振动力学基础幻灯片.ppt

振动力学基础1第1页，共37页，编辑于2022年，星期六1 简谐振动动力学简谐振动动力学一、简谐振动的特征一、简谐振动的特征2第2页，共37页，编辑于2022年，星期六二、简谐运动的运动方程二、简谐运动的运动方程3第3页，共37页，编辑于2022年，星期六3.简谐振动的简谐振动的 x-t,v-t,a-t图图4第4页，共37页，编辑于2022年，星期六三、简谐振动的能量三、简谐振动的能量我们以弹簧振子为例来讨论简谐运动的能量问题。设振动物体在任一时刻t 的位移为x，速度为v，于是它所具有的动能EK 和势能EP 分别为5第5页，共37页，编辑于2022年，星期六2 简谐振动运动学简谐振动运动学简谐运动的运动方程：简谐运动的运动方程：6第6页，共37页，编辑于2022年，星期六（2）频率与圆频率7第7页，共37页，编辑于2022年，星期六3、相位和初相8第8页，共37页，编辑于2022年，星期六例题例题 在一轻弹簧下端悬挂在一轻弹簧下端悬挂m0=100克砝码时，弹簧伸克砝码时，弹簧伸长长8厘米，现在这根弹簧下悬挂厘米，现在这根弹簧下悬挂m=250克的物体。将物体从克的物体。将物体从平衡位置向下拉动平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的厘米并给予向上的21厘米厘米/秒的初速度。秒的初速度。选选X轴向下，求振动的表达式。轴向下，求振动的表达式。9第9页，共37页，编辑于2022年，星期六例题例题 一个轻弹簧在一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，他们的总质量为悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，他们的总质量为4 4kgkg。待其静止待其静止后再把物体向下拉后再把物体向下拉1010cmcm，然后无初速释放。问然后无初速释放。问（1 1）此小物体是停在振动）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？（物体上面还是离开它？（2 2）若使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，）若使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅则振幅A A须满足何条件？二者在何位置开始分离？须满足何条件？二者在何位置开始分离？解：10第10页，共37页，编辑于2022年，星期六4 4、简谐运动的旋转矢量表示法、简谐运动的旋转矢量表示法为了直观地表明简谐运动的三个特征量的物理意义，可以用为了直观地表明简谐运动的三个特征量的物理意义，可以用一个旋转矢量来表示简谐运动。一个旋转矢量来表示简谐运动。（1）旋转矢量的长度等于11第11页，共37页，编辑于2022年，星期六旋转矢量与谐振动的对应关系A谐振动旋转矢量 t+T振幅初相相位圆频率谐振动周期半径初始角坐标角坐标角速度园周运动周期(4）比较两个谐振动的相位差212k称同相21（2k+1）称反相210称2超前 1 20称1超前12第12页，共37页，编辑于2022年，星期六旋转矢量旋转矢量确定初位相确定初位相13第13页，共37页，编辑于2022年，星期六例题：由谐振子能量推出振幅公式。解：结论：结论：例题：1.A由系统能量决定；由系统能量决定；2.t=0的含义；的含义；3.x0、v0含义。含义。14第14页，共37页，编辑于2022年，星期六5、弹簧的串并联、弹簧的串并联思考思考1 1：等分等分n n段，每段段，每段k k0 0=?=?思考思考2 2：n n段串联，等效段串联，等效k k0 0=?=?K0=nkK0=k/n15第15页，共37页，编辑于2022年，星期六例题例题 一质点在一质点在X轴上作简谐振动，振幅轴上作简谐振动，振幅A=4cm，周期周期T=2s,其平衡位置取坐标原点。若其平衡位置取坐标原点。若t=0时刻质点第一次通过时刻质点第一次通过x=-2cm处，且向处，且向X轴负方向运动，则质点第二次通过轴负方向运动，则质点第二次通过x=-2cm处处的时刻为的时刻为（A）1s （B）（）（2/3）s （C）（）（3/4）s （D）2s例题例题 一长度为一长度为l 的倔强系数为的倔强系数为k的轻弹簧分割成的轻弹簧分割成l1和和l2的两部的两部分，且分，且l1=nl2则相应的倔强系数则相应的倔强系数k1和和k2为为16第16页，共37页，编辑于2022年，星期六3微振动的简谐近似微振动的简谐近似1.单摆单摆在角位移很小的时候，单摆的在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。角频率振动是简谐振动。角频率,振动振动的周期分别为：的周期分别为：结论当当 时时17第17页，共37页，编辑于2022年，星期六2.复摆（物理摆）复摆（物理摆）为为m绕绕O点转动的转动惯量。点转动的转动惯量。总结总结：复摆的谐振动方程复摆的谐振动方程：当当 时时振动的角频率、周期振动的角频率、周期完全由振动完全由振动系统本身来决定。系统本身来决定。18第18页，共37页，编辑于2022年，星期六4平行简谐振动的合成平行简谐振动的合成一、同方向、同频率的简谐振动的合成一、同方向、同频率的简谐振动的合成 结论：仍然是同频率仍然是同频率的简谐振动的简谐振动19第19页，共37页，编辑于2022年，星期六讨论一：讨论一：合振幅最大。称为合振幅最大。称为干涉相长干涉相长讨论二：讨论二：称为干涉相消。称为干涉相消。讨论三：讨论三：一般情况：一般情况：A1=A2 时，时，A=020第20页，共37页，编辑于2022年，星期六例题例题 三个谐振动方程分别为三个谐振动方程分别为画出它们的旋转矢量图。并在同一画出它们的旋转矢量图。并在同一x-t坐标上画出振动坐标上画出振动曲线。写出合振动方程。曲线。写出合振动方程。合振动方程合振动方程X=021第21页，共37页，编辑于2022年，星期六二、同方向的二、同方向的N个同频率简谐振动的合成个同频率简谐振动的合成设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。其表达式为其表达式为：在在 OCP中：中：22第22页，共37页，编辑于2022年，星期六所以，合振动的表达式所以，合振动的表达式上两式相除得上两式相除得23第23页，共37页，编辑于2022年，星期六讨论讨论1：即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。当当讨论讨论2：这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。合振动的振幅为零。以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用。和衍射规律时有重要的应用。当当 且且24第24页，共37页，编辑于2022年，星期六三、同方向、不同频率的简谐振动的合成三、同方向、不同频率的简谐振动的合成利用：利用：合成振动表达式合成振动表达式：当当 都很大，且相差甚微时，可将都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，视为振幅变化部分，合成振动是以合成振动是以 为角频率的谐振动。为角频率的谐振动。其振幅变化的周期由振幅绝对值变化来决定，其振幅变化的周期由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动。这种即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动。这种合振动忽强忽弱的现象称为合振动忽强忽弱的现象称为拍拍。25第25页，共37页，编辑于2022年，星期六单位时间内振动加强或减弱的次数单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频叫拍频显然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍。的频率的两倍。26第26页，共37页，编辑于2022年，星期六5 垂直简谐振动的合成垂直简谐振动的合成设一个质点同时参与了两个振动方向相互设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即垂直的同频率简谐振动，即上式是个椭圆方程，具体形状由上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。相位差决定。质点的运动方向与质点的运动方向与 有关。当有关。当 时，时，质点沿质点沿顺时针方向顺时针方向运动；当运动；当 时，时，质点沿质点沿逆时针方向逆时针方向运动。运动。当当 时，时，椭圆退化为圆椭圆退化为圆。一、同频率垂直简谐振动的合成一、同频率垂直简谐振动的合成27第27页，共37页，编辑于2022年，星期六上式的推导：上式的推导：X=A1cos(t+1)Y=A2cos(t+2)变换：Y=A2cos(t+2)=A2cos(t+1+2-1)令=t+1=2-1 则有：X=A1cos Y=A2cos(）得：Y=A2cos cos -sin sin 改写为：两边平方，利用 cos=X/A128第28页，共37页，编辑于2022年，星期六讨论讨论1所以是在所以是在 直线上的振动。直线上的振动。讨论讨论2所以是在所以是在 直线上的振动。直线上的振动。29第29页，共37页，编辑于2022年，星期六讨论讨论3所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ，Y轴半轴长为轴半轴长为 的的椭圆方程，且椭圆方程，且顺顺时针旋转时针旋转。讨论讨论4所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ，Y轴半轴长为轴半轴长为 的的椭圆方程，且椭圆方程，且逆逆时针旋转时针旋转。X和和Y方向的相位差决定旋转方向方向的相位差决定旋转方向。质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。30第30页，共37页，编辑于2022年，星期六讨论讨论5则为任一椭圆方程。则为任一椭圆方程。综上所述综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动合振动在一直线上或者在椭圆上进行在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）。（直线是退化了的椭圆）。31第31页，共37页，编辑于2022年，星期六二、垂直方向、不同频率简谐振动的合成二、垂直方向、不同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。当当 时是顺时针转；时是顺时针转；时是逆时针转。时是逆时针转。如果两个互相垂直的振动频率成整数比，如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。P128P128图。图。用李萨如图形在无线电技术用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：中可以测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。较，就可得知另一个未知的频率。32第32页，共37页，编辑于2022年，星期六6、7 阻尼振动、受迫振动、共振阻尼振动、受迫振动、共振 一一.阻尼振动阻尼振动阻尼振动微分方程阻尼振动微分方程令令 为为阻尼因子阻尼因子通解通解33第33页，共37页，编辑于2022年，星期六1 1.欠阻尼振动欠阻尼振动欠阻尼振动欠阻尼振动-阻尼很小阻尼很小通解通解txo2 2.过阻尼振动过阻尼振动过阻尼振动过阻尼振动-阻尼很大阻尼很大阻尼很大阻尼很大通解通解不能往复运动。不能往复运动。如单摆放在粘滞的油筒中摆如单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。到平衡位置须很长时间。34第34页，共37页，编辑于2022年，星期六3.临界阻尼振动临界阻尼振动通解通解衰减函数衰减函数临界阻尼达到平衡位置的时临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过平衡间最短，但仍不能超过平衡位置。位置。过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼三种阻尼振动比较三种阻尼振动比较欠阻尼欠阻尼35第35页，共37页，编辑于2022年，星期六二二.受迫振动受迫振动 在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的强迫力强迫力-策动力策动力。令令通解通解36第36页，共37页，编辑于2022年，星期六第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。第二项为策动力产生的周期振动。第二项为策动力产生的周期振动。开始时运动比较复杂，当第一项衰减为开始时运动比较复杂，当第一项衰减为 0 后，后，只作受迫振动，振动频率只作受迫振动，振动频率为策动力的频率。为策动力的频率。振幅振幅初相初相三三.共振共振时时有极大值。有极大值。当当时时A最大。最大。37第37页，共37页，编辑于2022年，星期六