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第七章 微分方程本讲稿第一页，共三十七页1 引言引言常微分方程复习：一般的，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程叫做微分方程。微分方程的解就是一个未知函数，将该未知函数代入微分方程中，能使方程成为恒等。一阶一阶常微分方程的常微分方程的初值问题初值问题 Initial-Value Problem 该微分方程的特解y(x)为一条曲线，称为微分方程的积分曲线。本讲稿第二页，共三十七页 考虑考虑一阶一阶常微分方程的常微分方程的初值问题初值问题/*Initial-Value Problem*/:只要只要 f(x,y)在在a,b R1 上连续，且关于上连续，且关于 y 满足满足 Lipschitz 条条件件，即存在与，即存在与 x,y 无关的常数无关的常数 L 使使对任意定义在对任意定义在 a,b 上的上的(x,y1)和和(x,y2)都成立，则上述都成立，则上述IVP存在唯一解存在唯一解y=y(x)。要计算出解函数要计算出解函数 y(x)在一系列节点在一系列节点 a=x0 x14，虽然计算f的次数增加，但是方法阶数不一定增加。因此四级四阶R-K公式是应用最为广泛的公式。本讲稿第二十四页，共三十七页绝对稳定性与绝对稳定域求解初值问题的数值方法，当给定不同步长计算时结果的舍入误差影响差别很大，如果舍入误差不增长算法就是数值稳定的，若舍入误差增长很快算法就不稳定。定义定义：用一个数值方法求解微分方程 y=y 是复数 (1.5)对给定的步长h,在计算yn时引起的误差n，若这个误差在计算后面的yn+k中所引起的误差n+k满足:|n+k|n|(k=1,2,)就说这个数值方法对步长h和复数是绝对稳定的,使得数值方法是绝对稳定的 H=h 在复平面上的允许范围称为数值方法的绝对稳定域.实验方程实验方程本讲稿第二十五页，共三十七页v特特拉拉法法加加尔尔（Trafalgar）海海战战和和纳尔森（纳尔森（Nelson）秘诀）秘诀 19世世纪纪中中叶叶，法法国国拿拿破破伦伦统统帅帅大大军军要要与与英英国国争争夺夺海海上上霸霸主主地地位位，而而实实施施这这一一战战略略的的最最主主要要的的关关键键是是消消灭灭英英国国的的舰舰队队。英英国国海海军军统统帅帅、海海军军中中将将纳尔森亲自制定了周密的战术方案。纳尔森亲自制定了周密的战术方案。本讲稿第二十六页，共三十七页1805年年10月月21日，这场海上大战爆发了。日，这场海上大战爆发了。英国是纳尔森亲自统帅的地中海舰队，英国是纳尔森亲自统帅的地中海舰队，由由27艘战舰组成；另外一方是由费伦纽艘战舰组成；另外一方是由费伦纽夫（夫（Villenuve）率领的法国）率领的法国西班牙西班牙联合舰队，共有联合舰队，共有33艘战舰。艘战舰。Trafalgar大大海战的概况是：费伦纽夫（海战的概况是：费伦纽夫（Villenuve）率领的法国率领的法国西班牙联合舰队采用常西班牙联合舰队采用常规的一字横列，以利炮火充分展开，而规的一字横列，以利炮火充分展开，而纳尔森的战术使费伦纽夫大出意外。纳尔森的战术使费伦纽夫大出意外。本讲稿第二十七页，共三十七页英英国国的的舰舰队队分分成成两两个个纵纵列列：前前卫卫上上风风纵纵列列由由12艘艘战战舰舰组组成成，由由纳纳尔尔森森亲亲自自指指挥挥，拦拦腰腰将将法法国国西西班班牙牙联联合合舰舰队队切切为为两两段段；后后卫卫下下风风 纵纵 列列 由由 英英 国国 海海 军军 中中 将将 科科 林林 伍伍 德德(Collingwood)指指挥挥，由由15艘艘战战舰舰组组成成。在在一一场场海海战战后后，法法国国西西班班牙牙联联合合舰舰队队以以惨惨败败告告终终：联联合合舰舰队队司司令令费费伦伦纽纽夫夫连连同同12艘艘战战舰舰被被俘俘，8艘艘沉沉没没，仅仅13艘艘逃逃走走，人人员员伤伤亡亡7000人人。而而英英国国战战舰舰没没有有沉沉没没，人人员员伤伤亡亡1663人，但是，作为统帅的纳尔森阵亡。人，但是，作为统帅的纳尔森阵亡。本讲稿第二十八页，共三十七页秘秘密密备备忘忘录录中中的的纳纳尔尔森森（Nelson）秘秘诀：诀：预期参加战斗的英国舰队：预期参加战斗的英国舰队：40艘。艘。法国法国西班牙联合舰队：西班牙联合舰队：46艘。艘。预计联合舰队战斗队形一字横列。预计联合舰队战斗队形一字横列。英英国国舰舰队队的的战战斗斗队队形形与与任任务务：分分成成两两个主纵列及一个小纵列。个主纵列及一个小纵列。本讲稿第二十九页，共三十七页主主纵纵列列1：16艘艘，由由纳纳尔尔森森亲亲自自指指挥挥，拦拦腰腰将将法法国国西西班班牙牙联联合合舰舰队队切切为为两两段段，并并攻攻击击联联合合舰舰队队的的中中间部分。间部分。主主纵纵列列2：16艘艘，由由英英国国海海军军中中将将科科林林伍伍德德指指挥挥，从从联联合合舰舰队队后后半半部部再切断，分割并攻击后部再切断，分割并攻击后部12艘。艘。小小纵纵列列：8艘艘，在在中中心心部部分分附附近近攻攻击击其其先头部分的先头部分的3-4艘。艘。本讲稿第三十页，共三十七页v兰兰彻彻斯斯特特（F.W.Lanchester）作作战分析战分析 兰兰彻彻斯斯特特方方程程：设设两两军军对对抗抗中中一一方方有有x 个个战战斗斗单单位位（战战舰舰、战战车车、战战机机、步步兵兵单单位位等等），另另外外一一方方有有y个个战战斗斗单单位位。基基本本假假设设：每每一一方方战战斗斗单单位位的的损损失失率率与与对对方方战战斗斗单单位位的的数数量量成成正比。正比。本讲稿第三十一页，共三十七页于于是是，双双方方战战斗斗损损失失的的微微分分方方程程为：为：dy/dt=-ax,dx/dt=-by.其其中中，a0与与b0 表表示示双双方方的的平平均均战斗力。战斗力。因此可以得到：因此可以得到：ax2=by2上式称为兰彻斯特上式称为兰彻斯特N2定律。定律。本讲稿第三十二页，共三十七页本讲稿第三十三页，共三十七页用用兰兰彻彻斯斯特特N2定定律律可可以以对对“纳纳尔尔森森（Nelson）秘诀）秘诀”进行分析：进行分析：整体战斗实力。整体战斗实力。设双方单个战斗单位的战斗力相设双方单个战斗单位的战斗力相同，则有：同，则有：英国舰队：英国舰队：402=1600联合舰队：联合舰队：462=2116此时联合舰队占优势，设想联合此时联合舰队占优势，设想联合舰队全歼英国舰队后，联合舰队舰队全歼英国舰队后，联合舰队还有还有5165161/21/2=23=23艘。艘。本讲稿第三十四页，共三十七页 将将联联合合舰舰队队拦拦腰腰切切断断，23+23=46，是是将将联联合合舰舰队队实实力力减减弱弱的的最最小小分分割割法法。此此时时，联联合合舰舰队队的的实实力力为：为：232+232=1058而英国舰队的实力为：而英国舰队的实力为：（16+16）2+82=1088，已略占有优势。已略占有优势。本讲稿第三十五页，共三十七页 在在英英国国舰舰队队两两个个主主纵纵列列共共32艘艘，攻攻击击联联合合舰舰队队的的后后一一半半23艘艘，此此时，时，英国舰队实力：英国舰队实力：（16+16）2=322=1064联合舰队的实力为：联合舰队的实力为：232 =529本讲稿第三十六页，共三十七页英英国国舰舰队队已已占占有有优优势势。在在全全歼歼联联合合舰舰队队后后部部后后，英英国国舰舰队队两两个个主主纵纵列列还可以保留：还可以保留：（1064-529）1/2 1/2 =5165161/21/2=23=23艘艘，再再与与小小纵纵列列中中舰舰队队联联合合对对联联合合舰舰队队前前部部作作战战还还占占有有优优势势。即即在在最最坏坏情情况况下下，“纳纳尔尔森森（Nelson）秘秘诀诀”也也可可以使英国舰队获得胜利。以使英国舰队获得胜利。本讲稿第三十七页，共三十七页