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第3章 时间响应分析本讲稿第一页，共三十八页v3-1 时间响应的概念时间响应的概念v一、系统的时间响应一、系统的时间响应v 时间响应是指控制系统在输入作用下，被控变量（即系统的输出）随时间的变化情况。通过时间响应分析可以直接了解控制系统的动态性能。v 如图3-1所示，质量为m与弹簧刚度为k的单自由度系统在外力（即输入）的作用下，系统的动力学方程即为如下的常微分方程：本讲稿第二页，共三十八页v设 时，代入式（3-6）联立解得：本讲稿第三页，共三十八页v一般情况下，设系统的动力学方程为：本讲稿第四页，共三十八页v在此应指出，n与 既与系统的初态无关，更与系统的输入无关，它们取决于系统的结构与参数的固有特性。v输入引起的时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。v瞬态响应是指系统在某一输入信号作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。v稳态响应是指时间t趋于无穷大时，系统的输出稳定状态。本讲稿第五页，共三十八页二、典型输入信号二、典型输入信号v选取试验信号时必须考虑下列原则。v（1）选取的输入信号应反映系统工作的大部分实际情况。v（2）所选输入信号的形式应尽可能简单，便于用数学式表达及分析处理。v（3）应选取那些能使系统工作在最不利情况下的输入信号作为典型试验信号。v经常采用的试验输入信号有阶跃函数、斜坡函数（速度函数）、抛物线函数（加速度函数），脉冲函数和正弦函数。本讲稿第六页，共三十八页v以上典型信号如下图所示。典型输入信号本讲稿第七页，共三十八页v1单位阶跃信号v2单位斜坡信号 v 3.单位加速度信号 本讲稿第八页，共三十八页v4.单位脉冲信号v5正弦信号 本讲稿第九页，共三十八页v 3-2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应v一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模型v 凡是能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其方程的一般形式为：v其传递函数为v 从上面的表达式可以看出，一阶系统的典型形式是一阶惯性环节。下面分析一阶惯性环节在典型输入信号作用下的时间响应。本讲稿第十页，共三十八页v二、一阶系统的单位阶跃响应二、一阶系统的单位阶跃响应v右边第一项是单位阶跃响应的稳态分量，它等于单位阶跃信号的幅值。v第二项是瞬态分量，当 时，瞬态分量趋于零。本讲稿第十一页，共三十八页v 1）时间常数T越小，上升速度越快，达到稳态所用的时间越短，也就是系统惯性越小，反之，T越大，系统对信号的响应越缓慢，惯性越大。v 2）调整时间 Ts （误差范围2时）（误差范围5时）本讲稿第十二页，共三十八页三、一阶系统的单位脉冲响应三、一阶系统的单位脉冲响应 图3-11 一阶系统单位脉冲响应曲线本讲稿第十三页，共三十八页v四、一阶系统的单位斜坡响应四、一阶系统的单位斜坡响应 图 3-12 一阶系统单位速度响应曲线本讲稿第十四页，共三十八页v五、线性定常系统时间响应的性质五、线性定常系统时间响应的性质v 单位脉冲、单位阶跃和单位速度三个典型输入信号之间存在着微分和积分的关系，而且一阶惯性环节的单位脉冲响应、单位阶跃响应和单位速度响应之间也存在着同样的微分和积分的关系。本讲稿第十五页，共三十八页v3-3 二阶系统的时间响应二阶系统的时间响应 v 一、典型二阶系统的数学模型一、典型二阶系统的数学模型 本讲稿第十六页，共三十八页二阶系统极点分布本讲稿第十七页，共三十八页v1当 时，二阶系统称为欠阻尼系统，其特征方程的根是一对共轭复根，即极点是一对共轭复数极点令 ，称为有阻尼振荡角频率，则有v2当 时，二阶系统称为临界阻尼系统，其特征方程的根是两个相等的负实根，即具有两个相等的负实数极点v3当 时，二阶系统称为过阻尼系统，其特征方程的根是两个不相等的负实数极点。v4当 时，二阶系统称为零阻尼系统，其特征方程的根是一对共轭虚根，即具有一对共轭虚数极点v5当 时，二阶系统称为负阻尼系统，此时系统不稳定。本讲稿第十八页，共三十八页v二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应 本讲稿第十九页，共三十八页 图3-16 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应v1、欠阻尼状态v式中本讲稿第二十页，共三十八页v2、临界阻尼状态 图3-17 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线本讲稿第二十一页，共三十八页v 3、过阻尼状态本讲稿第二十二页，共三十八页v 图 3-18 图 3-19 v过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线 无阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线4、无阻尼状态本讲稿第二十三页，共三十八页v例3-1 已知系统的传递函数为 ，试求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。v解 （1）当单位阶跃信号输入时，则系统在单位阶跃信号作用下的输出的拉氏变换为将上式进行拉氏反变换，得出系统的单位阶跃响应为v（2）当单位脉冲信号输入时，由于 ，根据线性定常系统时间响应的性质，如果系统的输入信号存在微分关系，则系统的时间响应也存在对应的微分关系，因此系统的单位阶跃响应为本讲稿第二十四页，共三十八页v 三、二阶系统的单位脉冲响应三、二阶系统的单位脉冲响应v当 时本讲稿第二十五页，共三十八页 图3-20 欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应曲线本讲稿第二十六页，共三十八页v3-4 瞬态响应的性能指标瞬态响应的性能指标v 性能指标的定义及计算公式，是在欠阻尼二阶系统单位阶跃响应情况下导出的。v 常用的性能指标：上升时间、峰值时间、最大超调量 、调整时间(或调节时间)图3-22 控制系统的时域性能指标本讲稿第二十七页，共三十八页v1.上升时间 ，响应曲线从原始工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需要的时间（一般将响应曲线从稳态值的l0上升到90所用的时间称为上升时间）。是表示系统响应速度的指标。当时 本讲稿第二十八页，共三十八页v 2峰值时间 ，响应曲线从零时刻出发首次到达第一个峰值所需的时间。本讲稿第二十九页，共三十八页v 3最大超调量 ，响应曲线的最大峰值与稳态值的差。v 表3-2 不同阻尼比的最大超调量00.10.20.30.40.50.60.70.80.9110072.952.737.225.416.39.54.61.50.20本讲稿第三十页，共三十八页v4调整时间 图3-23 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线的幅值包络线本讲稿第三十一页，共三十八页 图3-24 二阶系统时间与阻尼比的关系 例3-2，例3-3本讲稿第三十二页，共三十八页v3-5 误差分析与计算误差分析与计算v一、基本概念一、基本概念 误差 偏差 稳态误差本讲稿第三十三页，共三十八页v二、稳态误差的计算二、稳态误差的计算v例3-4 系统方框图示于图3-29，当输入信号 时，求系统的稳态误差。图3-29 系统方框图v 解 由题意知，输入信号 ，其拉氏变换 ，将传递函数和输入信号代入上式中，得稳态误差为 计算结果表明，稳态误差的大小与系统的开环增益有关，越大，越小。本讲稿第三十四页，共三十八页v三、输入信号作用下的稳态误差与系统的关系三、输入信号作用下的稳态误差与系统的关系v 从表中可清楚看出，在主对角线上，稳态偏差是有限的；在对角线以上，稳态偏差为无穷大；在对角线以下，稳态偏差为0。v 增加系统开环传递函数中的积分环节和增大开环增益，是消除和减小系统稳态误差的途径。但和值的增大，都会造成系统的稳定性变坏，设计者的任务正在于合理地解决这些相互制约的矛盾，选取合理的参数。v 表3-3 单位反馈控制系统在不同输入信号作用下的稳态误差系统型别阶跃输入斜坡输入抛物线函数0000本讲稿第三十五页，共三十八页v例例3-5 引入比例加微分控制系统的方框图如下图所示，若输入信号 ，试求系统的稳态误差。v v 解 该系统的开环传递函数中含有两个积分环节，是型系统；开环增益为 ，因此v当输入 时，v当输入 时，v当输入 时，v所以，系统的稳态误差为本讲稿第三十六页，共三十八页v四、干扰引起的稳态误差和系统的总误差四、干扰引起的稳态误差和系统的总误差本讲稿第三十七页，共三十八页v例例3-6 系统结构图如图3-32所示，当输入信号 ，干扰 时，求系统总的稳态误差 。图3-32 系统方框图v解：输入引起的稳态误差 干扰引起的稳态误差所以，系统总的稳态误差为本讲稿第三十八页，共三十八页