度为1的向量的向量方向方向相同相同，长度，长度相等相等的向量的向量方向方向相反相反，长度，长度相等相等的向量的向量向量的模表示向量的有向线段的长度第7页/共47页8abab bb第8页/共47页a+babABbCOa-b二、空间向量的加减运算第9页/共47页10加法交换律加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律加法结合律 注注:两个空间向量的加、减法两个空间向量的加、减法与两个平面向量与两个平面向量的加、减法实质是一样的的加、减法实质是一样的.2、对空间向量的加法、减法的小结第10页/共47页ABCDABCD例例1第11页/共47页解：ABCDABCD始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量第12页/共47页练习练习1、在如图所示的平行六面体中，、在如图所示的平行六面体中，求证：求证：ABCDABCD变式：变式：已知平行六面体已知平行六面体 则下列四式中：则下列四式中：其中正确的是其中正确的是 。第13页/共47页14例如例如:三、三、空间向量的数乘运算法则第14页/共47页15 显然显然,空间向量的数乘运算满足分配律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律及结合律FEDCBA第15页/共47页16四、共线向量及其定理四、共线向量及其定理第16页/共47页17lAPB即，P,A,B三点共线。或表示为：第17页/共47页18分析分析:证三点共线可证三点共线可尝试尝试用向量来分析用向量来分析.N第18页/共47页19五五.共面向量及其定理共面向量及其定理:1.1.共面向量共面向量:平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.OA注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一定共面的了。第19页/共47页20第20页/共47页21第21页/共47页221.对于空间任意一点对于空间任意一点O，下列命题正确的是：，下列命题正确的是：(A)若若 ，则，则P、A、B共线共线(B)若若 ，则，则P是是AB的中点的中点(C)若若 ，则，则P、A、B不共线不共线(D)若若 ，则，则P、A、B共线共线2.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任意一点内，并且对空间任意一点O，,则则x的值为的值为()第22页/共47页233.下列下列说明正确的是：说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线4.下列说法正确的是：下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面空间的任意三个向量都共面第23页/共47页AMCGDB第24页/共47页例例3(课本例课本例1)如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD,从平从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 ,求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.第25页/共47页例例3(课本例课本例1)已知已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.证明：证明：四边形ABCD为（）（）代入所以所以 E、F、G、H共面。共面。第26页/共47页例例3 已知已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。证明：证明：由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得：由由知知第27页/共47页六、两个向量的夹角两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0,90,而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是0,180第28页/共47页七、两个向量的数量积注注:两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.规定规定:零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.BB1 1AA1 1第29页/共47页2、空间两个向量的数量积的性质、空间两个向量的数量积的性质第30页/共47页3、空间向量数量积的运算律与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：向量数量积的运算适合乘法结合律吗?即(ab)c一定等于a(bc)吗?第31页/共47页例4、已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150，计算：(1)(a+2b)(2a-b)；(2)|4a一2b|第32页/共47页如图，已知空间四边形如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都的每条边和对角线长都等于等于a，点，点E、F、G分别是分别是AB、AD、DC的中点。求的中点。求下列向量的数量积：下列向量的数量积：练习练习6ABCDEFG第33页/共47页练习练习7解：解：第34页/共47页在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B，D间的距离练习练习8第35页/共47页已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PMQN证明：证明：练习练习9第36页/共47页第37页/共47页练习练习11第38页/共47页八、向量的直角坐标运算八、向量的直角坐标运算新课新课第39页/共47页1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。的对角线的长度。九、距离与夹角九、距离与夹角第40页/共47页在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式第41页/共47页2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。第42页/共47页例例5已知已知 解解:第43页/共47页解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则例例6如图如图,在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.第44页/共47页第45页/共47页证明：不妨设已知正方体的棱长为证明：不妨设已知正方体的棱长为1 1个单个单位长度位长度,设设 分别以分别以 为坐标向量建立空间直为坐标向量建立空间直角坐标系角坐标系 则则例8.在正方体 第46页/共47页感谢您的观看！第47页/共47页
