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第2讲微分方程本讲稿第一页，共十九页二阶非齐次线性微分方程 相应齐次方程的通解为 常数变易法设非齐次方程的通解为 本讲稿第二页，共十九页 则系数c1(x),c2(x)满足如下方程组求解出c1(x),c2(x)即可得到非齐次方程的通解本讲稿第三页，共十九页例 二阶线性微分方程齐次方程的通解 常数变易法设非齐次方程有一个解本讲稿第四页，共十九页则系数C1(t),C2(t)满足如下方程组解得本讲稿第五页，共十九页1.3、变系数线性微分方程n一、求解欧拉型常微分方程本讲稿第六页，共十九页本讲稿第七页，共十九页例2 即作变量代换r=et，则本讲稿第八页，共十九页二、二阶常系数齐次线性微分方程求解方程y+py+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p、q均为常数。本讲稿第九页，共十九页n二、常点邻域上的级数解法函数y(x)的线性二阶常微分方程 若函数p(x)和q(x)在点x=x0处无限次可导，则称 x0为方程的常点；否则称x0为方程的奇点。本讲稿第十页，共十九页定理定理 若x0为方程的常点，则在x0的邻域内存在满足初始条件的唯一解y(x)。级数解法级数解法 方程的解y(x)在点x0的邻域内无限次可导，并可表示成泰勒级数形式：其中，a0,a1,a2,.,ak,.是待定系数。只要能够确定这些系数，也就得到了方程的解。本讲稿第十一页，共十九页 在x0=0的邻域上求解常微分方程 (w是常数)解：显然，x0=0是方程的常点，可应用常点邻域的级数解法。本讲稿第十二页，共十九页 设常点邻域上的解y(x)可展为泰勒级数形式 将上述泰勒级数形式代入方程，即可确定待定系数a0,a1,a2,.y(x)的二阶导数本讲稿第十三页，共十九页 代入方程，合并相同幂次项，得 等式右边为零，则幂级数各项系数为零，即 则待定系数之间有如下递推公式 本讲稿第十四页，共十九页本讲稿第十五页，共十九页本讲稿第十六页，共十九页本讲稿第十七页，共十九页例2 在x0=0的邻域上求解常微分方程解为 本讲稿第十八页，共十九页n作业：本讲稿第十九页，共十九页