数学素质的基本内涵幻灯片.ppt

数学素质的基本内涵第1页，共23页，编辑于2022年，星期六数学素质的一般意义数学教育在人的素质养成上具有不可替代的作用：数学教育在人的素质养成上具有不可替代的作用：“直观思维、直观思维、逻辑推理、精确计算以及结论的明确无误逻辑推理、精确计算以及结论的明确无误是每个公民的是每个公民的科学文化素质科学文化素质”。在基础教育阶段，通过数学基础知识的学习，数学思维方式的训在基础教育阶段，通过数学基础知识的学习，数学思维方式的训练，可以使学生养成数学地思维的习惯，形成数学地观察世界、练，可以使学生养成数学地思维的习惯，形成数学地观察世界、处理和解决问题的能力。处理和解决问题的能力。数学素质的研究应该采用静态与动态相结合的方法。静数学素质的研究应该采用静态与动态相结合的方法。静态上，要分析数学素质的态上，要分析数学素质的基本构成因素；动态上，要探讨基本构成因素；动态上，要探讨处于不同发展阶段的学生，其数学素质发展变化的特征和处于不同发展阶段的学生，其数学素质发展变化的特征和规律规律第2页，共23页，编辑于2022年，星期六数学素质基本构成要素数学意识数学意识能够从数学视角观察周围世界。能够从数学视角观察周围世界。数学思考数学思考能够用数学的思维方式思考问题能够用数学的思维方式思考问题。数学交流数学交流会听数学、读数学、讲数学、会听数学、读数学、讲数学、写数学、做数学。写数学、做数学。数学应用数学应用能用数学解决简单的实际问题。能用数学解决简单的实际问题。第3页，共23页，编辑于2022年，星期六数学素质好，与通常所说的一个人有头脑的意思数学素质好，与通常所说的一个人有头脑的意思差不多，归根到底是指有数学思维方式，能从数差不多，归根到底是指有数学思维方式，能从数学角度出发进行理性思考，有寻求一般性模式、学角度出发进行理性思考，有寻求一般性模式、追求简洁与形式完美的思维方式和行为习惯，追追求简洁与形式完美的思维方式和行为习惯，追求逻辑的严谨性和结论的可靠性的意识等。求逻辑的严谨性和结论的可靠性的意识等。第4页，共23页，编辑于2022年，星期六数学素质的基本内涵的认识精确定量思维方式精确定量思维方式数学抽象概括能力数学抽象概括能力逻辑思维能力逻辑思维能力几何直观能力几何直观能力数学语言表达能力数学语言表达能力数学应用意识数学应用意识反思与调节能力反思与调节能力第5页，共23页，编辑于2022年，星期六精确定量思维方式1、“王梓坤先生指出，定量思维王梓坤先生指出，定量思维是指人们从是指人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，用实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的软件包，以便得到更广实际，最后编制解题的软件包，以便得到更广泛的、方便的应用。泛的、方便的应用。精确定量思维方式是数精确定量思维方式是数学研究者必须具备的最重要的思维方式，也是学研究者必须具备的最重要的思维方式，也是数学教育所能给予学生的最重要和最基本的数数学教育所能给予学生的最重要和最基本的数学素质。学素质。”第6页，共23页，编辑于2022年，星期六对王先生的话的理解对王先生的话的理解按：按：“抽象化为数学模型抽象化为数学模型”即常说的建模，但包含二个要素。即常说的建模，但包含二个要素。一一是是“抽象化抽象化”，把原生态的问题淘汰无关因素变成数学问题，其中有一件必，把原生态的问题淘汰无关因素变成数学问题，其中有一件必做的事是给事物做的事是给事物“赋值赋值”，如为全班同学分配图书时赋予图书自然数值的，如为全班同学分配图书时赋予图书自然数值的“本数本数”，植树时给株距与行距赋予正有理数值，设计春游方案预测所选地点，植树时给株距与行距赋予正有理数值，设计春游方案预测所选地点的天气、客流量、经费开支时分别赋予它们概率值的天气、客流量、经费开支时分别赋予它们概率值实际上就是比值。实际上就是比值。二是选择乃至创造适合于解决这个数学问题的计算方式二是选择乃至创造适合于解决这个数学问题的计算方式，包括计算的包括计算的定义和计算规则定义和计算规则。很多人不会量化思维，并不是找不到数学模型或不。很多人不会量化思维，并不是找不到数学模型或不会计算，而是不会给似乎只能定性的事物赋值，在统计和概率类问会计算，而是不会给似乎只能定性的事物赋值，在统计和概率类问题中尤其如此。题中尤其如此。“编制解题的软件包编制解题的软件包”指总结量化思维成果并将其程序化、计算指总结量化思维成果并将其程序化、计算机化，使之能推广应用于新的同类问题。这是数学研究者的事，机化，使之能推广应用于新的同类问题。这是数学研究者的事，学生能总结反思、获得经验即可。此外，似可把王先生对量化思学生能总结反思、获得经验即可。此外，似可把王先生对量化思维方式的描述图式化为：维方式的描述图式化为：赋值赋值建模建模计算计算检验检验反思。反思。第7页，共23页，编辑于2022年，星期六2、在基础教育阶段，、在基础教育阶段，定量思维主要靠数学的精确计算来定量思维主要靠数学的精确计算来培养培养。众所周知，计算和演绎是数学中紧密结合在一。众所周知，计算和演绎是数学中紧密结合在一起的过程，从某种意义上说，起的过程，从某种意义上说，数学学习的主要作用是形数学学习的主要作用是形成成算法的思维算法的思维，培养按照规定的运算程序计算的习，培养按照规定的运算程序计算的习惯和设计新的计算程序的能力惯和设计新的计算程序的能力（实际上，数学的公式、法（实际上，数学的公式、法则、定理等都可以理解为规定好的计算程序）。数学计算则、定理等都可以理解为规定好的计算程序）。数学计算是数学课堂中的一项重要的教学活动，思维的创造性和应是数学课堂中的一项重要的教学活动，思维的创造性和应用数学的能力都可以从中得到培养。在学习数学的过程中，用数学的能力都可以从中得到培养。在学习数学的过程中，时刻都有构造算法、选择算法的需要，通过构造算法、比时刻都有构造算法、选择算法的需要，通过构造算法、比较不同算法的效率并选择算法的实践，可以使学生逐渐地较不同算法的效率并选择算法的实践，可以使学生逐渐地养成从事智力活动的习惯：计划自己的工作、寻找和选择养成从事智力活动的习惯：计划自己的工作、寻找和选择完成工作的合理途径、对结果进行批判和评价。完成工作的合理途径、对结果进行批判和评价。第8页，共23页，编辑于2022年，星期六当前，人们对计算有一些误解，认为计算就当前，人们对计算有一些误解，认为计算就是按照各种运算法则进行加、减、乘、除，是按照各种运算法则进行加、减、乘、除，因此，学习计算就是把书本中给出的计算法因此，学习计算就是把书本中给出的计算法则背诵熟练，形成一些计算的基本技巧，则背诵熟练，形成一些计算的基本技巧，实际上，按照算法规则进行逻辑推理而获得实际上，按照算法规则进行逻辑推理而获得正确结果仅仅是计算的一个方面。正确结果仅仅是计算的一个方面。更重要的更重要的，在计算中包含着对算法的构造、设计、选择；在计算中包含着对算法的构造、设计、选择；对算理的理解、运用，等。这是一个对算理的理解、运用，等。这是一个数学实数学实验验的过程，其中包含了丰富的数学实践，可的过程，其中包含了丰富的数学实践，可以使学生更加深刻地理解数学思想方法的真谛。以使学生更加深刻地理解数学思想方法的真谛。第9页，共23页，编辑于2022年，星期六把把“计算计算”当作当作“运算运算”和和“算法算法”来教来教可见计算教学决可见计算教学决不只不只是教会学生是教会学生“计算技能技巧计算技能技巧”，还要还要教会学生数学化的思维、创造性思维、应用数学的意教会学生数学化的思维、创造性思维、应用数学的意识和能力、严谨细致的工作态度。识和能力、严谨细致的工作态度。但要实现计算教学的上述价值，就要把但要实现计算教学的上述价值，就要把“计算计算”当作当作“运运算算”和和“算法算法”来教来教算法中的算法中的“算算”指的就是指的就是“运算运算”。计算的对象只是数值计算的对象只是数值，运算的对象则在数值之外运算的对象则在数值之外还包括代数式、方程、图形、概念、判断等等还包括代数式、方程、图形、概念、判断等等。只有。只有把计算当作运算来教，高度重视计算中的算理思考，把计算当作运算来教，高度重视计算中的算理思考，才能发展思维。该书说得好：数学实际上就是才能发展思维。该书说得好：数学实际上就是“算法算法学学”，数学能力实际上就是，数学能力实际上就是“通过选择、构造、应用通过选择、构造、应用算法解决问题的能力算法解决问题的能力”。第10页，共23页，编辑于2022年，星期六3 3、计算包括根据法则进行的精确计算、心算和估算。、计算包括根据法则进行的精确计算、心算和估算。按照运算法则进行计算可以训练学生的推理技能，可按照运算法则进行计算可以训练学生的推理技能，可以使学生形成按程序进行操作的技能，可以培养学生以使学生形成按程序进行操作的技能，可以培养学生按规则办事的素养和习惯；心算和估算可以培养学生按规则办事的素养和习惯；心算和估算可以培养学生全面把握问题情境、洞察事物本质的能力，以及对数全面把握问题情境、洞察事物本质的能力，以及对数据特点的准确理解、对算法的合理选择、对结果合理据特点的准确理解、对算法的合理选择、对结果合理性的正确判断等能力。精确计算是一种定量思维方式，性的正确判断等能力。精确计算是一种定量思维方式，估算是对面临情况的一种整体把握，是通过与估算是对面临情况的一种整体把握，是通过与头脑中已有数学模型的类比而实现的，是对事物本头脑中已有数学模型的类比而实现的，是对事物本质的直觉判断，因而是一种定性思维形式，有更大质的直觉判断，因而是一种定性思维形式，有更大的灵活性和可变通性。的灵活性和可变通性。估算估算形成这种素质的基础是精确计算形成这种素质的基础是精确计算 的的 训练训练第11页，共23页，编辑于2022年，星期六良好的心算有良好的心算有两个特征：一是不用纸笔，二是快两个特征：一是不用纸笔，二是快。“快快”说说明那个学生能整体、直觉、迅速地洞察问题情境、找明那个学生能整体、直觉、迅速地洞察问题情境、找到可用的数学模型、熟练地运算，数学能力强；到可用的数学模型、熟练地运算，数学能力强；“不不用纸笔用纸笔”说明他思维严谨、精细且数学知识和技能熟说明他思维严谨、精细且数学知识和技能熟练。反之，我们就应该多给学生锻炼心算的机会，以练。反之，我们就应该多给学生锻炼心算的机会，以发展学生整体、直觉、迅捷、严谨的数学思维能力。发展学生整体、直觉、迅捷、严谨的数学思维能力。估算为何是估算为何是“对面临情况的一种整体把握对面临情况的一种整体把握”、是、是“一种定性一种定性思维形式思维形式”？因为估算需要依据对问题结构整体的把握、数？因为估算需要依据对问题结构整体的把握、数学模型整体的选择，还要根据问题的真实性质作出估算或精学模型整体的选择，还要根据问题的真实性质作出估算或精算的结果是否合理的判定算的结果是否合理的判定这些都是这些都是“定性思维定性思维”。反。反之，因其不需要数值上的精确性，所以不是定量思维方式。之，因其不需要数值上的精确性，所以不是定量思维方式。尽管形成估算能力的尽管形成估算能力的“基础基础”是精确计算的训练，但是精确计算的训练，但“基基础础”不能代替一切，即估算的能力还要在估算实践的过程不能代替一切，即估算的能力还要在估算实践的过程中形成。）中形成。）第12页，共23页，编辑于2022年，星期六数学抽象概括能力人们之间智力的差异，很重要的一点是概括的意识与能力。有概人们之间智力的差异，很重要的一点是概括的意识与能力。有概括习惯又会概括的人，学习效果会更好，因为他将融会贯通很多括习惯又会概括的人，学习效果会更好，因为他将融会贯通很多零散的知识并牢牢抓住它们的核心与本质；甚至会生活得更惬意，零散的知识并牢牢抓住它们的核心与本质；甚至会生活得更惬意，因为他将通过概括舍弃很多生活中的琐屑，陶然于概括所得的自因为他将通过概括舍弃很多生活中的琐屑，陶然于概括所得的自我人生真谛，少了许多烦恼。我人生真谛，少了许多烦恼。数学学习的过程就是一个概括过程，应用数学知识解决问题也是数学学习的过程就是一个概括过程，应用数学知识解决问题也是一个概括过程。学生从认识具体数学事例的感知和表象上升到对一个概括过程。学生从认识具体数学事例的感知和表象上升到对数学概念本质的理解，主要通过抽象与概括来实现。没有概括，数学概念本质的理解，主要通过抽象与概括来实现。没有概括，学生就不能掌握和运用知识；没有概括，学生就不能形成概念，学生就不能掌握和运用知识；没有概括，学生就不能形成概念，从而由概念引申的定义、定理、公式、法则等就不可能被学生掌从而由概念引申的定义、定理、公式、法则等就不可能被学生掌握；没有概括，学生的认知结构就无法形成。概括能力是数学思握；没有概括，学生的认知结构就无法形成。概括能力是数学思维能力的基础，概括水平成为衡量学生思维发展水平高低的等级维能力的基础，概括水平成为衡量学生思维发展水平高低的等级指标，思维能力通过概括能力的提高而得到显现。指标，思维能力通过概括能力的提高而得到显现。”第13页，共23页，编辑于2022年，星期六对基础数学而言，数学抽象是从数与形两个角度进行的：在漫长的过程对基础数学而言，数学抽象是从数与形两个角度进行的：在漫长的过程中，儿童通过计数活动（以模仿的形式，借助于手指、眼睛、声音等）中，儿童通过计数活动（以模仿的形式，借助于手指、眼睛、声音等）首先将自然数抽象出来；然后通过像把两堆物体合在一起的操作，加法首先将自然数抽象出来；然后通过像把两堆物体合在一起的操作，加法被抽象出来；再次，加法运算本身作为一种特定的事物，与其他事物一被抽象出来；再次，加法运算本身作为一种特定的事物，与其他事物一起加入了更进一步的抽象（按：指算律的得出、减法、乘法与除法的推起加入了更进一步的抽象（按：指算律的得出、减法、乘法与除法的推出等）出等）这里，每一个抽象过程都伴随着符号的使用，这里，每一个抽象过程都伴随着符号的使用，这这些符号实际上代表了事物的某一个公共特点，但却忽略了它们的些符号实际上代表了事物的某一个公共特点，但却忽略了它们的不同方面。不同方面。与上述数学抽象概括过程相对应，学生在数学学习中要经历如下几个方与上述数学抽象概括过程相对应，学生在数学学习中要经历如下几个方面的抽象概括过程：第一，数学概念和规律的抽象概括；第二，把概括面的抽象概括过程：第一，数学概念和规律的抽象概括；第二，把概括的数学对象具体化；第三，在已有概括的基础上进行更广泛的、更高层的数学对象具体化；第三，在已有概括的基础上进行更广泛的、更高层次的抽象概括；第四，在概括的基础上把数学知识系统化。次的抽象概括；第四，在概括的基础上把数学知识系统化。第14页，共23页，编辑于2022年，星期六数学学习经历的这种抽象概括过程，使学生获得了这样一种素养：数学学习经历的这种抽象概括过程，使学生获得了这样一种素养：面对错综复杂的事物，能把注意力集中在对研究问题起关键作用面对错综复杂的事物，能把注意力集中在对研究问题起关键作用的特征上，并善于用恰当的方法表示这种特征，从而方便地进行的特征上，并善于用恰当的方法表示这种特征，从而方便地进行深入地思考，方便地与他人进行交流。深入地思考，方便地与他人进行交流。这是其他学科所无这是其他学科所无法替代的。法替代的。然而，现实教学中，这个问题并没有引起广大教师的重视，然而，现实教学中，这个问题并没有引起广大教师的重视，甚至可以说是被忽视了。在基础知识的教学中，不给学生展示知甚至可以说是被忽视了。在基础知识的教学中，不给学生展示知识的发生发展过程，学生的思维没有机会经历结论的抽象概括过识的发生发展过程，学生的思维没有机会经历结论的抽象概括过程，基本概念、基本原理采用程，基本概念、基本原理采用一个定义、三项注意一个定义、三项注意式的式的教学，在学生还没有对基本概念有基本理解的时候就要求学教学，在学生还没有对基本概念有基本理解的时候就要求学生使用概念。显然，这是与数学知识的抽象过程背道而驰的，生使用概念。显然，这是与数学知识的抽象过程背道而驰的，对培养学生的素质也非常不利。对培养学生的素质也非常不利。第15页，共23页，编辑于2022年，星期六我对概括的理解1 1、我们自己要学会概括。、我们自己要学会概括。学习教育理论的时候要用概括功夫，不要去死记硬背那些学习教育理论的时候要用概括功夫，不要去死记硬背那些散点性的话语。先分析、抽象，清理某本书的体系，看究散点性的话语。先分析、抽象，清理某本书的体系，看究竟讲了那些基本原理；再概括，把繁多的概念、原理争取竟讲了那些基本原理；再概括，把繁多的概念、原理争取概括成一句话概括成一句话事实上每个理论都可以概括成一句事实上每个理论都可以概括成一句话，建构主义不过是话，建构主义不过是“让学生自己去建立知识结构让学生自己去建立知识结构”，多元智能不过是多元智能不过是“让不同学生的智能结构个性化地、扬让不同学生的智能结构个性化地、扬长补短地发展长补短地发展”；最后争取把这一句话逐层展开，分解为；最后争取把这一句话逐层展开，分解为若干个基本原理，以及每个原理所包含的若干基本概念。若干个基本原理，以及每个原理所包含的若干基本概念。花过这种功夫后，这个理论就被你花过这种功夫后，这个理论就被你“吃进去吃进去”了。了。第16页，共23页，编辑于2022年，星期六2 2、努力让学生学会概括。、努力让学生学会概括。要重视让学生经历数学概念、原理的抽象概括过程之外，要重视让学生经历数学概念、原理的抽象概括过程之外，还提两点建议：还提两点建议：一是鼓励、指导学生经常概括自己所学的数学知识，每天小概一是鼓励、指导学生经常概括自己所学的数学知识，每天小概括、一月中概括、一期大概括、毕业前总概括。这样才能让他括、一月中概括、一期大概括、毕业前总概括。这样才能让他们日积月累地养成概括习惯、增长概括能力。们日积月累地养成概括习惯、增长概括能力。二是设计好复习课。复习课不能只是做题，而要高度重视二是设计好复习课。复习课不能只是做题，而要高度重视指导学生对上阶段所学知识进行抽象、概括指导学生对上阶段所学知识进行抽象、概括也就是建也就是建构主义所主张的构主义所主张的“建立知识结构建立知识结构”。这样才能提高学生的这样才能提高学生的数学能力，包括概括能力。数学能力，包括概括能力。第17页，共23页，编辑于2022年，星期六逻辑思维能力数学学习不但要学习作为数学学习不但要学习作为“合格公民合格公民”所必须学习的数学所必须学习的数学双基，而且还要学习并掌握数学的思想方法，获得数学思双基，而且还要学习并掌握数学的思想方法，获得数学思维的发展，培养逻辑思维能力，形成数学思维方式。维的发展，培养逻辑思维能力，形成数学思维方式。逻辑思维能力是数学能力的核心，主要包括：比较、逻辑思维能力是数学能力的核心，主要包括：比较、分析、综合、抽象、概括等形成概念的能力；归纳、分析、综合、抽象、概括等形成概念的能力；归纳、演绎、类比、推广、特殊化等进行推理与证明的能力；演绎、类比、推广、特殊化等进行推理与证明的能力；分类与系统化等形成知识体系的能力。分类与系统化等形成知识体系的能力。数学中，逻辑与直觉、推理与猜想总是相伴相随的。数学中，逻辑与直觉、推理与猜想总是相伴相随的。第18页，共23页，编辑于2022年，星期六 人们通过学期前人的经验 积累 产生一些有意义的联想 归纳、抽象、逻辑推理 产生对事物本质的认识第19页，共23页，编辑于2022年，星期六逻辑思维能力的好处严格的数学训练不但可以培养学生根据规则严格的数学训练不但可以培养学生根据规则进行逻辑推理能力，使他们养成正直诚实、进行逻辑推理能力，使他们养成正直诚实、客观公正而又坚定不移的为人品格，形成严客观公正而又坚定不移的为人品格，形成严密而精确的思维习惯，而且还可以培养他们密而精确的思维习惯，而且还可以培养他们迅速把握事物主要关系的能力，洞察事物本迅速把握事物主要关系的能力，洞察事物本质、把握问题全局、明辨是非的能力，快速质、把握问题全局、明辨是非的能力，快速反应、灵活应变的能力，从而提高对不断变反应、灵活应变的能力，从而提高对不断变化的世界的适应能力。化的世界的适应能力。第20页，共23页，编辑于2022年，星期六几何直观能力几何直观是一种几何直观是一种“思想上的实验思想上的实验”，对于没，对于没有厚薄的平面，没有粗细的直线，没有有厚薄的平面，没有粗细的直线，没有“维维”的点，对于的点，对于“纯粹形式纯粹形式”，我们无法通过，我们无法通过做实验来得出结论，只有用直觉思维和逻辑做实验来得出结论，只有用直觉思维和逻辑推理的方法从一些结论到处新结论，而且最推理的方法从一些结论到处新结论，而且最终一定要通过逻辑推理和证明来得出几何定终一定要通过逻辑推理和证明来得出几何定理。理。第21页，共23页，编辑于2022年，星期六数学语言表达能力数学语言已经被广泛地应用于社会生活、生产和数学语言已经被广泛地应用于社会生活、生产和科研的各个领域。科研的各个领域。运用数学语言进行表达运用数学语言进行表达和交流的能力成为人的综合素质的标志之一。和交流的能力成为人的综合素质的标志之一。使用数学语言可以使人在表达思想时做使用数学语言可以使人在表达思想时做到清晰、准确、简洁，在处理问题时能够将到清晰、准确、简洁，在处理问题时能够将问题中各种因素之间的复杂关系表述得条理问题中各种因素之间的复杂关系表述得条理清楚、结构分明。清楚、结构分明。”对发展学生数学语言能对发展学生数学语言能力的方法，则简略地提到在数学学习过程中力的方法，则简略地提到在数学学习过程中要让学生要让学生“亲身实践、主动建构亲身实践、主动建构数学交数学交流流组织学生讨论组织学生讨论”第22页，共23页，编辑于2022年，星期六对数学语言表达的几点看法一、要高度重视语言对思维发展的促进作用一、要高度重视语言对思维发展的促进作用二、要了解学生数学表达的困难二、要了解学生数学表达的困难 1、数学知识本来就没学懂，无话可说，一说就 错。2、生疏于极抽象的数学语言。3、内部语言向外部语言转化的困难，这是最值 得我们关注的困难。三、所以要给机会、别批评、多指导，在三、所以要给机会、别批评、多指导，在“多说多说”中中锻炼锻炼第23页，共23页，编辑于2022年，星期六