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数学中的整体思想第1页，共29页，编辑于2022年，星期六整体思想概述：整体思想概述：整体思想方法是指用整体思想方法是指用“集成集成”的眼光，把某些式子的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.从整从整体出发的处理方法，体现了一种着眼全局、通盘考虑的体出发的处理方法，体现了一种着眼全局、通盘考虑的整体观念整体观念.中学数学中，整体思想的应用广泛中学数学中，整体思想的应用广泛.运用整运用整体思想方法的三部曲：（）从整体出发，高瞻远瞩地体思想方法的三部曲：（）从整体出发，高瞻远瞩地统帅局部；（）通过对局部的研究，酝酿总体解决的统帅局部；（）通过对局部的研究，酝酿总体解决的方案；（）回到整体，实现解决整个问题的总目标方案；（）回到整体，实现解决整个问题的总目标.整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。题中的具体运用。第2页，共29页，编辑于2022年，星期六知识点中的整体思想知识点中的整体思想第五章第五章 数量与数量之间的关系数量与数量之间的关系第六章第六章 整式的加减整式的加减第九章第九章 二元一次方程组二元一次方程组第十章第十章 整式乘法与因式分解整式乘法与因式分解第十一章第十一章 三角形三角形 第十四章第十四章 分式分式第十五章第十五章 轴对称轴对称 第十六章第十六章 勾股定理勾股定理第十七章第十七章 实数实数 第二十二章第二十二章 四边形四边形第二十五章第二十五章 一次函数一次函数 第二十八章第二十八章 一元二次方程一元二次方程第二十九章第二十九章 相似形相似形第3页，共29页，编辑于2022年，星期六整体思想的具体分析整体思想的具体分析第五章第五章 数量与数量之间的关系数量与数量之间的关系1 1、求含绝对值的式子的值或解含绝对值的方程求含绝对值的式子的值或解含绝对值的方程 例：（）已知例：（）已知 ，求，求 的值。的值。分析分析：应把和分别看做一个：应把和分别看做一个整体，由已知条件讨论出和的正整体，由已知条件讨论出和的正负，从而求出原式的值；负，从而求出原式的值；（）（）解方程解方程.分析分析：同样要把看做一个整体，：同样要把看做一个整体，因为它的绝对值等于，所以因为它的绝对值等于，所以，从而可以求出方程的解从而可以求出方程的解.第4页，共29页，编辑于2022年，星期六2、求代数式的值求代数式的值-整体代入法整体代入法（1）代数式代数式 +x+3的值为的值为7，则代数式，则代数式2 +2x3的值为的值为_分析：若用常规方法求代数式的值，必须由条分析：若用常规方法求代数式的值，必须由条件求出件求出x的值，而目前并不能由的值，而目前并不能由 +x+3=7求出求出x的值，但可以考虑用整体代入处理，把的值，但可以考虑用整体代入处理，把 +x=73=4整体代入求值，这样将十分简捷。整体代入求值，这样将十分简捷。解：因为解：因为 +x+3=7，所以，所以 +x=4，所以，所以2 +2x3=2（+x）3=243=5第5页，共29页，编辑于2022年，星期六（2）若若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则，则x+y+z=_分析：若想由条件求出的值，再代入代数式计分析：若想由条件求出的值，再代入代数式计算，则无法求出结果，若用算，则无法求出结果，若用“整体代入整体代入”法尝法尝试，将会出现柳暗花明又一村的现象。试，将会出现柳暗花明又一村的现象。解：因为解：因为x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15 所以（所以（x+2y+3z）+（4x+3y+2z）=25 所以所以 5x+5y+5z=25 所以所以 x+y+z=5第6页，共29页，编辑于2022年，星期六（3）如果如果 +x-1=0,那么代数式那么代数式 +2 -7的值。的值。分析：由题可知，若采用一般方法解方程求，分析：由题可知，若采用一般方法解方程求，目前来说不可能且十分繁琐，但通过观察发目前来说不可能且十分繁琐，但通过观察发现，故可把看作一个整体，由条件式给出现，故可把看作一个整体，由条件式给出 的的值，尔后整体代入即可值，尔后整体代入即可解：由题意，得解：由题意，得 +x +2 -7 （）7 第7页，共29页，编辑于2022年，星期六第六章第六章 整式的加减整式的加减一、整体代入法一、整体代入法已知已知x2m1,y12m,计算计算 的的值。值。思路分析思路分析本题注意到本题注意到xy,xy的值都很简单的值都很简单,而原式而原式用用(xy),(xy)表示也很容易表示也很容易,用整体代入法用整体代入法.解解:x2m1,y12m.xy2,xy4m.原式原式 (xy)(xy)24m16 8m.规律总结规律总结把计算式中的某部分看作整体或先作适当变形把计算式中的某部分看作整体或先作适当变形转化转化,再整体代入再整体代入,是经常使用的一种方法是经常使用的一种方法.第8页，共29页，编辑于2022年，星期六二、整体转化法二、整体转化法计算(3a2bc5)(3a2bc5)思路分析思路分析将将(3a5)看成相同的项看成相同的项,将将(2bc)看成相反的项看成相反的项,问题就转化平方差公式问题就转化平方差公式,计算计算起来就方便了起来就方便了.解解:原式原式 规律总结规律总结将整式运算中的相同将整式运算中的相同(或相反或相反)的部的部分作为整体进行转化分作为整体进行转化,可使问题简易获解可使问题简易获解.第9页，共29页，编辑于2022年，星期六三、整体加减法三、整体加减法 已知已知 求求 的值的值.思路分析思路分析所给条件式中的两个未知数所给条件式中的两个未知数,难以难以求出各自的值后代入求值求出各自的值后代入求值,因此可通过整体加因此可通过整体加减的方法求出待求式的值减的方法求出待求式的值.解解:将已知两式左右两边分别相加将已知两式左右两边分别相加,两边再同两边再同乘以乘以2得得52.规律总结规律总结对所给条件式难以或无法直接求对所给条件式难以或无法直接求出各自的值出各自的值,则可以通过变换条件式则可以通过变换条件式,整体求整体求出待求式的值出待求式的值.第10页，共29页，编辑于2022年，星期六四、整体合并法四、整体合并法 计算计算4(xy)3(xy)2(xy)3(xy).思路分析思路分析本题按照常规解法是先去括号本题按照常规解法是先去括号,再再合并同类项合并同类项.但这样做比较麻烦但这样做比较麻烦,若把若把xy,xy各看作一个各看作一个“整体整体”先行合并先行合并,再去括号再去括号,就就方便快捷多了方便快捷多了.解解:原式原式(43)(xy)(23)(xy)7(xy)(xy)7x7yxy6x8y.规律总结规律总结括号内所含内容相同的多项式运算括号内所含内容相同的多项式运算,可将括号看作一个可将括号看作一个“整体整体”先行合并先行合并,再去括再去括号号,可简化运算可简化运算.第11页，共29页，编辑于2022年，星期六五、整体去括号五、整体去括号 化简 思路分析思路分析 受一个受一个“”号影响号影响,应变号应变号;受两受两个个“”号影响号影响,不变号不变号;规律总结规律总结在含有多重括号的运算式中在含有多重括号的运算式中,括号里的项是否变括号里的项是否变号号,只与该项以及该项所在的各层括号前面的只与该项以及该项所在的各层括号前面的“”号有关号有关,而与其前面的而与其前面的“”号无关号无关.因此只要从外向里逐层确定影因此只要从外向里逐层确定影响该项的响该项的“”号的个数就可整体去括号号的个数就可整体去括号.当某项受奇数个当某项受奇数个“”号影响时该项变号号影响时该项变号,受偶数个受偶数个“”号影响时该项不号影响时该项不变号变号.第12页，共29页，编辑于2022年，星期六第九章第九章 二元一次方程组二元一次方程组一、巧用巧用“整体思想整体思想”妙解方程组妙解方程组-整体代整体代入或整体加减入或整体加减例例1、解方程组、解方程组：析解：由析解：由得得 把把 看成一个整体，代入看成一个整体，代入得得到到 解得解得 ，再代入，再代入得到：得到：从而得到原方从而得到原方程组的解为程组的解为：第13页，共29页，编辑于2022年，星期六例2、解方程组：解析：此例若用此例若用“正宗正宗”的代入或加减，往往会使解题过程复的代入或加减，往往会使解题过程复杂冗长，运算量大，稍有疏忽便会前功尽弃，若能根据方程组杂冗长，运算量大，稍有疏忽便会前功尽弃，若能根据方程组的具体特点，灵活运用的具体特点，灵活运用“整体思想整体思想”这一方法与技巧，可使问这一方法与技巧，可使问题化繁为简，迅捷获解。先把方程题化繁为简，迅捷获解。先把方程化简整理得，化简整理得，注意到方程组的常数项之间的关系，将方程注意到方程组的常数项之间的关系，将方程整体代入整体代入，消去常数，消去常数2800，得到之间的倍数关系，从而很容易求出方程，得到之间的倍数关系，从而很容易求出方程组的解组的解。将方程将方程整体代入整体代入，消去常数，消去常数2800，得到，得到 整理整理 代入代入消去消去x得到得到：=350所以原方程组的解为所以原方程组的解为：=2450 =350 第14页，共29页，编辑于2022年，星期六例3、解方程组 解析：此题数字较大，若按常规加减，解析：此题数字较大，若按常规加减，运算量大，费时费功，仔细观察方程组运算量大，费时费功，仔细观察方程组的未知数的系数具有对称轮换的特征，的未知数的系数具有对称轮换的特征，可采用整体相加减，使系数绝对值减小，可采用整体相加减，使系数绝对值减小，从而可以得到一个同解的简易方程组，从而可以得到一个同解的简易方程组，新颖别致，简捷明快。新颖别致，简捷明快。第15页，共29页，编辑于2022年，星期六二、整体思想在应用题中的应用二、整体思想在应用题中的应用有甲、乙、丙三种商品，若甲购得有甲、乙、丙三种商品，若甲购得3件、乙购得件、乙购得7件、丙购得件、丙购得1件共需件共需315元；若购得甲元；若购得甲4件、乙件、乙10件、丙件、丙1件共需件共需420元，现购得甲、乙、丙各元，现购得甲、乙、丙各1件，共需多少元？件，共需多少元？解：设购甲、乙、丙解：设购甲、乙、丙1件分别需要件分别需要x元、元、y元、元、z元，由题意得：元，由题意得：3x+7y+z=315 4x+10y+z=420此题方程个数少于未知数，若按常规思考，则望题兴叹，不可能把此题方程个数少于未知数，若按常规思考，则望题兴叹，不可能把x、y、z都都出来，但深思慎虑，原来题目要求的只是出来，但深思慎虑，原来题目要求的只是x+y+z的值，并非要把的值，并非要把x、y、z分别分别求出来，于是对方程组作如下变形求出来，于是对方程组作如下变形 3-2，得到，得到x+y+z=145本例若直接设未知数，很难列出等量关系，故采用间接设法，它虽改变了解本例若直接设未知数，很难列出等量关系，故采用间接设法，它虽改变了解题的角度，但体现了题的角度，但体现了“整体处理整体处理”的思想。的思想。第16页，共29页，编辑于2022年，星期六第十章第十章 整式乘法与因式分解整式乘法与因式分解一、因式分解要注意整体思想方法的运用一、因式分解要注意整体思想方法的运用分解因式：分解因式：1、x(mx)(my)m(xm)(ym)x(mx)(my)m(mx)(my)(mx)(my)(xm)(my)2、-4(x-y-1).分析分析:所给的多项式没有公因式可提所给的多项式没有公因式可提,也不能直接利用公也不能直接利用公式法分解式法分解.观察其结构特点观察其结构特点,可视（可视（x-y)为一个整体，将为一个整体，将-4(x-y-1)整理为整理为-4(x-y)+4后能用完全平方公式分解后能用完全平方公式分解.第17页，共29页，编辑于2022年，星期六二、整式乘法中的整体思想二、整式乘法中的整体思想已知已知 求求 的值的值。分析：分析：这道题从已知条件出发都求不出，这道题从已知条件出发都求不出，的值，但整体利用己知条件就迎刃而，的值，但整体利用己知条件就迎刃而解了解了.由幂的逆运算可知：由幂的逆运算可知：第18页，共29页，编辑于2022年，星期六第十一章第十一章 三角形三角形1、如图，DBC2ABD，DCB2ACD，试说明A与D之间的关系.评注：本例应用整体思想得到评注：本例应用整体思想得到A与与D之间的之间的关系，主要应用三角形的内角，三角形内角和关系，主要应用三角形的内角，三角形内角和定理结合整体思想进行说理定理结合整体思想进行说理.第19页，共29页，编辑于2022年，星期六第十四章第十四章 分式分式整体代入在分式化简求值中的妙用整体代入在分式化简求值中的妙用1、已知、已知 求下列各式的值求下列各式的值：第20页，共29页，编辑于2022年，星期六2、已知已知 ，求，求的值的值 分析：把分析：把 看作一个整体，先整理看作一个整体，先整理再做。再做。=第21页，共29页，编辑于2022年，星期六第十五章第十五章 轴对称轴对称轴对称和轴对称图形的联系体现了整体思轴对称和轴对称图形的联系体现了整体思想。想。把成轴对称的两个图形看成一个整体就是把成轴对称的两个图形看成一个整体就是轴对称图形。轴对称图形。例：例：观察下图中各组图形，其中成轴对称的为观察下图中各组图形，其中成轴对称的为_（只写序号）。（只写序号）。第22页，共29页，编辑于2022年，星期六第十六章第十六章 勾股定理勾股定理利用勾股定理求面积中的整体思想利用勾股定理求面积中的整体思想例：如图，已知例：如图，已知RtABC的周长为的周长为2+，其中斜边为其中斜边为2，求这个三角形的面积。，求这个三角形的面积。分析：若要直接求出分析：若要直接求出a与与b的值，要用二次方程求解较繁。但的值，要用二次方程求解较繁。但由联想到运用整体思想（将由联想到运用整体思想（将ab视为一个整体），问题便可顺视为一个整体），问题便可顺利获解。利获解。解：在解：在RtABC中，根据勾股定理，得中，根据勾股定理，得即即又由已知得又由已知得 所以所以解得解得 所以所以第23页，共29页，编辑于2022年，星期六第十七章第十七章 实数实数 观察全局，就是从全局上对已知条件进行观察观察全局，就是从全局上对已知条件进行观察分析，综合考察，从而得出解决问题途径。分析，综合考察，从而得出解决问题途径。例：若实数满足例：若实数满足则则 从全局看，式子要有意义，实数需满足从全局看，式子要有意义，实数需满足 ，解得，解得x=，进一步得到，进一步得到y=2。第24页，共29页，编辑于2022年，星期六第二十二章第二十二章 四边形四边形整体思想就是根据问题的整体结构特征，把一组图整体思想就是根据问题的整体结构特征，把一组图形视为一个整体去观察、分析、研究问题的一种方形视为一个整体去观察、分析、研究问题的一种方法，运用它往往可以起到化繁为简的作用。法，运用它往往可以起到化繁为简的作用。例：如图，菱形例：如图，菱形ABCD的面积为的面积为8，则阴影部分的，则阴影部分的面积为面积为 。第25页，共29页，编辑于2022年，星期六第二十五章第二十五章 一次函数一次函数一次函数中把一些相关量做为整一次函数中把一些相关量做为整体来处理的思想。体来处理的思想。例：已知例：已知y与与x+1成正比例，如成正比例，如果果x=4时，时，y=2，那么，那么x=3时，时，y=_分析：把 x+1当作整体，设函数当作整体，设函数解析式为解析式为y=k(x+1),在代入在代入x、y的值，求的值，求k.第26页，共29页，编辑于2022年，星期六 第二十八章一元二次方程第二十八章一元二次方程 解一元二次方程的方法中的因式解一元二次方程的方法中的因式分解法运用的是整体思想。分解法运用的是整体思想。教材九年级上教材九年级上39页例页例5：（1）(2)分析：把（分析：把（x-1)与与(x+5)当做整体，移项当做整体，移项后，方程（后，方程（1）可用提公因式法，方程）可用提公因式法，方程（2）可用平方差公式。）可用平方差公式。第27页，共29页，编辑于2022年，星期六第二十九章第二十九章 相似形相似形单元整体思想在教学中的应用单元整体思想在教学中的应用 把相似三角形的三条判定定理作为一把相似三角形的三条判定定理作为一般三角形相似的判定方法整体学习，使学般三角形相似的判定方法整体学习，使学生对相似三角形判定方法在短期内形成完生对相似三角形判定方法在短期内形成完整的认知结构，有利于学生面对选择时，整的认知结构，有利于学生面对选择时，作出正确、合理的判断，有利于领悟学习作出正确、合理的判断，有利于领悟学习知识时所应考虑的方式与策略。知识时所应考虑的方式与策略。第28页，共29页，编辑于2022年，星期六数学思想-整体思想小结 在解题中在解题中,为了便于掌握和运用整体思为了便于掌握和运用整体思想想,可将这一思想概括为可将这一思想概括为:记住已知用过记住已知用过哪些条件哪些条件?还有哪些条件未用上还有哪些条件未用上?如何创如何创造机会把未用上的条件用上造机会把未用上的条件用上?,想着目标想着目标(向着目标步步推理向着目标步步推理,必要时可利用图形标必要时可利用图形标示出已知和求证示出已知和求证);看联系看联系,抓变化抓变化,一般来一般来说说,整体范围看得越大整体范围看得越大,解法可能越好解法可能越好.在在整体思想指导下整体思想指导下,解题技巧只需记住已知解题技巧只需记住已知,想着目标想着目标,步步正确推理就够了步步正确推理就够了.第29页，共29页，编辑于2022年，星期六