4向量组的线性相关性.pptx
向量组的线性相关性n n维向量的概念维向量的概念向量组的线性相关性向量组的线性相关性线性相关性的判别定理线性相关性的判别定理向量组的秩向量组的秩向量空间向量空间第1页/共77页 1 n n维向量的概念第2页/共77页1 1 1 1、定义、定义、定义、定义个数组成的有序数组个数组成的有序数组称为一个称为一个维向量维向量，其中称为第个，其中称为第个分量分量（坐标坐标）.维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行矩阵行矩阵，也就是，也就是行向量行向量，如：如：记作记作,.维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列矩阵列矩阵，也就是，也就是列向量列向量，一、维向量一、维向量一、维向量一、维向量（VectorVector）第3页/共77页2 2、元素全为零的向量称为元素全为零的向量称为零向量零向量（Null VectorNull Vector）.3 3、维数相同的列（行）、维数相同的列（行）向量同型向量同型.元素是复数的向量称为元素是复数的向量称为复向量复向量（Complex VectorComplex Vector）.2 2 2 2、几种特殊向量、几种特殊向量、几种特殊向量、几种特殊向量1 1、元素是实数的向量称为元素是实数的向量称为实向量实向量（Real VectorReal Vector）.4 4、对应分量相等的、对应分量相等的向量相等向量相等.第4页/共77页二、向量的运算二、向量的运算二、向量的运算二、向量的运算1 1 1 1、加法、加法、加法、加法2 2 2 2、数乘、数乘、数乘、数乘向量的加法与数乘合称为向量的向量的加法与数乘合称为向量的线性运算线性运算.第5页/共77页3 3 3 3、运算律、运算律、运算律、运算律（1 1）（交换律）（交换律）（2 2）（结合律）（结合律）（3 3）（4 4）(设设,均是维向量均是维向量,，为实数为实数)（5 5）（6 6）（7 7）（8 8）第6页/共77页.,),(21T21维维向量空间向量空间叫做叫做集合集合维向量的全体所组成的维向量的全体所组成的nRxxxxxxXRnnnn=LL.,),(3叫做叫做三维向量空间三维向量空间的集合的集合三维向量的全体所组成三维向量的全体所组成RzyxzyxrRT=第7页/共77页三、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例第8页/共77页例例例例1 1 1 1设设求求解解第9页/共77页线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应即即或或第10页/共77页向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系其第其第个个列列向量向量记作记作个维个维行向量行向量.按行分块按行分块按列分块按列分块个维个维列向量列向量.其第其第个个行行向量向量记作记作矩阵与向量的关系中矩阵与向量的关系中注意什么是向量的注意什么是向量的个个数数、什么是向量的、什么是向量的维维数数，二者必须分清，二者必须分清.第11页/共77页2 2 向量组的线性相关性第12页/共77页一、向量组的线性相关性定义一、向量组的线性相关性定义线性相关线性无关第13页/共77页的一个的一个线性组合线性组合则称则称 为向量为向量 定义定义 2 2使得使得一组实数一组实数若存在若存在设设n n维向量维向量,2121mmkkkaaaLL,maLa12a线性表示线性表示或称或称 能由向量能由向量,maLa12a)(组成的集合叫做组成的集合叫做向量组向量组.所所或同维数的行向量或同维数的行向量若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量第14页/共77页15定义3 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.一个向量a=0线性相关,而 时线性无关 两个向量线性相关 它们对应分量成比例第15页/共77页16i.e.二、判别方法1.向量个数 未知数的个数 向量维数 方程的个数 (无)(没)(没)第16页/共77页17第17页/共77页18第18页/共77页2.第19页/共77页20第i个分量3.第20页/共77页21从向量组中找尽量多的线性无关向量第21页/共77页例例 2 2解解第22页/共77页第23页/共77页例例 3 3证一证一第24页/共77页第25页/共77页三、性质第26页/共77页27整体无关部分无关部分相关整体相关第27页/共77页第28页/共77页29定义 第29页/共77页练习练习 设向量组设向量组线性相关，则线性相关，则 .第30页/共77页4 向量组的秩第31页/共77页4 向量组的秩向量组等价极大线性无关组与向量组的秩向量组的秩与矩阵秩的关系矩阵的秩与矩阵的运算第32页/共77页1.1.定义定义4 4一、向量组等价一、向量组等价第33页/共77页第34页/共77页第35页/共77页第36页/共77页2.2.性质性质 1 1）自反性）自反性 2 2）对称性）对称性3 3）传递性）传递性具有以上性质的关系称为等价关系具有以上性质的关系称为等价关系第37页/共77页1 1 定义定义7 7二、极大线性无关组与向量组的秩二、极大线性无关组与向量组的秩第38页/共77页第39页/共77页第40页/共77页第41页/共77页第42页/共77页第43页/共77页三、向量组的秩与矩阵秩的关系三、向量组的秩与矩阵秩的关系第44页/共77页向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系其第其第个个列列向量向量记作记作个维个维行向量行向量.按行分块按行分块按列分块按列分块个维个维列向量列向量.其第其第个个行行向量向量记作记作矩阵与向量的关系中矩阵与向量的关系中注意什么是向量的注意什么是向量的个个数数、什么是向量的、什么是向量的维维数数，二者必须分清，二者必须分清.第45页/共77页第46页/共77页证证第47页/共77页第48页/共77页第49页/共77页证明证明设设的某些列的某些列有关系有关系则相应的则相应的具有相同的具有相同的线性关系线性关系.即即中列向量组中列向量组与与中列向量组中列向量组第50页/共77页第51页/共77页解：解：第52页/共77页第53页/共77页第54页/共77页总结：求极大线性无关组及向量的线性表示的方法总结：求极大线性无关组及向量的线性表示的方法方法方法1：矩阵的初等行变换法矩阵的初等行变换法（1 1）以向量组中的向量为列向量作矩阵）以向量组中的向量为列向量作矩阵（2 2）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形）（3 3）取每行第一个非零元所在的列，即为所求）取每行第一个非零元所在的列，即为所求方法方法2：录选法录选法（1 1）在向量组中选一个非零向量）在向量组中选一个非零向量（2 2）再选一个与）再选一个与的对应分量不成比例的向量的对应分量不成比例的向量（3 3）再选一个不能由）再选一个不能由线性表出的向量线性表出的向量线性表出的向量线性表出的向量第55页/共77页四、矩阵的秩与矩阵的运算四、矩阵的秩与矩阵的运算第56页/共77页例例14.14.第57页/共77页第58页/共77页练习练习.第59页/共77页证明证明:第60页/共77页第61页/共77页5 向量空间第62页/共77页向量空间概念基与维数向量的坐标第63页/共77页说明说明一、向量空间的概念定义定义1 1设设V V 为为 n n 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合V V非空，非空，且集合且集合V V 对于对于加法加法及及数乘数乘两种运算两种运算封闭封闭，那么就称，那么就称集合集合V V 为为向量空间向量空间第64页/共77页例例2 2例例1 1 第65页/共77页例例3 3例例4 4练习练习1 1练习练习2 2第66页/共77页例例5 5第67页/共77页那么，向量组那么，向量组 就称为向量就称为向量的一个的一个基基，称为向量空间称为向量空间 的的维数，维数，并称并称 为为 维向量维向量空间空间二、向量空间的基与维数定义定义2 2 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足若若V V 的维数为的维数为r r，记做，记做dimdimV V=r r第68页/共77页只含有零向量的向量空间V称为0维向量空间，即dimV=0,它没有基说明说明n-1维向量空间第69页/共77页第70页/共77页第71页/共77页解：解：第72页/共77页第73页/共77页第74页/共77页第75页/共77页第76页/共77页谢谢大家观赏！第77页/共77页
