微分方程问题的解法幻灯片.ppt
微分方程问题的解法第1页，共85页，编辑于2022年，星期六6.1 微分方程的解析解方法格式：y=dsolve(f1,f2,fm)格式：指明自变量 y=dsolve(f1,f2,fm,x)fi即可以描述微分方程，又可描述初始条件或边界条件。如：描述微分方程时 描述条件时 第2页，共85页，编辑于2022年，星期六例：syms t;u=exp(-5*t)*cos(2*t+1)+5;uu=5*diff(u,t,2)+4*diff(u,t)+2*uuu=87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)+10 syms t y;y=dsolve(D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=,.87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)+10)第3页，共85页，编辑于2022年，星期六 y=dsolve(D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=,.87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1).+10,y(0)=3,Dy(0)=2,D2y(0)=0,D3y(0)=0)第4页，共85页，编辑于2022年，星期六分别处理系数，如：n,d=rat(double(vpa(-445/26*cos(1)-51/13*sin(1)-69/2)ans=-8704 185%rat()最接近有理数的分数判断误差：vpa(-445/26*cos(sym(1)-51/13*sin(1)-69/2+8704/185)ans=.114731975864790922564144636e-4第5页，共85页，编辑于2022年，星期六 y=dsolve(D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=,.87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)+.10,y(0)=1/2,Dy(pi)=1,D2y(2*pi)=0,Dy(2*pi)=1/5);如果用推导的方法求Ci的值，每个系数的解析解至少要写出10数行,故可采用有理式近似 的方式表示.vpa(y,10)%有理近似值ans=1.196361839*exp(-5.*t)+.4166666667-.4785447354*sin(t)*cos(t)*exp(-5.*t)-.4519262218e-1*cos(2.*t)*exp(-5.*t)-2.392723677*cos(t)2*exp(-5.*t)+.2259631109*sin(2.*t)*exp(-5.*t)-473690.0893*exp(-3.*t)+31319.63786*exp(-2.*t)-219.1293619*exp(-1.*t)+442590.9059*exp(-4.*t)第6页，共85页，编辑于2022年，星期六例：求解 x,y=dsolve(D2x+2*Dx=x+2*y-exp(-t),Dy=4*x+3*y+4*exp(-t)第7页，共85页，编辑于2022年，星期六例：syms t x x=dsolve(Dx=x*(1-x2)x=1/(1+exp(-2*t)*C1)(1/2)-1/(1+exp(-2*t)*C1)(1/2)syms t x;x=dsolve(Dx=x*(1-x2)+1)Warning:Explicit solution could not be found;implicit solution returned.In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicdsolve.m at line 292x=t-Int(1/(a-a3+1),a=.x)+C1=0故只有部分非线性微分方程有解析解。第8页，共85页，编辑于2022年，星期六6.2 微分方程问题的数值解法6.2.1 微分方程问题算法概述第9页，共85页，编辑于2022年，星期六微分方程求解的误差与步长问题：第10页，共85页，编辑于2022年，星期六第11页，共85页，编辑于2022年，星期六第12页，共85页，编辑于2022年，星期六6.2.2 四阶定步长Runge-Kutta算法 及 MATLAB 实现第13页，共85页，编辑于2022年，星期六 function tout,yout=rk_4(odefile,tspan,y0)y0初值列向量 t0=tspan(1);th=tspan(2);if length(tspan)t_final=100;x0=0;0;1e-10;%t_final为设定的仿真终止时间 t,x=ode45(lorenzeq,0,t_final,x0);plot(t,x),figure;%打开新图形窗口 plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);axis(10 42-20 20-20 25);%根据实际数值手动设置坐标系第19页，共85页，编辑于2022年，星期六可采用comet3()函数绘制动画式的轨迹。comet3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)第20页，共85页，编辑于2022年，星期六描述微分方程是常微分方程初值问题数值求解的关键。f1=inline(-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);,.-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3),t,x);t_final=100;x0=0;0;1e-10;t,x=ode45(f1,0,t_final,x0);plot(t,x),figure;plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);axis(10 42-20 20-20 25);得出完全一致的结果。第21页，共85页，编辑于2022年，星期六6.2.3.3 MATLAB 下带有附加参数的微分方程求解例：第22页，共85页，编辑于2022年，星期六编写函数function xdot=lorenz1(t,x,flag,beta,rho,sigma)flag变量是不能省略的 xdot=-beta*x(1)+x(2)*x(3);-rho*x(2)+rho*x(3);-x(1)*x(2)+sigma*x(2)-x(3);求微分方程：t_final=100;x0=0;0;1e-10;b2=2;r2=5;s2=20;t2,x2=ode45(lorenz1,0,t_final,x0,b2,r2,s2);plot(t2,x2),options位置为，表示不需修改控制选项 figure;plot3(x2(:,1),x2(:,2),x2(:,3);axis(0 72-20 22 -35 40);第23页，共85页，编辑于2022年，星期六f2=inline(-beta*x(1)+x(2)*x(3);-rho*x(2)+rho*x(3);,.-x(1)*x(2)+sigma*x(2)-x(3),t,x,flag,beta,rho,sigma);flag变量是不能省略的第24页，共85页，编辑于2022年，星期六6.2.4 微分方程转换6.2.4.1 单个高阶常微分方程处理方法第25页，共85页，编辑于2022年，星期六第26页，共85页，编辑于2022年，星期六例：函数描述为：function y=vdp_eq(t,x,flag,mu)y=x(2);-mu*(x(1)2-1)*x(2)-x(1);x0=-0.2;-0.7;t_final=20;mu=1;t1,y1=ode45(vdp_eq,0,t_final,x0,mu);mu=2;t2,y2=ode45(vdp_eq,0,t_final,x0,mu);plot(t1,y1,t2,y2,:)figure;plot(y1(:,1),y1(:,2),y2(:,1),y2(:,2),:)第27页，共85页，编辑于2022年，星期六 x0=2;0;t_final=3000;mu=1000;t,y=ode45(vdp_eq,0,t_final,x0,mu);由于变步长所采用的步长过小，所需时间较长，导致输出的y矩阵过大，超出计算机存储空间容量。所以不适合采用ode45()来求解，可用刚性方程求解算法ode15s()。第28页，共85页，编辑于2022年，星期六6.2.4.2 高阶常微分方程组的变换方法第29页，共85页，编辑于2022年，星期六例：第30页，共85页，编辑于2022年，星期六第31页，共85页，编辑于2022年，星期六描述函数：function dx=apolloeq(t,x)mu=1/82.45;mu1=1-mu;r1=sqrt(x(1)+mu)2+x(3)2);r2=sqrt(x(1)-mu1)2+x(3)2);dx=x(2);2*x(4)+x(1)-mu1*(x(1)+mu)/r13-mu*(x(1)-mu1)/r23;x(4);-2*x(2)+x(3)-mu1*x(3)/r13-mu*x(3)/r23;第32页，共85页，编辑于2022年，星期六求解：x0=1.2;0;0;-1.04935751;tic,t,y=ode45(apolloeq,0,20,x0);tocelapsed_time=0.8310 length(t),plot(y(:,1),y(:,3)ans=689得出的轨道不正确，默认精度RelTol设置得太大，从而导致的误差传递，可减小该值。第33页，共85页，编辑于2022年，星期六改变精度：options=odeset;options.RelTol=1e-6;tic,t1,y1=ode45(apolloeq,0,20,x0,options);tocelapsed_time=0.8110 length(t1),plot(y1(:,1),y1(:,3),ans=1873第34页，共85页，编辑于2022年，星期六 min(diff(t1)ans=1.8927e-004 plot(t1(1:end-1),diff(t1)第35页，共85页，编辑于2022年，星期六例：第36页，共85页，编辑于2022年，星期六 x0=1.2;0;0;-1.04935751;tic,t1,y1=rk_4(apolloeq,0,20,0.01,x0);tocelapsed_time=4.2570 plot(y1(:,1),y1(:,3)%绘制出轨迹曲线显而易见，这样求解是错误的，应该采用更小的步长。第37页，共85页，编辑于2022年，星期六 tic,t2,y2=rk_4(apolloeq,0,20,0.001,x0);tocelapsed_time=124.4990 计算时间过长 plot(y2(:,1),y2(:,3)%绘制出轨迹曲线严格说来某些点仍不满足106的误差限，所以求解常微分方程组时建议采用变步长算法，而不是定步长算法。第38页，共85页，编辑于2022年，星期六例：第39页，共85页，编辑于2022年，星期六用MATLAB符号工具箱求解，令 syms x1 x2 x3 x4 dx,dy=solve(dx+2*x4*x1=2*dy,dx*x4+3*x2*dy+x1*x4-x3=5,dx,dy)%dx,dy为指定变量dx=-2*(3*x4*x1*x2+x4*x1-x3-5)/(2*x4+3*x2)dy=(2*x42*x1-x4*x1+x3+5)/(2*x4+3*x2)对于更复杂的问题来说，手工变换的难度将很大，所以如有可能，可采用计算机去求解有关方程，获得解析解。如不能得到解析解，也需要在描写一阶常微分方程组时列写出式子，得出问题的数值解。第40页，共85页，编辑于2022年，星期六6.3特殊微分方程的数值解 6.3.1 刚性微分方程的求解刚性微分方程 一类特殊的常微分方程，其中一些解变化缓慢，另一些变化快，且相差悬殊，这类方程常常称为刚性方程。MATLAB采用求解函数ode15s()，该函数的调用格式和ode45()完全一致。t,x=ode15s(Fun,t0,tf,x0,options,p1,p2,)第41页，共85页，编辑于2022年，星期六例：计算 h_opt=odeset;h_opt.RelTol=1e-6;x0=2;0;t_final=3000;tic,mu=1000;t,y=ode15s(vdp_eq,0,t_final,x0,h_opt,mu);tocelapsed_time=2.5240第42页，共85页，编辑于2022年，星期六作图 plot(t,y(:,1);figure;plot(t,y(:,2)y(:,1)曲线变化较平滑,y(:,2)变化在某些点上较快。第43页，共85页，编辑于2022年，星期六例：定义函数function dy=c7exstf2(t,y)dy=0.04*(1-y(1)-(1-y(2)*y(1)+0.0001*(1-y(2)2;-104*y(1)+3000*(1-y(2)2;第44页，共85页，编辑于2022年，星期六方法一 tic,t2,y2=ode45(c7exstf2,0,100,0;1);tocelapsed_time=229.4700 length(t2),plot(t2,y2)ans=356941第45页，共85页，编辑于2022年，星期六步长分析：format long,min(diff(t2),max(diff(t2)ans=0.00022220693884 0.00214971787184 plot(t2(1:end-1),diff(t2)第46页，共85页，编辑于2022年，星期六方法二，用ode15s()代替ode45()opt=odeset;opt.RelTol=1e-6;tic,t1,y1=ode15s(c7exstf2,0,100,0;1,opt);tocelapsed_time=0.49100000000000 length(t1),plot(t1,y1)ans=169第47页，共85页，编辑于2022年，星期六6.3.2 隐式微分方程求解隐式微分方程为不能转化为显式常微分方程组的方程例：第48页，共85页，编辑于2022年，星期六编写函数：function dx=c7ximp(t,x)A=sin(x(1)cos(x(2);-cos(x(2)sin(x(1);B=1-x(1);-x(2);dx=inv(A)*B;求解：opt=odeset;opt.RelTol=1e-6;t,x=ode45(c7ximp,0,10,0;0,opt);plot(t,x)第49页，共85页，编辑于2022年，星期六6.3.3 微分代数方程求解例：第50页，共85页，编辑于2022年，星期六编写函数 function dx=c7eqdae(t,x)dx=-0.2*x(1)+x(2)*x(3)+0.3*x(1)*x(2);2*x(1)*x(2)-5*x(2)*x(3)-2*x(2)*x(2);x(1)+x(2)+x(3)-1;M=1,0,0;0,1,0;0,0,0;options=odeset;options.Mass=M;Mass微分代数方程中的质量矩阵（控制参数）x0=0.8;0.1;0.1;t,x=ode15s(c7eqdae,0,20,x0,options);plot(t,x)第51页，共85页，编辑于2022年，星期六编写函数：function dx=c7eqdae1(t,x)dx=-0.2*x(1)+x(2)*(1-x(1)-x(2)+0.3*x(1)*x(2);2*x(1)*x(2)-5*x(2)*(1-x(1)-x(2)-2*x(2)*x(2);第52页，共85页，编辑于2022年，星期六 x0=0.8;0.1;fDae=inline(-0.2*x(1)+x(2)*(1-x(1)-x(2)+0.3*x(1)*x(2);,.2*x(1)*x(2)-5*x(2)*(1-x(1)-x(2)-2*x(2)*x(2),t,x);t1,x1=ode45(fDae,0,20,x0);plot(t1,x1,t1,1-sum(x1)第53页，共85页，编辑于2022年，星期六6.3.3延迟微分方程求解sol:结构体数据，sol.x:时间向量t,sol.y:状态向量。第54页，共85页，编辑于2022年，星期六例：第55页，共85页，编辑于2022年，星期六编写函数：function dx=c7exdde(t,x,z)xlag1=z(:,1);%第一列表示提取 xlag2=z(:,2);dx=1-3*x(1)-xlag1(2)-0.2*xlag2(1)3-xlag2(1);x(3);4*x(1)-2*x(2)-3*x(3);历史数据函数：function S=c7exhist(t)S=zeros(3,1);第56页，共85页，编辑于2022年，星期六求解：lags=1 0.5;tx=dde23(c7exdde,lags,zeros(3,1),0,10);plot(tx.x,tx.y(2,:)与ode45()等返回的x矩阵不一样，它是按行排列的。第57页，共85页，编辑于2022年，星期六6.4边值问题的计算机求解第58页，共85页，编辑于2022年，星期六6.4.1 边值问题的打靶算法数学方法描述：以二阶方程为例 第59页，共85页，编辑于2022年，星期六编写函数：线性的function t,y=shooting(f1,f2,tspan,x0f,varargin)t0=tspan(1);tfinal=tspan(2);ga=x0f(1);gb=x0f(2);t,y1=ode45(f1,tspan,1;0,varargin);t,y2=ode45(f1,tspan,0;1,varargin);t,yp=ode45(f2,tspan,0;0,varargin);m=(gb-ga*y1(end,1)-yp(end,1)/y2(end,1);t,y=ode45(f2,tspan,ga;m,varargin);第60页，共85页，编辑于2022年，星期六例：编写函数：function xdot=c7fun1(t,x)xdot=x(2);-2*x(1)+3*x(2);function xdot=c7fun2(t,x)xdot=x(2);t-2*x(1)+3*x(2);t,y=shooting(c7fun1,c7fun2,0,1,1;2);plot(t,y)第61页，共85页，编辑于2022年，星期六原方程的解析解为解的检验 y0=(exp(2)-3)*exp(t)+(3-exp(1)*exp(2*t)/(4*exp(1)*(exp(1)-1)+3/4+t/2;norm(y(:,1)-y0)%整个解函数检验ans=4.4790e-008 norm(y(end,1)-2)%终点条件检验ans=2.2620e-008第62页，共85页，编辑于2022年，星期六非线性方程边值问题的打靶算法：用Newton迭代法处理第63页，共85页，编辑于2022年，星期六编写函数：function t,y=nlbound(funcn,funcv,tspan,x0f,tol,varargin)t0=tspan(1);tfinal=tspan(2);ga=x0f(1);gb=x0f(2);m=1;m0=0;while(norm(m-m0)tol),m0=m;t,v=ode45(funcv,tspan,ga;m;0;1,varargin);m=m0-(v(end,1)-gb)/(v(end,3);end t,y=ode45(funcn,tspan,ga;m,varargin);第64页，共85页，编辑于2022年，星期六例：编写两个函数：function xdot=c7fun3(t,x)xdot=x(2);2*x(1)*x(2);x(4);2*x(2)*x(3)+2*x(1)*x(4);function xdot=c7fun4(t,x)xdot=x(2);2*x(1)*x(2);第65页，共85页，编辑于2022年，星期六 t,y=nlbound(c7fun4,c7fun3,0,pi/2,-1,1,1e-8);plot(t,y);set(gca,xlim,0,pi/2);精确解：检验：y0=tan(t-pi/4);norm(y(:,1)-y0)ans=1.6629e-005 norm(y(end,1)-1)ans=5.2815e-006第66页，共85页，编辑于2022年，星期六6.4.2 线性微分方程的有限差分算法把等式左边用差商表示。第67页，共85页，编辑于2022年，星期六第68页，共85页，编辑于2022年，星期六编写函数：function x,y=fdiff(funcs,tspan,x0f,n)t0=tspan(1);tfinal=tspan(2);ga=x0f(1);gb=x0f(2);h=(tfinal-t0)/n;for i=1:n,x(i)=t0+h*(i-1);end,x0=x(1:n-1);t=-2+h2*feval(funcs,x0,2);tmp=feval(funcs,x0,1);v=1+h*tmp/2;w=1-h*tmp/2;b=h2*feval(funcs,x0,3);b(1)=b(1)-w(1)*ga;b(n-1)=b(n-1)-v(n-1)*gb;b=b;A=diag(t);for i=1:n-2,A(i,i+1)=v(i);A(i+1,i)=w(i+1);end y=inv(A)*b;x=x tfinal;y=ga;y;gb;第69页，共85页，编辑于2022年，星期六例：编写函数：function y=c7fun5(x,key)switch key case 1,y=1+x;case 2,y=1-x;otherwise,y=1+x.2;end t,y=fdiff(c7fun5,0,1,1,4,50);plot(t,y)第70页，共85页，编辑于2022年，星期六6.5 偏微分方程求解入门 6.5.1 偏微分方程组求解函数描述：第71页，共85页，编辑于2022年，星期六边界条件的函数描述：初值条件的函数描述：u0=pdeic(x)第72页，共85页，编辑于2022年，星期六例：第73页，共85页，编辑于2022年，星期六函数描述：第74页，共85页，编辑于2022年，星期六function c,f,s=c7mpde(x,t,u,du)c=1;1;y=u(1)-u(2);F=exp(5.73*y)-exp(-11.46*y);s=F*-1;1;f=0.024*du(1);0.17*du(2);第75页，共85页，编辑于2022年，星期六描述边界条件的函数function pa,qa,pb,qb=c7mpbc(xa,ua,xb,ub,t)pa=0;ua(2);qa=1;0;pb=ub(1)-1;0;qb=0;1;第76页，共85页，编辑于2022年，星期六描述初值：function u0=c7mpic(x)u0=1;0;求解：x=0:.05:1;t=0:0.05:2;m=0;sol=pdepe(m,c7mpde,c7mpic,c7mpbc,x,t);surf(x,t,sol(:,:,1)，figure;surf(x,t,sol(:,:,2)第77页，共85页，编辑于2022年，星期六6.5.2 二阶偏微分方程的数学描述椭圆型偏微分方程：第78页，共85页，编辑于2022年，星期六抛物线型偏微分方程：双曲型偏微分方程：特征值型偏微分方程：第79页，共85页，编辑于2022年，星期六6.5.3 偏微分方程的求解界面应用简介 6.5.3.1 偏微分方程求解程序概述启动偏微分方程求解界面在 MATLAB 下键入 pdetool 该界面分为四个部分菜单系统工具栏集合编辑求解区域第80页，共85页，编辑于2022年，星期六6.5.3.2 偏微分方程求解区域绘制1）用工具栏中的椭圆、矩形等绘制一些区域。2）在集合编辑栏中修改其内容。如（R1E1E2）E33）单击工具栏中 按纽可得求解边界。4）选择Boundary-Remove All Subdomain Borders菜单项，消除相邻区域中间的分隔线。5）单击 按纽可将求解区域用三角形划分成网格。可用 按纽加密。第81页，共85页，编辑于2022年，星期六6.5.3.3 偏微分方程边界条件描述选择Boundary-Specify Boundary Conditions菜单第82页，共85页，编辑于2022年，星期六6.5.3.4 偏微分方程求解举例例：求解：1）绘制求解区域。2）描述边界条件（Boundary-Specify Boundary Conditions）。3）选择偏微分方程的类型。单击工具栏中的PDE图标，在打开的新窗口选择Hyperbolic选项，输入参数c,a,f,d.4）求解。单击工具栏中的等号按钮。第83页，共85页，编辑于2022年，星期六显示：1）图形颜色表示t=0时u(x,y)的函数值。2）单击工具栏中的三维图标将打开一新的对话框，若再选择Contour可绘制等值线，若选择Arrows选项可绘制引力线。若单独选择Height（3d-plot)，则在另一窗口绘制出三维图形。3）可在单击三维图标打开的新对话框中，对Property栏目的各个项目重新选择。4）可修改微分方程的边界条件，重新求解。动画：1）Solve-Parameters对话框时间向量改为0:0.1:2。2）三维图标打开的对话框中选择Animation选项，单击Options按纽设置播放速度。Plot-Export Movie 菜单。第84页，共85页，编辑于2022年，星期六6.5.3.5 函数参数的偏微分方程求解例：(椭圆型）第85页，共85页，编辑于2022年，星期六
