D672二重积分的计算.pptx
同样,曲顶柱体的底为记作 二重积分二次积分(累次积分)曲顶柱体体积也可按如下计算第1页/共42页在D上连续,则二、利用直角坐标计算二重积二、利用直角坐标计算二重积分分D称为 X-型区域：过D内部且平行于y轴的直线与D的边界最多交于两点。积分区域D为第2页/共42页在D上连续,积分区域D为则D为 Y-型区域：过D内部且平行于x轴的直线与D的边界最多交于两点。第3页/共42页说明说明:为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分区域既是 X-型区域又是Y-型区域,(1)二重积分要根据积分区域的特点，来计算。化为两次积分第4页/共42页(3)若积分域较复杂,X-型域或Y-型域,则(4)设如果 分别在 a,b 和 c,d 上可积，则 在 D上可积，且可将它分成若干第5页/共42页例例1.计算计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.例2.计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.及直线第6页/共42页例例1.计算计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解法1.将D看作X-型区域,则解法2.将D看作Y-型区域,则第7页/共42页例例2.计算计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,将D看作Y-型区域及直线则 第8页/共42页例例3.计算计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解:因此取D 为X-型域:说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.因为取D 为Y-型域 无法计算，第9页/共42页解解积分区域如图积分区域如图 例4.第10页/共42页解解积分区域如图积分区域如图 例5.第11页/共42页解解 例6.第12页/共42页 P266 31(3)(4)(6)(7)(8)；32(3)(4)(5)；第二节 作业作业第13页/共42页1.二重积分的极坐标形式二重积分的极坐标形式以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。用射线，及同心圆分划区域D。假设从极点O出发的直线与区域D的边界至多交于两点。小区域的面积为三、利用极坐标计算二重积分第14页/共42页即极坐标下的面积元素为d对应有在内取点于是根据二重积分的定义，有第15页/共42页当被积函数用极坐标变量表示简单。考虑用极坐标计算二重积分：例如：被积函数含有x2+y2 项，积分区域D为 圆域，环域，扇形区域。积分区域D 的边界用极坐标表示更方便；第16页/共42页设设则对2.二重积分的极坐标计算第17页/共42页对若 f 1 则可求得D 的面积与定积分计算面积一致.第18页/共42页例1 下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试解:问 r,的变化范围是什么?(1)(2)(1)(2)第19页/共42页例例2 已知积分区域已知积分区域D是是由由解:积分域如图围成，则在极坐标下的二次积分？第20页/共42页例例3 求求其中区域 D 是由解:在极坐标系下原式=故围成的。D第21页/共42页例例4 计算计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.第22页/共42页注注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式又解一：第23页/共42页解解解二：第24页/共42页第25页/共42页第26页/共42页解解例5.第27页/共42页内容小结内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:若积分区域为则 若积分区域为则第28页/共42页则极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为若积分区域为第29页/共42页在有界闭区域D上连续,(1)域D 关于x 轴对称,二重积分关于对称性的应用(2)域D 关于y 轴对称,第30页/共42页例例.计算计算其中D 由所围成.解:令(如图所示)显然,第33页/共42页 P267 32(3)(4)(5)；33(1)(3)(5)；第二节 作业作业 下节课习题课，做课后习题(A)(B);复习第五、六章内容，5月8日(周3)进行期中考试。第34页/共42页补充：利用二重积分求立体体积补充：利用二重积分求立体体积其上下顶面分别是曲面则该立方体的体积等于区域D上以曲面为顶的曲顶柱体积D上以曲面减去区域D为顶的曲顶柱体积。即交线投影根据二重积分的几何意义，我们可以利用二重积分计算立体体积。如图，空间内一立方体。第35页/共42页D关键：分析得到积分区域 D 的表达式积分区域D是由两个曲面交线在xOy面上的投影曲线所围成。曲面交线：在xOy面上的投影曲线：第36页/共42页例 求曲面和所围成的有界体的体积。解：两旋转抛物面的交线为其在xOy面上的投影为所以在xOy面上积分区域用极坐标表示为即xOy面上的圆第37页/共42页第38页/共42页例例.求球体求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知圆的极坐标方程为曲顶柱体的顶为第39页/共42页例例.求由曲面求由曲面所围立体的体积。解:圆柱体积V1立体的体积可以看成是 于是减去曲顶柱体体积V2V2的底是区域V2的顶是体积也可以直接由求得。也可用定积分求旋转体体积。第40页/共42页例例 交换积分顺序交换积分顺序解:积分域如图第41页/共42页感谢您的欣赏！第42页/共42页
