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有限元基础与有限元基础与第1页，共54页，编辑于2022年，星期六CH1绪论绪论n n一、有限元的概念1、什么是有限元？有限元分析，英文说法：finite element analysis，简称 FEA，定义为：将一个连续系统（物体）分隔成有限个单元，对每一个单元给出一个近似解，再将所有单元按照一定的方式进行组合，来模拟或者逼近原来的系统或物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化成一个离散的有限自由度问题分析求解的一种数值分析方法。2.力学基础其主要力学基础是弹性力学，处理对象为任意变形体。第2页，共54页，编辑于2022年，星期六二、有限元的基本思路有限元分析的基本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。实例：等截面直杆 第3页，共54页，编辑于2022年，星期六 受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为 L，截面积为 A，弹性模量为 E，单位长度的重量为 q，杆的内力为 N。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。第4页，共54页，编辑于2022年，星期六第5页，共54页，编辑于2022年，星期六第6页，共54页，编辑于2022年，星期六第7页，共54页，编辑于2022年，星期六建立所有结点的力平衡方程，可以得到由 n+1 个方程构成的方程组，可解出 n+1 个未知的接点位移。第8页，共54页，编辑于2022年，星期六三、有限元法的计算过程有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单元分析，整体分析。1 网格划分（离散化：自然离散、逼近离散）有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。通常把三维实体划分成 4 面体或 6 面体单元的网格。第9页，共54页，编辑于2022年，星期六平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。第10页，共54页，编辑于2022年，星期六2.单元分析单元分析n n对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。n n由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。n n单元分析的步骤可表示如下：单元分析的步骤可表示如下：第11页，共54页，编辑于2022年，星期六以平面问题的三角形 3 结点单元为例。如图 1-15 所示，单元有三个结点 I、J、M，每个结点有两个位移 u、v 和两个结点力 U、V。图 1-15 三角形 3 结点单元第12页，共54页，编辑于2022年，星期六建立结点位移与结点力之间的转换关系 转换矩阵K称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。3.整体分析对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程求出结点位移。在位移法中，主要的任务是求出基本未知量-结点位移。为此需要建立结点的平衡方程。例如在自重作用下的等截面直杆中，我们建立力学平衡方程，通过解方程组可以得到问题的求解。本课程主要针对弹性力学问题介绍有限元分析法1 有限元法的基本原理2 数学求解方法3 杆梁结构和连续体的分析原理4 有限元分析软件 ANSYS 在工程设计中的应用第13页，共54页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础n n一、弹性力学与材料力学一、弹性力学与材料力学n n第二章弹性力学基础第二章弹性力学基础1 1、研究的内容：基本上没有什么区别。、研究的内容：基本上没有什么区别。n n弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。和变形。n n2 2、研究的对象：有相同也有区别。、研究的对象：有相同也有区别。n n材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。尺寸相当的构件。n n3 3、研究的方法：有较大的区别。、研究的方法：有较大的区别。n n虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。用范围。第14页，共54页，编辑于2022年，星期六第15页，共54页，编辑于2022年，星期六二、弹性力学关于材料的假设1.物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用坐标的连续函数来表示。2.物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。3.物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置坐标而变。4.物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。5.物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。第16页，共54页，编辑于2022年，星期六三、基本变量1.应力的概念1）外力：面力和体力作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号来表示。体力：是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号 X、Y、Z 表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。第17页，共54页，编辑于2022年，星期六2）应力的概念（物体受力状态）弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素，PA=dx，PB=dy，PC=dz，每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。第18页，共54页，编辑于2022年，星期六（1）正应力为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力x是作用在垂直于 x轴的面上同时也沿着 X 轴方向作用的。（2）剪应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力xy是作用在垂直于 X 轴的面上而沿着 y 轴方向作用的。（3）应力的正负如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。第19页，共54页，编辑于2022年，星期六4）剪应力互等定律作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。第20页，共54页，编辑于2022年，星期六2.应变的概念（物体的变形程度）变形体：在外力的作用下。若物体内任意两点之间发生相对位移，这样的物体叫做边形体，它与材料的物理性质密切相关。1.应变：体素的变形可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。（1）线应变(或称正应变)：任一线素的长度的变化与原有长度的比值。用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用x、y、z来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。（2）角应变（或剪应变）：任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值。用 符 号 来 表 示。两 坐 标 轴 之 间 的 角 应 变，则 加 上 相 应 的 角 码，分 别 用xy、yz、zx来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的xy引起正的 xy)。（3）应变分量六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：第21页，共54页，编辑于2022年，星期六3.位移（物体变形后的位置）弹性体内任意点的位移可由沿直接坐标轴方向的三个位移分量 u,v,w 表示，用矩阵表示：四、位移、应变、应力的关系 1.应变与位移的关系 第22页，共54页，编辑于2022年，星期六2、应力与应变的关系 1）线应力当沿 X 轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在 X 方向的单位伸长则可表以方程弹性体在 X 方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在 y 和 Z 方向的单位缩短可表示为：第23页，共54页，编辑于2022年，星期六只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。2）剪应力 式中G称为剪切模量，它与弹性模量E，波桑系数存在如下的关系：第24页，共54页，编辑于2022年，星期六将六个关系式写称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，可得物理方程的第二种形式。第25页，共54页，编辑于2022年，星期六第26页，共54页，编辑于2022年，星期六物理方程的第二种形式可用矩阵的形式表示如下：D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和。第27页，共54页，编辑于2022年，星期六第28页，共54页，编辑于2022年，星期六n n五、应力与外力之间的平衡方程 n n根据微元体受合力为零的条件可以得出三维平衡方程：第29页，共54页，编辑于2022年，星期六n n六、两种平面问题 n n弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。第30页，共54页，编辑于2022年，星期六n n1、平面应力问题 厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，所以称为平面应力问题。第31页，共54页，编辑于2022年，星期六1）应力分量 2）物理方程 物理方程中后两式可见，这时的剪应变：由物理方程的第三式可见：第32页，共54页，编辑于2022年，星期六只需要考虑三个应变分量即可，于是应变矩阵简化为：第33页，共54页，编辑于2022年，星期六第34页，共54页，编辑于2022年，星期六第三章 杆系结构的有限元法 3.1 连续梁问题的有限元法 如图1所示为一个连续梁，在铰点处分别作用有力矩载荷M1、M2、M3，求连续梁的内力。第35页，共54页，编辑于2022年，星期六n n1.离散化 n n在杆系结构中各杆具有自然划分，成为杆单元，记为e。图1所示的连续梁可划分为两个单元，分别称为单元、，各个铰接点称为节点，统一编号为1、2、3称为节点总码，而称为节点力矩载荷，如图2所示：第36页，共54页，编辑于2022年，星期六n n2.单元分析 n n单元分析就是对已划分的单元进行力学分析，没有必要对每一个单元都进行分析，而只需要对一个典型单元进行分析即可。为此取任意单元e进行分析，首先对该单元的两个端点重新编码为 i、j，称为局部码。在该单元的两个端点分别作用有 两个力矩，称为杆端力矩。在这两个力矩的作用下杆发生变形，如图3所示，在节点处分别产生了转角 ，称为节点转角。第37页，共54页，编辑于2022年，星期六第38页，共54页，编辑于2022年，星期六两种情况的叠加第39页，共54页，编辑于2022年，星期六将上述两式写成矩阵形式为：第40页，共54页，编辑于2022年，星期六第41页，共54页，编辑于2022年，星期六n n3.整体分析 n n整体分析的主要任务就是在单元分析的基础上得到整体刚度矩阵。第42页，共54页，编辑于2022年，星期六第43页，共54页，编辑于2022年，星期六第44页，共54页，编辑于2022年，星期六第45页，共54页，编辑于2022年，星期六1）暂时不引入支承条件和载荷情况，先建立整体刚度矩阵K，写出M 与之间的转换关系2)在节点1和2引入载荷值，在固定端引入支承条件3=0，将上式修改为 第46页，共54页，编辑于2022年，星期六为了求解未知转角1、2，将上式展开：为了便于编程，我们希望修改后的矩阵仍然保留原矩阵的阶数和排列顺序。为此扩大如下形式：矩阵形式刚度方程修改方法：1）把节点力向量M换成节点载荷向量。P2）在矩阵K与零转角对应的行列中，主对角线元素改为1，其它元素改为0。3）在载荷向量中，与零转角对应的元素改为0。第47页，共54页，编辑于2022年，星期六5.非节点载荷的引入 1）求等效节点载荷 图10 所示的连续梁为例：、求单元1与2产生的固端力矩：（加角标0表示固端力矩，杆端采用单元局部编码）、各节点的约束力矩分别为该节点的相关单元固端力矩之和。第48页，共54页，编辑于2022年，星期六III、各节点的约束力矩的反作用力矩为原非节点载荷的等效节点载荷，即 2）求各杆端弯矩 连续梁在非节点载荷作用下的杆端弯矩由两部分组成：一部分是各杆的固端弯矩；另一部分是在等效节点载荷作用下的杆端弯矩。第49页，共54页，编辑于2022年，星期六二、例题 计算步骤：1)整理原始数据，进行编码。2）求在非节点载荷作用下的固端力矩及等效节点载荷。3）形成单元刚度矩阵ke 4）形成整体刚度矩阵k。5）引入支承条件。6）解方程，求节点转角。7）求各杆杆端弯矩。第50页，共54页，编辑于2022年，星期六解：1）原始数据及编号，如图所示。2）求固端弯据及等效节点载荷。I、求3个单元的固端弯矩分别为：第51页，共54页，编辑于2022年，星期六II、等效节点载荷向量：3）求单元刚度矩阵 4）求整体刚度矩阵 第52页，共54页，编辑于2022年，星期六5）引入支承条件 支承条件6）解方程 第53页，共54页，编辑于2022年，星期六7）求各杆杆端弯矩：做出弯矩图：第54页，共54页，编辑于2022年，星期六