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2023/4/13第七节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程 第四章第四章 第2页/共48页2023/4/13一、二阶常系数齐次线性微分方程1 1、定义n阶常系数阶常系数线性微分方程的线性微分方程的标准形式标准形式二阶常系数齐次二阶常系数齐次线性微分方程的线性微分方程的标准形式标准形式二阶常系数非齐次二阶常系数非齐次线性微分方程的线性微分方程的标准形式标准形式 其中 p,q 为常数第3页/共48页2023/4/132、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入(1),得故有为为(1)的特征方程的特征方程特征根Euler指数法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.第4页/共48页2023/4/13(1)(1)特征方程特征方程有有两个不相等两个不相等的实根的实根两个线性无关的特解为:得齐次方程的通解为特征根为根据 p2-4q 的值，可分三种情况：第5页/共48页2023/4/13(2)(2)特征方程特征方程有有两个相等两个相等的实根的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为？第6页/共48页2023/4/13(3)(3)特征方程特征方程有有一对共轭复根一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为第7页/共48页2023/4/13 二阶常系数齐次方程 求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程:(2)求出特征根:(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解.v 特征根的情况 通解的表达式 实根21rr 实根21rr=复根b b a air=2,1xrxreCeCy2121+=xrexCCy2)(21+=)sincos(21xCxCeyxb bb ba a+=第8页/共48页2023/4/13解解特征方程为例例1 1解得故所求通解为解解特征方程为例例2 2解得故所求通解为第9页/共48页2023/4/13解解特征方程为解得故所求通解为例例3 3第10页/共48页2023/4/13特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法(参见参见书书P296)第17页/共48页2023/4/13解解特征方程为解得故所求通解为例例1 1第18页/共48页2023/4/13解解特征方程为解得故所求通解为例例2 2第19页/共48页2023/4/13二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式由线性微分方程解的结构知:非齐次线性微分方程的通解 y=对应齐次线性微分方程的通解 Y +非齐次线性微分方程的一个特解 y*第21页/共48页2023/4/13二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构f(x)常见类型常见类型难点难点：如何求特解？方法方法：待定系数法.3.以上两种的混合型第22页/共48页2023/4/131 1、型设非齐次方程特解为代入原方程，得以下确定以下确定Q(x)的次数的次数回顾第23页/共48页2023/4/131 1、型设非齐次方程特解为代入原方程，得以下确定以下确定Q(x)的次数的次数方程两边必须是同次多项式则Q(x)与Pm(x)同次则Q(x)与Pm(x)同次第24页/共48页2023/4/13综上讨论综上讨论注意注意 上述结论可推广到 n 阶常系数 非齐次线性微分方程（k是重根次数）.其特解可设为：其特解可设为：则Q(x)与Pm(x)同次即 Q(x)m+2次 设第25页/共48页2023/4/13综上讨论综上讨论其特解可设为：其特解可设为：000特殊：例例1 1y=ax+bx()第26页/共48页2023/4/13例例1 1解解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为对应齐次方程为(技巧)第27页/共48页2023/4/13原方程的一个特解为故原方程的通解为特解为第28页/共48页2023/4/13由解得所以原方程满足初始条件的特解为第29页/共48页2023/4/132 2、型利用欧拉公式利用欧拉公式由由情形情形1 1结果可设结果可设可借助情形1 的结论mmm第30页/共48页2023/4/13注意注意可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.解的叠加原理mm2 2、型(特殊情形特殊情形)实系数多项式第31页/共48页2023/4/13解解例例1 1特征方程特征根不是根第32页/共48页2023/4/13解解例例2 2 对应齐次方程为特征方程为对应齐次方程通解为特征根第33页/共48页2023/4/13第34页/共48页2023/4/13例例3 3解解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为混合型第37页/共48页2023/4/13由解得第38页/共48页2023/4/13故原方程的通解为由即第39页/共48页2023/4/13例例4 4解解(1)由题设可得：解此方程组，得第40页/共48页2023/4/13(2)原方程为由解的结构定理得方程的通解为第41页/共48页2023/4/13例例5 5第42页/共48页2023/4/13感谢您的欣赏！第48页/共48页
