第1课矩阵的初等变换精选文档.ppt
第第1课矩阵的初等变课矩阵的初等变换换本讲稿第一页，共四十二页线性代数课程简介线性代数课程简介初等代数课程中，介绍了二阶、三阶方程组的求解初等代数课程中，介绍了二阶、三阶方程组的求解线性代数中，主要讨论一般方程组的求解问题线性代数中，主要讨论一般方程组的求解问题为此，引入了行列式、矩阵、向量等概念为此，引入了行列式、矩阵、向量等概念这些概念非常重要，成为了其他学科的基本工具这些概念非常重要，成为了其他学科的基本工具本讲稿第二页，共四十二页线性代数这门课程有两大作用线性代数这门课程有两大作用1、掌握几种重要的数学概念、方法、掌握几种重要的数学概念、方法2、培养抽象思维能力、逻辑思维能力、培养抽象思维能力、逻辑思维能力本讲稿第三页，共四十二页参考资料参考资料胡建华胡建华：线性代数解题指导线性代数解题指导考研复习资料考研复习资料(华中科技大、清华等）华中科技大、清华等）同济大学同济大学线性代数线性代数及配套辅导书）及配套辅导书）本讲稿第四页，共四十二页 为表示它是一个为表示它是一个整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。定义定义本讲稿第五页，共四十二页实矩阵实矩阵:元素是实数元素是实数复矩阵：复矩阵：元素是复数元素是复数例如：例如：是一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是一个 复矩阵复矩阵,本讲稿第六页，共四十二页(1)11的矩阵就是一个数。的矩阵就是一个数。(2)行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵的矩阵 A，称为，称为 n 阶方阵或阶方阵或 n 阶矩阵。阶矩阵。(3)只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵或称为行矩阵或 n 维行向量。维行向量。ai 称为称为A的第的第 i 个分量。个分量。称为列矩阵或称为列矩阵或 m 维列向量。维列向量。ai 称为称为A的第的第 i 个分量。个分量。(4)只有一列的矩阵只有一列的矩阵本讲稿第七页，共四十二页(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O。(6)矩阵矩阵(约定未写出元素全为零约定未写出元素全为零)称为单位矩阵。称为单位矩阵。(7)矩阵矩阵称为对角矩阵。记作称为对角矩阵。记作本讲稿第八页，共四十二页定义定义设设 ，如果，如果(此时称此时称A与与B是是同型矩阵同型矩阵)且且则称则称 A 与与 B 相等相等，记作，记作 A=B。问问：与与 相等吗？相等吗？本讲稿第九页，共四十二页 称矩阵的下面三种变换为称矩阵的下面三种变换为初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换(1)交换矩阵的某两行，记为交换矩阵的某两行，记为(2)以不等于的数乘矩阵的某一行，记为以不等于的数乘矩阵的某一行，记为(3)把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，记为记为类似定义三种类似定义三种初等列变换初等列变换初等列变换初等列变换以上六种变换统称为矩阵的以上六种变换统称为矩阵的初等变换初等变换初等变换初等变换定义定义本讲稿第十页，共四十二页 矩阵的初等变换举例矩阵的初等变换举例 1 1 5 5-1-1 -1-1 1 1 -2-2 1 1 3 3 1 1 -9-9 3 3 7 7 3 3 8 8-1-1 1 1 1 1 -2-2 1 1 3 3 1 1 -9-9 3 3 7 7r r2 2r r4 4 1 1 5 5-1-1 -1-1 3 3 8 8-1-1 1 1本讲稿第十一页，共四十二页-1 1 3-1 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1c1c3 5-2-9 8-1 3 7 1 1 1 1 3 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 14r2 1-1 5-1 1 3-9 7 3-1 8 1 4 4-812本讲稿第十二页，共四十二页 第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行记为行记为rj+kri。1 1 5 5-1-1-1-1 1 1 -2-2 1 1 3 3 1 1 -9-9 3 3 7 7 3 3 8 8-1-1 1 1r r3 3-3r-3r1 1 1 1 5 5 -1-1 -1-1 1 1-2-2 1 1 3 3 1 1-9-9 3 3 7 7 0 0-7-7 2 2 4 4 1 1 5 5-1-1-1-1 1 1 -2-2 1 1 3 3 1 1 -9-9 3 3 7 7 3 3 8 8-1-1 1 1 0 0 2 2 4 4 2 2 1 1 5 5 -1-1 1 1-2-2 3 3 1 1 -9-9 7 7 3 3 8 8 1 1c c3 3+c+c1 1三种初等变换都是可逆的。三种初等变换都是可逆的。注：矩阵间的初等变换不能用等号注：矩阵间的初等变换不能用等号本讲稿第十三页，共四十二页初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同且变换类型相同且变换类型相同初等列变换也有类似的结果初等列变换也有类似的结果逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换本讲稿第十四页，共四十二页定义定义行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵及及行最简行最简(阶梯阶梯)形矩阵形矩阵(行最简行最简形就是所谓的最简单的形就是所谓的最简单的“代表代表”)书书P5 定义定义4行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵本讲稿第十五页，共四十二页行最简阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵（1）台阶左下方元素全为零；）台阶左下方元素全为零；（2）每个台阶上只有一行；）每个台阶上只有一行；（3）每个台阶上第一个元素不为零。）每个台阶上第一个元素不为零。行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵：行最简阶梯形行最简阶梯形(1)(2)(3)+(4)台阶上的第一个元素为台阶上的第一个元素为1,且其所在列其它元素全为零。且其所在列其它元素全为零。本讲稿第十六页，共四十二页 只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯一。从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯一。书书P6 定理定理1.1.1定理定理 例例1本讲稿第十七页，共四十二页化阶梯形：从上到下，从左到右化阶梯形：从上到下，从左到右,化最简形：从下向上，从右到左。化最简形：从下向上，从右到左。本讲稿第十八页，共四十二页(等价关系等价关系)定义定义 如果矩阵如果矩阵A经过经过有限有限次次初等变换初等变换变成矩阵变成矩阵B，就称矩阵，就称矩阵A与与B等价，记作等价，记作 。等价满足：等价满足：(1)自反性：自反性：(2)对称性：对称性：(3)传递性：传递性：本讲稿第十九页，共四十二页3 解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法讨论有讨论有n个未知数个未知数m个方程的线性方程组个方程的线性方程组 是否有解？是否有解？若有解，解是否唯一？若有解，解是否唯一？如何求出所有的解？如何求出所有的解？本讲稿第二十页，共四十二页若若B=(b1,b2,bm)TO，则称则称(1)为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组若若B=(b1,b2,，bm)TO，即：即：则称则称(2)为为(1)对应的对应的齐次线性方程组齐次线性方程组（或（或(1)的导出组的导出组）本讲稿第二十一页，共四十二页系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵本讲稿第二十二页，共四十二页解线性方程组解线性方程组 例例1本讲稿第二十三页，共四十二页下列三种变换称为方程组的三种下列三种变换称为方程组的三种同解变换：同解变换：（1 1）两个方程互换位置；）两个方程互换位置；（2 2）用一个非零数）用一个非零数 k k 乘某个方程；乘某个方程；（3 3）某个方程的常数倍加到另一个方程上去。）某个方程的常数倍加到另一个方程上去。本讲稿第二十四页，共四十二页解线性方程组解线性方程组解解互换互换(1)与与(2)的的位置得位置得 例例1本讲稿第二十五页，共四十二页(2)-(1)2,(3)-(1)4(3)-(2)本讲稿第二十六页，共四十二页(3)(-1/2)消元过程结束，消元过程结束，以下过程称为以下过程称为“回代过程回代过程”。本讲稿第二十七页，共四十二页(2)(-1/3)(1)-(3)2，(2)+(3)2本讲稿第二十八页，共四十二页所以，消元法所以，消元法增广矩阵的初等行变换增广矩阵的初等行变换消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。(1)(2)原方程组的解为：原方程组的解为：本讲稿第二十九页，共四十二页解线性方程组解线性方程组解：解：增广矩阵增广矩阵 例例2本讲稿第三十页，共四十二页即即则原方程组的解为则原方程组的解为有何特点？有何特点？本讲稿第三十一页，共四十二页解：解：同解方程组最后一个方程同解方程组最后一个方程0=-2是矛盾方程，是矛盾方程，所以方程组无解。所以方程组无解。例例3特点特点本讲稿第三十二页，共四十二页 例例4求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解解解 对系数矩阵对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形施行初等行变换化为最简阶梯形:本讲稿第三十三页，共四十二页写出等价方程组并移项写出等价方程组并移项:有何特点？有何特点？本讲稿第三十四页，共四十二页令令写出参数形式的通解写出参数形式的通解通解通解其中其中为任意实数。为任意实数。我们已经初步掌握了线性方程组的求解过程，比较上述三个我们已经初步掌握了线性方程组的求解过程，比较上述三个例题，可得线性方程组解的简要判别，例题，可得线性方程组解的简要判别，书书P12-15，我们将，我们将在后面的章节中学习。在后面的章节中学习。本讲稿第三十五页，共四十二页线性方程组有解的理论总结线性方程组有解的理论总结本讲稿第三十六页，共四十二页线性方程组进行初等行变换线性方程组进行初等行变换同解方程组为：同解方程组为：（1.31.3）其中其中方程组中方程方程组中方程“0=00=0”表示恒等式。表示恒等式。本讲稿第三十七页，共四十二页由方程组（由方程组（1.31.3）可以看出：）可以看出：（1 1）当）当时，方程组（时，方程组（1.31.3）无解，）无解，从而原方程组（从而原方程组（1.11.1）无解；）无解；本讲稿第三十八页，共四十二页（2 2）当）当时，方程组（时，方程组（1.31.3）有解，）有解，故方程组（故方程组（1.11.1）也有解，并且此时）也有解，并且此时1 1）当）当r=n r=n 时，方程组（时，方程组（1.31.3）为：）为：由于由于，由，由“回代过程回代过程”知此方程组有唯一解，知此方程组有唯一解，故方程组（故方程组（1.11.1）有唯一解。）有唯一解。本讲稿第三十九页，共四十二页2 2）当）当 r r n n 时，方程组（时，方程组（1.11.1）有无穷多解，）有无穷多解，(1.4)(1.4)称称为自由未知量，为自由未知量，一组值，一组值，给定自由未知量给定自由未知量代入（代入（1.41.4）可唯一得出）可唯一得出的一组值，这样得到的的一组值，这样得到的的一组值就是方程组（的一组值就是方程组（1.11.1）的一个解。）的一个解。本讲稿第四十页，共四十二页由于自由未知量由于自由未知量的取值是任意的，的取值是任意的，所以方程组（所以方程组（1.11.1）有无穷多解。）有无穷多解。本讲稿第四十一页，共四十二页 作作 业业 p161、（、（1）（）（3）2、（、（2）本讲稿第四十二页，共四十二页
