物理学27(量子4).ppt

3、测不准关系：、测不准关系：小小 结：结：1、物质波、物质波-德布罗意波德布罗意波2、几率波、几率波实物粒子在空间某点出现的实物粒子在空间某点出现的几率几率正比于正比于波振幅的平方波振幅的平方1 微观粒子具有波粒二象性，其运动不能用经典微观粒子具有波粒二象性，其运动不能用经典 的坐标、动量等概念来精确描述。的坐标、动量等概念来精确描述。必须寻找反映微观粒子波粒二象性并能描述必须寻找反映微观粒子波粒二象性并能描述 其运动方程，这就是其运动方程，这就是薛定谔方程。薛定谔方程。薛定谔方程的解称为薛定谔方程的解称为波函数波函数 ，微观粒子，微观粒子 的运动状态则用波函数来描述。的运动状态则用波函数来描述。质点运动的描述质点运动的描述基本方程基本方程方程的解方程的解牛顿力学：牛顿力学：量子力学：量子力学：16.4 16.4 薛定谔方程及应用薛定谔方程及应用2一、波函数一、波函数经典力学经典力学：一维（机械波、电磁波）平面简谐行波：一维（机械波、电磁波）平面简谐行波：波波强度强度 I 这里用类比的方法，从物质波理论出发，先建立这里用类比的方法，从物质波理论出发，先建立波函数，然后再建立薛定谔方程。波函数，然后再建立薛定谔方程。也可以用复数形式表示也可以用复数形式表示 A23若是三维自由运动的粒子：若是三维自由运动的粒子：研究：一维自由运动的粒子研究：一维自由运动的粒子例如：例如：粒子不受外力作用，匀速沿粒子不受外力作用，匀速沿X轴方向运动。轴方向运动。若能量为若能量为 E，动量为动量为 P，与运动对应的物质波：与运动对应的物质波：则：则：一维自由运动粒子的波函数一维自由运动粒子的波函数则：则：物质波的强度物质波的强度=41.1.波函数的物理意义：波函数的物理意义：由于某时刻粒子在空间某位置出现的几率与波的强度成由于某时刻粒子在空间某位置出现的几率与波的强度成正比，所以在正比，所以在 t 时刻（时刻（x y z）位置的体积元位置的体积元 dV=dxdydz 内出现的几率内出现的几率：表示某时刻粒子在某一位置表示某时刻粒子在某一位置单位体积内单位体积内出现的出现的几率几率。几率密度几率密度2.2.归一化条件归一化条件:由于某一时刻在整个空间内粒子出现的几率是由于某一时刻在整个空间内粒子出现的几率是1。对于波函数本身无直接的物理意义。对于波函数本身无直接的物理意义。53.3.标准化条件标准化条件连续连续某时刻粒子在某位置出现的几率是一定的，某时刻粒子在某位置出现的几率是一定的，它不能是这个值，又是那个值。它不能是这个值，又是那个值。某时刻粒子在某位置出现的几率是有限的不可某时刻粒子在某位置出现的几率是有限的不可能无限大。能无限大。由于粒子出现的几率分布，不可能在某一点由于粒子出现的几率分布，不可能在某一点发生突变。发生突变。单值单值 有界有界 要使波函数具有意义，则波函数必须满足要使波函数具有意义，则波函数必须满足:二二.薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程最初用类比方法推得，过程比较繁琐。薛定谔方程最初用类比方法推得，过程比较繁琐。现在我们用逆推法来建立薛定谔方程，简捷方便。现在我们用逆推法来建立薛定谔方程，简捷方便。(解决解决低速情况低速情况的的微观粒子微观粒子运动问题运动问题)6(1)(1)一维自由粒子的薛定谔方程一维自由粒子的薛定谔方程1.1.薛定谔方程薛定谔方程的一般形式的一般形式一维一维自由自由粒子的薛定谔方程粒子的薛定谔方程一维自由粒子的波函数：一维自由粒子的波函数：7(2)(2)一维势场一维势场U(xU(x，t)t)中运动的非自由粒子的薛定谔方程中运动的非自由粒子的薛定谔方程E=Ek+U=P2/2m+U三维三维:一维势场中粒子的薛定谔方程一维势场中粒子的薛定谔方程称为称为薛定谔方程薛定谔方程的一般形式的一般形式哈密顿算符哈密顿算符得得82.2.定态定态薛定谔方程薛定谔方程即势能不随时间改变即势能不随时间改变代入薛定谔方程，并整理可得代入薛定谔方程，并整理可得则波函数可以分离变量则波函数可以分离变量等式的左边是时间的函数，右边是空间的函数；等式的左边是时间的函数，右边是空间的函数；只能等于一个与时间和空间都无关的常数只能等于一个与时间和空间都无关的常数 E。9薛定谔方程的解可以写成如下的形式：薛定谔方程的解可以写成如下的形式：左边左边方程的解为：方程的解为：E 为系统的能量为系统的能量右边右边称为称为定态薛定谔方程定态薛定谔方程方程解方程解称定态波函数，与称定态波函数，与 t 无关。无关。一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程103.3.量子力学处理微观粒子的方法量子力学处理微观粒子的方法 已知粒子的质量已知粒子的质量 m 及势能及势能 U(x)的具体形式的具体形式,可建立薛定谔方程。可建立薛定谔方程。解薛定谔方程，利用波函数满足的标准条件、归一解薛定谔方程，利用波函数满足的标准条件、归一化条件化条件 波函数模的平方：波函数模的平方：几率密度几率密度薛定谔方程的解薛定谔方程的解求出求出波函数波函数 确定确定11三三.薛定谔方程的应用（一维无限深势阱）薛定谔方程的应用（一维无限深势阱）U=0（0 xa）U=（其他）（其他）势势阱阱无无限限深深势势能能（1）U 与与t 无关，为定态问题的薛定谔方程：无关，为定态问题的薛定谔方程：1=0 3=00 x设设:质量为质量为m的粒子的粒子,只能在只能在 范围内自由运动。范围内自由运动。理想模型：理想模型：实际意义：金属中的自由电子。实际意义：金属中的自由电子。12（2）解方程：）解方程：由由波函数的连续性：波函数的连续性：通解通解若：若：无无意义。意义。令：令：1=0 3=00 x13即：即：由由归一化条件：归一化条件：解得：解得：薛定谔方程的解：薛定谔方程的解：（3）波函数模的平方：）波函数模的平方：14（4）能量：）能量：能量是量子化的！能量是量子化的！令令基态能量基态能量 能量只能取一些分立值能量只能取一些分立值得得15说明：说明：（1）束缚态的能量是量子化的，是不连续的；）束缚态的能量是量子化的，是不连续的；（2）基态能量）基态能量（3）能级分布：）能级分布：能级间隔与能量值比较，能级近似连续。能级间隔与能量值比较，能级近似连续。时上式时上式16（4）几率分布）几率分布时时时时时时17时时粒子的空间分布近似相等粒子的空间分布近似相等18例题例题1：在一维无限深势阱中，求在一维无限深势阱中，求 n=3 对应对应(x)时发现时发现 粒子几率最大的位置？粒子几率最大的位置？解：解：最大的位置，发现粒子的几率最大。最大的位置，发现粒子的几率最大。19例题例题2：已知：已知：解：解：即：即：20小结：小结：1、波函数、波函数微观粒子运动状态的描述；微观粒子运动状态的描述；2、波函数的物理意义、波函数的物理意义 波函数模的平方为粒子出现的几率；波函数模的平方为粒子出现的几率；3、波函数的归一化条件：、波函数的归一化条件：4、波函数的标准化条件：单值、有限、连续、波函数的标准化条件：单值、有限、连续5、一维自由粒子的波函数、一维自由粒子的波函数几率几率217、一维无限深势阱的波函数、一维无限深势阱的波函数6、一维自由粒子的薛定谔方程、一维自由粒子的薛定谔方程8、一维无限深势阱中粒子的能级；、一维无限深势阱中粒子的能级；22