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第3章机械能和功本讲稿第一页，共五十七页一、功一、功 功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间的积累效应。单位为间的积累效应。单位为J（焦耳）。（焦耳）。变力的功：变力的功：恒力的功：恒力的功：3.1 功功 质点动能定理质点动能定理本讲稿第二页，共五十七页直角坐标系：直角坐标系：自然坐标系：自然坐标系：2.与与参考系无关，位移与参考系有关，故参考系无关，位移与参考系有关，故 W与参考系有关。与参考系有关。1.一般情况下，功与力和路程有关一般情况下，功与力和路程有关说明本讲稿第三页，共五十七页SS W与参考系有关。与参考系有关。一辆汽车在水平道路上以 速度沿直线匀速行驶,汽车内水平地板上有一只盒子,乘客用水平推力 推着盒子相对地板以 速度向前移动，求在 t 时间内人做的功小车坐标系小车坐标系S地面坐标系地面坐标系S力与盒子相对于汽车的位移的点乘力与盒子相对于汽车的位移的点乘力与盒子相对于地面的位移的点乘力与盒子相对于地面的位移的点乘本讲稿第四页，共五十七页4.平均功率平均功率瞬时功率瞬时功率单位单位 W(瓦特瓦特)=J/s3.合力的功等于各分力的功的代数和。合力的功等于各分力的功的代数和。本讲稿第五页，共五十七页解：解：变力变力恒力恒力 曲线运动曲线运动 例例3-1 小球在水平变力小球在水平变力 作用下缓慢移动，即在所有位作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角。角。求：求：(1)的功，的功，(2)重力的功。重力的功。ml本讲稿第六页，共五十七页二、质点的动能定理二、质点的动能定理设质点设质点m在力的作用下沿曲线从在力的作用下沿曲线从a点移动到点移动到b点点总功：总功：ba元功：元功：切线方向的分力切线方向的分力本讲稿第七页，共五十七页质点的动能定理：质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。说明3.应用：应用：1.合外力的功是动能变化的量度。合外力的功是动能变化的量度。与参考系有关，动能定理只在与参考系有关，动能定理只在惯性系惯性系中成立。中成立。2.4.微分形式：微分形式：本讲稿第八页，共五十七页例例3-2 质量质量 m 长长 l 的均匀链条，一部分放在光滑桌面上的均匀链条，一部分放在光滑桌面上,另另一部分从桌面边缘下垂一部分从桌面边缘下垂,下垂部分长下垂部分长 b，假定开始时链条静止，假定开始时链条静止，求链条全部离开桌面瞬间的速度。求链条全部离开桌面瞬间的速度。解法一解法一 建立如图坐标系建立如图坐标系Ox，设，设x为为某时刻下垂链条长度。某时刻下垂链条长度。由动由动能定理能定理xOdx本讲稿第九页，共五十七页设设T为链条下垂部分和在桌为链条下垂部分和在桌面上的链条部分间的相互面上的链条部分间的相互作用力，由牛顿定律得作用力，由牛顿定律得a 解法二解法二 a本讲稿第十页，共五十七页解法三解法三 也可由机械能守恒定律计算。也可由机械能守恒定律计算。bOl-b本讲稿第十一页，共五十七页LxoLsx传送机滑道传送机滑道水平平台水平平台例例3-3 一根均匀的柔软的物体（长度为一根均匀的柔软的物体（长度为L）以初速）以初速v0 送上平台，送上平台，物体前端在平台上滑行物体前端在平台上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦系数为间的摩擦系数为，且，且 s，求初速度，求初速度v0。解：解：本讲稿第十二页，共五十七页由动能定理：由动能定理：本讲稿第十三页，共五十七页例例3-4 有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。三面有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。三面的高度和水平距离都相同，为的高度和水平距离都相同，为 h 和和 l，与物体的摩擦系数均为，与物体的摩擦系数均为。试试分析哪个面上的物体滑到地面分析哪个面上的物体滑到地面时时速度最大速度最大?(1)解：解：(1)(2)(3)元功元功Nmg本讲稿第十四页，共五十七页(2)(3)最大最大(1)(1)(2)(3)ENDNmg最小最小NmgNmg本讲稿第十五页，共五十七页(3)在自然坐标系中：在自然坐标系中：Nmg它由与瞬间速度矢相切的t轴和垂直于速度矢指向曲线的凹侧的n轴构成本讲稿第十六页，共五十七页一、力场一、力场xy 力矢量力矢量在空间的分布形象反映了力场在空间的分布形象反映了力场。3.2 保守力保守力 非保守力非保守力 耗散力耗散力xyzmo一般地，一般地，当质点所受的力仅与位置有关时，当质点所受的力仅与位置有关时，即即代表质点受力的空间分布，称为代表质点受力的空间分布，称为力场力场。本讲稿第十七页，共五十七页二、几种常见力的功二、几种常见力的功1.重力的功重力的功 重力作功只与质点的起始和终了位置有关，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过而与所经过的的路程无关路程无关。dzdxz z1z2abmxO本讲稿第十八页，共五十七页2.万有引力的功万有引力的功 设质量为设质量为M的质点固定，另一质量为的质点固定，另一质量为m的质点在的质点在M的引力场中的引力场中从从a点运动到点运动到b点。点。dr 万有引力的功仅由物体的始末位置决定，而与万有引力的功仅由物体的始末位置决定，而与路程无关路程无关。rbraabMm本讲稿第十九页，共五十七页3.弹性力的功弹性力的功 弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点运弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点运动的动的路程无关路程无关。xmx2x1baOx本讲稿第二十页，共五十七页abOr4.回旋力的功回旋力的功O：为横向单位矢量：为横向单位矢量路程路程1：圆弧圆弧ab W=0 回旋力做功回旋力做功与路程有关！与路程有关！路程路程2：回旋力：回旋力：本讲稿第二十一页，共五十七页*圆周运动圆周运动圆周运动圆周运动*Rso角速度角速度角加速度角加速度回旋力回旋力离心力离心力本讲稿第二十二页，共五十七页5.摩擦力的功摩擦力的功 ab 摩擦力做功摩擦力做功与路程有关！与路程有关！桌面俯视图桌面俯视图本讲稿第二十三页，共五十七页 三、保守力三、保守力 非保守力非保守力 和耗散力和耗散力 abcd保守力：保守力：作功与作功与路程无关路程无关，只与始末位置有关的力。，只与始末位置有关的力。保守力沿任何闭合路程作功等于零。保守力沿任何闭合路程作功等于零。作功不仅与始末位置有关，还与作功不仅与始末位置有关，还与路程有关路程有关的。的。如：重力，引力，弹性力等。如：重力，引力，弹性力等。如：摩擦力，回旋力等。如：摩擦力，回旋力等。非保守力：非保守力：而而(一对一对)摩擦力作功始终是摩擦力作功始终是负负的，的，又称为耗散力。又称为耗散力。本讲稿第二十四页，共五十七页 有心力：有心力：有心力一定是保守力。有心力一定是保守力。判据 如：如：引力引力 静电力静电力是非保守力。是非保守力。(0，则为耗散力则为耗散力)是保守力。是保守力。任意闭合路程本讲稿第二十五页，共五十七页解：解：例例3-5 已知已知 ,C点坐标为点坐标为(2，1)。求：求：(1)的功的功 a.沿路程沿路程 OACb.沿路程沿路程 OBCc.沿路程沿路程 OC (2)是否为保守力是否为保守力?(1)xOABC(2,1)y000本讲稿第二十六页，共五十七页(2)非保守力，因为做功与路程有关。非保守力，因为做功与路程有关。xOABC(2,1)y本讲稿第二十七页，共五十七页取任意路程取任意路程ABCDA为保守力。为保守力。为非保守力。为非保守力。例例3-5 设以下两个力场：设以下两个力场：,画出力矢图，画出力矢图，并判断是保守力还是非保守力。并判断是保守力还是非保守力。解：解：取矩形路程取矩形路程EFGHExyABCDxyEFGHEND本讲稿第二十八页，共五十七页一、势能的引入一、势能的引入与物体的位置相联系的系统能量称为势能（与物体的位置相联系的系统能量称为势能（Ep）。）。保守力的功是势能变化的量度：保守力的功是势能变化的量度：物体在保守力场中物体在保守力场中a，b两点的势能两点的势能Epa，Epb 之差等于质点之差等于质点由由a点移动到点移动到b点过程中保守力做的功点过程中保守力做的功Wab。保守力的功等于系统势能的减少。保守力的功等于系统势能的减少。3.3 质点在保守力场中的势能质点在保守力场中的势能本讲稿第二十九页，共五十七页弹性势能弹性势能重力势能重力势能引力势能引力势能如：如：本讲稿第三十页，共五十七页 空间某点的势能空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。零点时保守力作的功。势能的大小只有相对的意义，相对于势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点势能零点而言。而言。势能零点可以任意选取。势能零点可以任意选取。势能是相互作用有保守力的系统的属性。势能是相互作用有保守力的系统的属性。说明 设空间设空间 点为点为势能零点势能零点，则空间任意一点，则空间任意一点 的势能为：的势能为：本讲稿第三十一页，共五十七页例例3-6 轻弹簧原长轻弹簧原长l0，劲度系数为，劲度系数为k，下端悬挂质量为，下端悬挂质量为m的重物。的重物。已知弹簧重物在已知弹簧重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了点达到平衡，此时弹簧伸长了x0，现取，现取x 轴向轴向下为正，如果原点分别位于：下为正，如果原点分别位于：(1)弹簧原长位置弹簧原长位置,(2)力的平力的平衡位置。若分别取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，分衡位置。若分别取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，分别计算重物在任一位置别计算重物在任一位置 P 时系统的总势能。时系统的总势能。解：解：(1)以弹簧原长点以弹簧原长点O 为坐标原为坐标原点，系统总势能：点，系统总势能：xmO OPx0 x本讲稿第三十二页，共五十七页(2)若以重力与弹性力合力的若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点，则有：平衡位置为原点，则有：任意位置任意位置 x 处的系统总势能：处的系统总势能：xmO OPx0 x本讲稿第三十三页，共五十七页二、二、保守力与势能的关系保守力与势能的关系1.积分关系积分关系2.微分关系微分关系偏导数偏导数本讲稿第三十四页，共五十七页矢量式：矢量式：称梯度算符。称梯度算符。本讲稿第三十五页，共五十七页例例3-7 已知势能函数，已知势能函数，求保守力。求保守力。解：解：利用梯度算符在球坐标系中的表达式得：利用梯度算符在球坐标系中的表达式得：本讲稿第三十六页，共五十七页三、势能曲线三、势能曲线oz重力势能曲线重力势能曲线双原子分子的势能曲线：双原子分子的势能曲线：Oror引力势能曲线引力势能曲线ox弹性势能曲线弹性势能曲线本讲稿第三十七页，共五十七页例例3-8 已知地球半径已知地球半径 R，物体质量，物体质量 m，处在地面，处在地面 2R 处。求势处。求势能能:（1）地面为零势能点；（）地面为零势能点；（2）无限远处为零势能点。）无限远处为零势能点。解：解：空间某点的势能空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。本讲稿第三十八页，共五十七页一、质点系一、质点系 内力与外力内力与外力内力内力外力外力3.4 质点系的势能质点系的势能 势能属于相互作用有保守力的各物体组成的整个系统，势能属于相互作用有保守力的各物体组成的整个系统，称称相互作用势能相互作用势能。与系统内的一对保守内力做功有关。与系统内的一对保守内力做功有关。系统内，内力是成对出现的。系统内，内力是成对出现的。本讲稿第三十九页，共五十七页二、内力的功二、内力的功相对元位移相对元位移 Oij一对内力的功：一对内力的功：相对位矢相对位矢 本讲稿第四十页，共五十七页1.系统内一对内力的功一般不为零系统内一对内力的功一般不为零说明ij考虑斜面和滑块间的考虑斜面和滑块间的一对摩擦力的作功情一对摩擦力的作功情况。况。说明：说明：“系统内一对内力的功不一定为零系统内一对内力的功不一定为零”。本讲稿第四十一页，共五十七页2.一对内力做功之和与所选的参考系无关一对内力做功之和与所选的参考系无关与参考系无关，与参考系无关，一对摩擦力做功一对摩擦力做功:Wf=-f l(地面系，木块系，子弹系地面系，木块系，子弹系)sl子弹子弹木块木块一对内力做功之和与所选的参考系无关！一对内力做功之和与所选的参考系无关！例如：例如：本讲稿第四十二页，共五十七页三、相互作用势能三、相互作用势能一对保守内力一对保守内力ij因此，在计算一对内力作功时，可选其中一个物体为参考因此，在计算一对内力作功时，可选其中一个物体为参考系，以另一物体的相对位移为准求内力做功。系，以另一物体的相对位移为准求内力做功。如：如：重力势能重力势能属于地球和物体组成的系统。属于地球和物体组成的系统。一对内力作功：一对内力作功：O本讲稿第四十三页，共五十七页 四、多质点系统的势能四、多质点系统的势能保守内力保守内力END其中其中 为质点为质点 i 和和 j 之间的相互作用势能。之间的相互作用势能。本讲稿第四十四页，共五十七页 一、质点系的动能定理一、质点系的动能定理3.5 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律设第设第 i 个质点所受外力的功为个质点所受外力的功为 ，内力的功为，内力的功为 ,初速度为初速度为 ,末速度为末速度为 。外力对质点系做的总功外力对质点系做的总功。内力对质点系做的总功内力对质点系做的总功。本讲稿第四十五页，共五十七页质点系的动能定理质点系的动能定理：所有外力和内力对系统所作的功之和所有外力和内力对系统所作的功之和等于系统总动能的增量。等于系统总动能的增量。质点系的末态总动能。质点系的末态总动能。质点系的初态总动能。质点系的初态总动能。本讲稿第四十六页，共五十七页例例3-11 光滑水平面上放有质量为光滑水平面上放有质量为m1的沙箱，的沙箱，由左方飞来质量为由左方飞来质量为m2的弹丸从箱左侧击入，的弹丸从箱左侧击入，在沙箱中前进在沙箱中前进 l 距离后停止。距离后停止。在这段时间在这段时间中沙箱向右运动了距离中沙箱向右运动了距离 s，此后沙箱带着弹丸以匀速此后沙箱带着弹丸以匀速 v 运动。运动。求求(1)沙箱对弹丸的平均阻力沙箱对弹丸的平均阻力F；(2)弹丸初速弹丸初速v0；(3)沙箱沙箱-弹弹丸系统损失的机械能。丸系统损失的机械能。(2)对弹丸，应用动能定理：对弹丸，应用动能定理：(1)对沙箱对沙箱,应用动能定理：应用动能定理：解：解：s+l s本讲稿第四十七页，共五十七页(3)机械能变化：机械能变化：一对非保守内力一对非保守内力(耗散力耗散力)做负做负功，使系统动能减少。功，使系统动能减少。s+l s本讲稿第四十八页，共五十七页二、功能原理二、功能原理 保守内力的总功保守内力的总功 非保守内力的总功非保守内力的总功内力的总功内力的总功质点系的功能原理：质点系的功能原理：质点系在运动过程中，所有外力的功质点系在运动过程中，所有外力的功和非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。和非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。本讲稿第四十九页，共五十七页1.明确系统及初、末状态。明确系统及初、末状态。2.适用于惯性系。适用于惯性系。3.机械能守恒定律机械能守恒定律与参考系无关与参考系无关,而而与参考系有关。与参考系有关。在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。不一定守恒。系统中的动能和势能可以转换系统中的动能和势能可以转换,各质点间的机械能也可各质点间的机械能也可以互换以互换,但保持系统的总机械能不变。但保持系统的总机械能不变。说明若若 本讲稿第五十页，共五十七页4.对孤立系统对孤立系统若若能量转换和守恒定律能量转换和守恒定律其他形式的能量转化为机械能。其他形式的能量转化为机械能。机械能转化为其他形式的能量。机械能转化为其他形式的能量。则：则：本讲稿第五十一页，共五十七页例例3-13 已知铁链质量已知铁链质量m，长，长 l，与桌面摩擦系数为，与桌面摩擦系数为 。问：问：(1)a 为多少时铁链开始下滑为多少时铁链开始下滑?(2)金属链全部离开桌面时金属链全部离开桌面时 v 为为多少多少?解：解：(1)(2)摩擦力做负功，以摩擦力做负功，以 a 处为坐标原点处为坐标原点下垂部分重力下垂部分重力 等于摩擦力时等于摩擦力时Oxdxa本讲稿第五十二页，共五十七页利用功能原理，以桌面为零势能点：利用功能原理，以桌面为零势能点：Oxdxa本讲稿第五十三页，共五十七页例例3-14 计算第一、第二宇宙速度。计算第一、第二宇宙速度。一、第一宇宙速度一、第一宇宙速度物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度已知：地球半径为已知：地球半径为R，质量为，质量为M，卫星质量，卫星质量为为m。要使卫星在距地面。要使卫星在距地面h 高度绕地球作匀高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。速圆周运动，求其发射速度。解：解：设发射速度为设发射速度为v1，绕地球的运动速度为，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：机械能守恒：万有引力提供向心力：万有引力提供向心力：RMm本讲稿第五十四页，共五十七页得：得：第一宇宙速度第一宇宙速度本讲稿第五十五页，共五十七页二、第二宇宙速度二、第二宇宙速度地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度(1)脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。(2)脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。由机械能守恒：由机械能守恒：得：得：本讲稿第五十六页，共五十七页第三章作业4，10，12，29，34，35本讲稿第五十七页，共五十七页