D116一致收敛同济大学高等数学上课件.pptx
一、函数项级数的一致收敛一、函数项级数的一致收敛性性幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点.例如,级数每项在 0,1 上都连续,其前 n 项之和为和函数该和函数在 x1 间断.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共30页因为对任意 x 都有:所以它的收敛域为(,+),但逐项求导后的级数 其一般项不趋于0,所以对任意 x 都发散.又如,函数项级数问题:对什么样的函数项级数才有:逐项连续 和函数连续;逐项求导=和函数求导;逐项积分=和函数积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共30页定义定义.设 S(x)为 若对 都有一个只依赖于 的自然数 N,使 当n N 时,对区间 I 上的一切 x 都有则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x).在区间 I 上的和函数,任意给定的 0,显然,在区间 I 上 一致收敛于和函数S(x)部分和序列一致收敛于S(x)余项 一致收敛于 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共30页几何解释:(如图)当n N 时,曲线 总位于曲线之间.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共30页例例1.研究级数 在区间 0,+)上的收敛性.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共30页余项的绝对值:因此,任给 0,取自然数 则当n N 时有这说明级数在 0,+)上一致收敛于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共30页例例2.证明级数 在 0,1 上不一致收敛.证:取正数 对无论多么大的正数 N,因此级数在 0,1 上不一致收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共30页说明说明:对任意正数 r 0,欲使只要因此取只要即级数在 0,r 上一致收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共30页维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯(Weierstrass)判判别法别法 用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时,需求出 这往往比较困难.下面介绍一个较方便的判别法.若函数项级数在区间 I 上满足:则函数项级数 在区间 I 上一致收敛.简介 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共30页证证:由条件2),根据柯西审敛原理,当 n N 时,对任意正整数 p,都有 由条件1),对 x I,有故函数项级数 在区间 I 上一致收敛.证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共30页推论推论.若幂级数的收敛半径 R 0,则此级 数在(R,R)内任一闭区间 a,b 上一致收敛.证:则对 a,b 上的一切 x,都有 由阿贝尔定理(第三节定理1)级数 绝对收敛,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.说明:若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛 区间可包含此端点.证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共30页例例3.证明级数在(,+)上 一致收敛.证:而级数收敛,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在(,+)上 一致收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共30页说明说明:维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收 敛性,而且能判别其绝对收敛性.当不易观察到不等式可利用导数求例如,级数用求导法可得已知收敛,因此原级数在0,+)上一致收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共30页二、一致收敛级数的基本性二、一致收敛级数的基本性质质定理1.若级数 证:只需证明由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共30页因为级数一致收敛于S(x),使当 n N 时,有对这样选定的 n,从而必存在 0,从而得证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共30页说明说明:(1)定理1 表明,对一致收敛的级数,极限运算与无限 求和运算可交换,即有(2)若函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数 在区间 0,1 上处处收敛,而其和函数在 x=1 处不连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共30页定理定理2.若级数 则该级数在 a,b 上可逐项积分,且上式右端级数在 a,b 上也一致收敛.证:因为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共30页所以只需证明对任意 一致有 根据级数的一致收敛性,使当 n N 时,有于是,当 n N 时,对一切 有因此定理结论正确.证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共30页说明说明:若级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数 它的部分和 因此级数在 0,1 上收敛于 S(x)=0,所以但是为什么对级数定理结论不成立?分析它是否满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共30页定理2 条件.级数的余项 可见级数在 0,1 上不一致收敛,此即定理2 结论 对级数不成立的原因.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共30页定理定理3.若级数 且可逐项求导,即 证:先证可逐项求导.根据定理2,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共30页上式两边对 x 求导,得 再证根据定理 2,而机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共30页所以级数一致收敛并不保证可以逐项求导.例如,例3中的级数说明说明:在任意区间上都一致收敛,但求导后的级数 其一般项不趋于 0,所以对任意 x 都发散.证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共30页例例4.证明函数 对任意 x 有连续导数.解:显然所给级数对任意 x 都收敛,且每项都有连续导数,而逐项求导后的级数 故级数在(,+)上一致收敛,故由定理3可知 再由定理1可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共30页定理定理4.若幂级若幂级数数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即证:关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯 特拉斯判别法的推论及定理 1,2 立即可得.下面证明逐项可导的结论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共30页证证:则由比值审敛法知级数 故故存在 M 0,使得 由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共30页上一致收敛,故原级数内任一闭区间上满足定理3条件,从而可逐项求导,即知 再证级数 的收敛半径 由前面的证明可知 若将幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共30页级数的收敛半径不会缩小,因逐项积分所得 幂级数 (R,R)内有任意阶导数,且有 其收敛半径都为 R.推论推论.的和函数 S(x)在收敛区间 证毕作业P237 1;3(2);4(2),(4),(5)第七节 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共30页感谢您的欣赏！第30页/共30页
