chapter多元函数的极值及应用.pptx

教学要求：1.理解多元函数极值和条件极值的概念;3.会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值;2.掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件;4.会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.第1页/共30页第2页/共30页1.二元函数极值的定义极大值与极小值统称为极值.若引进点函数,则 第3页/共30页(1)(2)(3)第4页/共30页2.极值存在的必要条件和充分条件 定理1（极值存在的必要条件）Proof.第5页/共30页注意:(4)驻点极值点（可偏导函数）第6页/共30页定理2（极值存在的充分条件）第7页/共30页第8页/共30页Solution.第9页/共30页第10页/共30页Solution.第11页/共30页第12页/共30页第13页/共30页(1)闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值:将函数 f(x,y)在D内的所有驻点处的函数值与在D的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.(2)实际问题则根据问题的实际意义来判断,若问题 存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的最值点.第14页/共30页Solution.第15页/共30页ex4.把一个正数a表为三个正数之和，使其乘积最大，求这三个数.Solution.第16页/共30页第17页/共30页1.条件极值自变量除了受其定义域限制外还有别的条件限制，这种情况下的极值称为条件极值.相应地，前面讨论的极值称为无条件极值.条件极值与无条件极值的区别和联系，例如第18页/共30页Solution.(1)显然函数在（0，0）点处取得极小值.可见，两种极值不同，但条件极值可转化为无条件极值来求，称为“降元法”；并非所有条件极值都能用“降元法”解，为此必须介绍新的方法.第19页/共30页2.拉格朗日乘数法 说明F(x,y,)的可能极值点为上述方程组确定的(x,y).第20页/共30页注意:(1)拉格朗日乘数法:解出(x,y)即为可能极值点.判断是否为极值点通常由实际问题来定.第21页/共30页解出(x,y,z)即为可能极值点.第22页/共30页ex5.三个正数的倒数和为1，求使三个正数和为最小 的三个正数.Solution.第23页/共30页第24页/共30页Solution.第25页/共30页第26页/共30页Solution.第27页/共30页第28页/共30页四面体体积最小.The end 第29页/共30页感谢您的观看！第30页/共30页