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第02章静电场第1页，此课件共52页哦2.1 库仑库仑定律和定律和电场电场强强度度2.2 电电位位2.3 电电偶极子的偶极子的电场电场2.4 物物质质的的电电特性特性2.5 静静电场电场的基本方程的基本方程2.6 泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程2.7 分界面的分界面的边边界条件界条件2.8 导导体系体系统统的的电电容容2.9 电场电场能量能量2.10 静静电场边值问题电场边值问题第2页，此课件共52页哦2.1 库仑库仑定律和定律和电场电场强强度度2.1.1库仑库仑定律定律回顾静电场的规律：回顾静电场的规律：图图2-1 库仑定律图库仑定律图 2.1.2电场电场强强度度1.点电荷电场强度点电荷电场强度 图图2-3 点电荷电场分布示意图点电荷电场分布示意图 第3页，此课件共52页哦2.2 电电位位2.2.1电电位的定位的定义义2.2.2点点电电荷的荷的电电位位2.2.4电场电场与与电电位的关系位的关系第4页，此课件共52页哦2.反映介质电特性的物质方程反映介质电特性的物质方程物理意义物理意义静电场是静电场是有散无旋场有散无旋场，电荷分布是静电场的散，电荷分布是静电场的散度源；静电场的基本方程从度源；静电场的基本方程从散度散度和和旋度旋度两个方面完整反映两个方面完整反映了场的特性。了场的特性。1.各向同性线性介质中描述静电场的通量、环量和散度、各向同性线性介质中描述静电场的通量、环量和散度、旋度表达式旋度表达式 2.5 静静电场电场的基本方程的基本方程第5页，此课件共52页哦例例 2.4 一半径为一半径为a的均匀带电球体放置于自由空间中，电的均匀带电球体放置于自由空间中，电荷体密度为荷体密度为V，求球内和球外任意点的电场强度矢量和电，求球内和球外任意点的电场强度矢量和电位位。图图2-16 例例2.4题图题图 解解 (1)求电场强度求电场强度,取球面取球面S，有有如果记如果记第6页，此课件共52页哦(2)求电位求电位球外任意点的电位为球外任意点的电位为 球内任意点的电位为球内任意点的电位为第7页，此课件共52页哦例例 2.5一半径为一半径为a的均匀带电球体放置于自由空间中，电荷体的均匀带电球体放置于自由空间中，电荷体密度为密度为V，求均匀带电球体球内和球外任一点电场强度，求均匀带电球体球内和球外任一点电场强度矢量的散度和旋度。矢量的散度和旋度。解解 带电球体内、外的电场强度矢量为带电球体内、外的电场强度矢量为 代入球坐标系下的散度公式，得到代入球坐标系下的散度公式，得到 在球内在球内 在球外在球外 电场强度矢量仅有径向分量电场强度矢量仅有径向分量Er 第8页，此课件共52页哦把把Er代入旋度公式，代入旋度公式，得到得到 均匀带电球体产生的电场矢量在源区（球内）散度不均匀带电球体产生的电场矢量在源区（球内）散度不为零，在无源区（球外）散度为零，而在源区和无源区旋为零，在无源区（球外）散度为零，而在源区和无源区旋度处处为零。度处处为零。第9页，此课件共52页哦2.6 泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程散度方程散度方程 由由得到求解静电场问题的得到求解静电场问题的泊松方程泊松方程 如果如果V=0，得到，得到拉普拉斯方程拉普拉斯方程 总结求解静电场的三种方法总结求解静电场的三种方法第10页，此课件共52页哦2.7 分界面的分界面的边边界条件界条件2.7.1 D的法向分量的法向分量 电场中存在多种介质时，介质分界面两边的电场不连电场中存在多种介质时，介质分界面两边的电场不连续，但续，但 满足一定的关系，称为边界条件。满足一定的关系，称为边界条件。图图2-18 D的法向分量的法向分量 如图如图2-18所示，所示，电通密度矢量法向电通密度矢量法向的边界条件为的边界条件为 或或由物质方程由物质方程 电场强度法向分量电场强度法向分量的边界条件的边界条件 可得到可得到第11页，此课件共52页哦将电位与电场的关系将电位与电场的关系 代入代入 有有 利用方向导数公式得利用方向导数公式得电位函数表示的法向电位函数表示的法向边界条件边界条件如果分界面不存在自由电荷分布如果分界面不存在自由电荷分布 如果介质如果介质2为理想导体，为理想导体，E2=D2=0 第12页，此课件共52页哦2.7.2 E的切向分量的切向分量图图2-19 E的切向分量的切向分量 从图从图2-29中，可得中，可得电场强度矢量的切向分量电场强度矢量的切向分量边界条件边界条件 电通密度矢量的切向分量电通密度矢量的切向分量边界条件边界条件 矢量形式矢量形式 电位形式电位形式边界条件边界条件 如果介质如果介质2为理想导体，则为理想导体，则E2=0，表明静电场总是垂表明静电场总是垂直于导体表面，导体表面为等位面。直于导体表面，导体表面为等位面。第13页，此课件共52页哦2.7.3 静静电场边电场边界条件小界条件小结结第14页，此课件共52页哦例例 2.6 设两半无限大介质，介电常数分别为设两半无限大介质，介电常数分别为 ，介，介质分界面为质分界面为 XY 平面。如果介质平面。如果介质 1 中的电场强度为中的电场强度为E1=E1xex+E1yey+E1zez，求介质，求介质2中的电场中的电场E2和两个电场矢量和两个电场矢量方向之间的关系。方向之间的关系。图图2-20 例例2.6题图题图 解解 设设 根据边界条件，有根据边界条件，有 即即 及及或或 代入代入E2的表达式，得到的表达式，得到第15页，此课件共52页哦图图2-20 例例2.6题图题图 因为因为所以，有所以，有 由此式可以看出，电通密度由此式可以看出，电通密度矢量矢量D和电场强度矢量和电场强度矢量E通过介通过介质分界面时，一般要改变方向。质分界面时，一般要改变方向。第16页，此课件共52页哦17求求1区中的区中的 和和 解解 根据根据边边界条件，界条件，由由 ，有，有则则得得1区区2区区xyz电电介介质质与自由空与自由空间间的的分界面分界面O补补充例充例题题，如如图图所示，所示，1区的媒区的媒质质参数参数为为 、2区的媒质参数为区的媒质参数为 。若已知自由空间的电场。若已知自由空间的电场强度为强度为第17页，此课件共52页哦18又由又由 ，有，有则则得得最后得到最后得到第18页，此课件共52页哦2.8 导导体系体系统统的的电电容容2.8.1 两两导导体体电电容容两导体电容器的电容定义为两导体电容器的电容定义为图图2-22 两导体构成的电容器两导体构成的电容器 电容的单位是法拉电容的单位是法拉(F)，跟库伦，跟库伦/伏特伏特(C/V)等效。等效。第19页，此课件共52页哦2.9 电场电场能量能量2.9.1 电场电场能量能量电容器储存能量：电容器储存能量：2.9.2 能量密度能量密度对于任意静电系统内的储能对于任意静电系统内的储能 第20页，此课件共52页哦2.10 静静电场边值问题电场边值问题2.10.1 边值问题边值问题的分的分类类 实际中遇到的大多数工程问题是求解有限区域的电场或实际中遇到的大多数工程问题是求解有限区域的电场或电位函数，这样的问题称之为电位函数，这样的问题称之为静电场的边值问题静电场的边值问题。在给定的区域内求解在给定的区域内求解 或或 .1.第一类边界条件第一类边界条件或或狄利克莱条件狄利克莱条件2.第二类边界条件第二类边界条件或或诺依曼条件诺依曼条件3.第三类边界条件第三类边界条件或或混合边界条件混合边界条件4.自然边界条件自然边界条件第21页，此课件共52页哦2.10.2 唯一性定理唯一性定理 唯一性定理唯一性定理表明：对任意的静电场，当电荷分布和求表明：对任意的静电场，当电荷分布和求解区域边界上的边界条件确定时，空间区域的场分布就唯解区域边界上的边界条件确定时，空间区域的场分布就唯一地确定的。一地确定的。证明略。证明略。第22页，此课件共52页哦2.10.3 镜镜像法像法 镜像法镜像法适合于无界区域静电场问题的求解。关键是在求适合于无界区域静电场问题的求解。关键是在求解的区域之外寻找虚拟电荷（镜像电荷解的区域之外寻找虚拟电荷（镜像电荷），使求解区域内），使求解区域内的实际电荷与虚拟电荷共同作用产生的电场能满足实际边的实际电荷与虚拟电荷共同作用产生的电场能满足实际边界上复杂的电荷分布或电位边界条件，又能在求解区域内界上复杂的电荷分布或电位边界条件，又能在求解区域内满足微分方程。满足微分方程。第23页，此课件共52页哦1.平面镜像法平面镜像法点电荷对无限大接地导体平板的镜像点电荷对无限大接地导体平板的镜像 设在无限大接地导体平面的上半空间放一点电荷设在无限大接地导体平面的上半空间放一点电荷+q，如图如图2-26(a)所示。计算上半空间的电场分布所示。计算上半空间的电场分布。图图2-26 点电荷对无限大接地导点电荷对无限大接地导 体平板的镜像体平板的镜像(a)在上半空间，除源点在上半空间，除源点S(0,0,h)外，外，电位满足边值问题电位满足边值问题（2-104）第24页，此课件共52页哦用镜像法求解，用镜像法求解，步骤如下：步骤如下：（1）移去导体板，下半空间用）移去导体板，下半空间用0的介质填充的介质填充,图图2-26 点电荷对无限大接地导点电荷对无限大接地导 体平板的镜像体平板的镜像(b)（2）取与）取与+q等量异号电荷等量异号电荷-q，放置于与源电荷镜像的放置于与源电荷镜像的位置位置S(0,0,-h)处；处；（3）利用叠加原理求点电荷）利用叠加原理求点电荷+q和和-q在在P点产生的电位点产生的电位 第25页，此课件共52页哦（4）验证其正确性）验证其正确性 首先验证电位函数是否满足拉普拉斯方程首先验证电位函数是否满足拉普拉斯方程 第26页，此课件共52页哦其次验证电位函数是否满足边界条件其次验证电位函数是否满足边界条件 根据唯一性定理根据唯一性定理，式，式(2-105)为边值问题为边值问题(2-104)的解。的解。上半空间任一点的电场强度为上半空间任一点的电场强度为 第27页，此课件共52页哦其次验证电位函数是否满足边界条件其次验证电位函数是否满足边界条件 根据唯一性定理根据唯一性定理，式，式(2-105)为边值问题为边值问题(2-104)的解。的解。上半空间任一点的电场强度为上半空间任一点的电场强度为 在导体表面上在导体表面上z=0，R1=R2，令，令R=R1=R2，导体表面的电场强度为导体表面的电场强度为第28页，此课件共52页哦导体表面电荷面密度导体表面电荷面密度导体表面的电场强度导体表面的电场强度导体表面的感应电荷总量导体表面的感应电荷总量第29页，此课件共52页哦可以证明可以证明 当两半无限大相交导体平面之间的夹角为当两半无限大相交导体平面之间的夹角为时，时，n=3600/，n为整数，则需镜像电荷数为为整数，则需镜像电荷数为n-1.例例 2.12 如图如图2-27(a)所示，在自由空间垂直放置两个半无限大所示，在自由空间垂直放置两个半无限大接地导体平面接地导体平面,在在x 0，y 0的空间放置一点电荷的空间放置一点电荷+q，求在该，求在该区域内的电位和电场分布。区域内的电位和电场分布。图图2-27两半无限大直角导两半无限大直角导体平面的镜像体平面的镜像(a)解解 两半无限大导体平面间的夹角为两半无限大导体平面间的夹角为=900，那么，那么，n=3600/900=4，则所需，则所需镜像电荷数为镜像电荷数为3。镜像法求解可按如下步骤进行：镜像法求解可按如下步骤进行：第30页，此课件共52页哦(1)在在x0的空间填充的空间填充 的介质，并在对称的位置上的介质，并在对称的位置上放置放置-q，如图，如图2-27(b)所示所示.图图2-27两半无限大直角导两半无限大直角导体平面的镜像体平面的镜像(b)(2)在在y 0，或或3k2x 0,k2y 0,则方程（则方程（2-168）的解取三角函数形）的解取三角函数形式式,方程（方程（2-169）的解取双曲函数形式）的解取双曲函数形式;（2-168）（2-169）2k2x 0,则方程（则方程（2-168）的解取双曲函数形式）的解取双曲函数形式，方程（，方程（2-169）的解取三角函数形式）的解取三角函数形式;3本征函数所满足的边界条件为本征函数所满足的边界条件为（2-171）（2-172）第42页，此课件共52页哦 可推断出可推断出 4.由边界条件由边界条件(2-171)A，B不能同时为零，所以不能同时为零，所以 得到得到有有5.由边界条件由边界条件(2-172)第43页，此课件共52页哦6.根据根据 解得解得有有7.电位函数的特解为电位函数的特解为8.根据线性叠加原理，得到矩形槽内电位的通解为根据线性叠加原理，得到矩形槽内电位的通解为9.确定常数确定常数Bn。将。将 Y(y)的非零边界条件代入，得的非零边界条件代入，得 第44页，此课件共52页哦10将将Bn代入通解形式，得到边值问题代入通解形式，得到边值问题 的解为的解为或或第45页，此课件共52页哦例例 2.14 设有一长方形导体盒，其边长分别为设有一长方形导体盒，其边长分别为a、b和和c，盒底和盒壁四周接地电位为零，盒盖与盒壁绝缘，盒盖电盒底和盒壁四周接地电位为零，盒盖与盒壁绝缘，盒盖电位为位为U0，如图，如图2-35所示，求盒内的电位分布所示，求盒内的电位分布。图图2-35长方形导体盒长方形导体盒 解解 长方形导体盒内电位分布归结为如下边值问题长方形导体盒内电位分布归结为如下边值问题第46页，此课件共52页哦 令令u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)，分离变量可得关于，分离变量可得关于X(x)、Y(y)和和Z(z)的本征方程。的本征方程。本征函数满足的边界条件为本征函数满足的边界条件为 本征函数本征函数X(x)和和Y(y)分别取如下的解形式分别取如下的解形式 分离常数分离常数kx和和ky分别为分别为第47页，此课件共52页哦分离常数分离常数kz满足满足 解得解得根据边界条件根据边界条件 电位函数电位函数u(x,y,z)的特解为的特解为 据线性叠加原理，得到长方形导体盒内电位的通解为据线性叠加原理，得到长方形导体盒内电位的通解为 第48页，此课件共52页哦代入非零边界条件代入非零边界条件 上式两上式两边边乘以乘以并积分并积分第49页，此课件共52页哦由此得到由此得到 将将Bnm代入通解形式，得到边值问题的解为代入通解形式，得到边值问题的解为或或第50页，此课件共52页哦2.圆柱坐标系下的分离变量法圆柱坐标系下的分离变量法 圆柱坐标系下的拉普拉斯方程圆柱坐标系下的拉普拉斯方程令电位函数令电位函数 3.球坐标系下的分离变量法球坐标系下的分离变量法球坐标系下的拉普拉斯方程为球坐标系下的拉普拉斯方程为 用分离变量法求解用分离变量法求解,令令 第51页，此课件共52页哦3.球坐标系下的分离变量法球坐标系下的分离变量法球坐标系下的拉普拉斯方程为球坐标系下的拉普拉斯方程为 用分离变量法求解用分离变量法求解,令令 代入方程得代入方程得 两边同乘以两边同乘以r2/R，并移项，得，并移项，得第52页，此课件共52页哦