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第三章演示文稿本讲稿第一页，共五十七页 3-1 电路的电路的图图电路图电路图F(figure)电路的电路的图图G(graph)确定支路内容确定支路内容;支路用一线段表示支路用一线段表示;结点用结点用 表示表示拓扑图拓扑图 R1R2R3R4R5R6 us6 us3is5本讲稿第三页，共五十七页例例:j选取一个元件作为一条支路选取一个元件作为一条支路 则有则有9条支路条支路,6个结点个结点G1R1R2R3R4R5R6 us6 us3is5本讲稿第四页，共五十七页k选取选取(R3,us3)为一条支路为一条支路 选取选取(R5,is5)为一条支路为一条支路 选取选取(R6,us6)为一条支路为一条支路 其余电阻各为一条支路其余电阻各为一条支路 则有则有6条支路条支路,4个结点。个结点。G2支路内容不同支路内容不同,得到不同的图得到不同的图R1R2R3R4R5R6 us6 us3is5本讲稿第五页，共五十七页约定：约定：2.移去支路可保留结点，允许孤立结点存在。（注意与移去支路可保留结点，允许孤立结点存在。（注意与实体电路的差异）。实体电路的差异）。1.移去结点同时移去相关支路，支路必须终端在结点上。移去结点同时移去相关支路，支路必须终端在结点上。图的定义：图的定义：拓扑图拓扑图G是结点与支路的集合（顶点与边的集合）是结点与支路的集合（顶点与边的集合）有向图有向图：指定了每条支指定了每条支路方向的图路方向的图G。（支路。（支路的方向即为电路中相应的方向即为电路中相应支路的电流方向支路的电流方向,且且u与与i 为关联参考方向）为关联参考方向）例如例如本讲稿第六页，共五十七页连通图连通图:G的任意二结点之间至少存在一条路径的任意二结点之间至少存在一条路径回路回路:G的闭合路径，但除起点和终的闭合路径，但除起点和终 点外，经过的其他结点都相异点外，经过的其他结点都相异 不是连通不是连通图的例子图的例子回路不包围任何支路回路不包围任何支路,称为称为网孔网孔。本讲稿第七页，共五十七页树树:图图G的一个连通子图的一个连通子图,用用T表示。表示。例例:含含G的全部结点的全部结点;不含回路不含回路 T包含回路包含回路不连通不连通324321243G123456本讲稿第八页，共五十七页选树选树T如图如图 连通图连通图G(n,b),任一树的树支数任一树的树支数=n 1，连支数连支数=b(n 1).连支连支：不属于不属于T的支路的支路156，则支路，则支路2,3,4为树支为树支如支路如支路1,5,6树支树支：图图G中构成树中构成树T的支路的支路G123456T324本讲稿第九页，共五十七页3-2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数一般地一般地：n n个结点的电路只能有个结点的电路只能有n-1n-1个独立的个独立的KCL方程。方程。1.KCL的独立方程数的独立方程数:方程的特点方程的特点:每一支路电流只出现在两个方程中每一支路电流只出现在两个方程中,且一次且一次 为正为正,一次为负。一次为负。4个方程相加，结果为零，这表明个方程相加，结果为零，这表明4 个方程不是相互独立。个方程不是相互独立。可以证明，独立方程数是可以证明，独立方程数是3。G123456本讲稿第十页，共五十七页2.KVL方程的独立数方程的独立数 问问题题1：一一个个图图G(n,b)可可以以有有很很多多回回路路，因因此此可可以以写写出出很很多多KVL方方程程。独立的方程数是多少独立的方程数是多少？回路回路1（1,2,3）回路回路2（3,4,5）回路回路3（1,2,4,5）回路回路1+回路回路2=回路回路3独立的回路数是多少独立的回路数是多少？123456本讲稿第十一页，共五十七页独立回路的充分条件：独立回路的充分条件：每选一个新回路，至少含有一条其它回路每选一个新回路，至少含有一条其它回路没有的新支路。没有的新支路。问题问题2:如何选取一组独立回路如何选取一组独立回路?回路回路1（1,2,3）回路回路3（2,4,6）回路回路2（1,2,4,5）所以所以,选取的选取的3 3个回路相互独立个回路相互独立经验方法经验方法 123456本讲稿第十二页，共五十七页单连支回路单连支回路(基本回路基本回路):仅含一个连支其余为树支的回路。仅含一个连支其余为树支的回路。单连支回路一定独立。单连支回路一定独立。（每个回路都含新支路）（每个回路都含新支路）l个单连支回路构成基本回路组，所以个单连支回路构成基本回路组，所以:KVL的独立方程数的独立方程数=电路的独立回路数电路的独立回路数 l=b-n+1单连支回路的选取方法单连支回路的选取方法:选定一个树选定一个树 逐条加入连支逐条加入连支,加入一条连支加入一条连支,形成一个只含该连支形成一个只含该连支 且其余支路均为树支的回路。这样，共形成且其余支路均为树支的回路。这样，共形成l 个独立回路个独立回路选取独立回路的系统方法选取独立回路的系统方法 单连支回路的选取方法单连支回路的选取方法本讲稿第十三页，共五十七页312例：选例：选定一个定一个树树T 如如图：图：加加入入支支路路1 1这这条条连连支支形形成回路成回路（1,2,3）加加入入支支路路4 4这这条条连连支支形成回路形成回路（3,4,5）加加入入支支路路6这这条条连连支支形形成成回路回路（2,3,5,6）G1234562353542356本讲稿第十四页，共五十七页对于平面电路对于平面电路,它的网孔就是一组独立回路它的网孔就是一组独立回路 是平面电路是平面电路平面电路：平面电路：可画入一个平面而不发生支路交叉的电路。可画入一个平面而不发生支路交叉的电路。非平面电路：非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。总有支路相互交叉总有支路相互交叉是非平面电路是非平面电路本讲稿第十五页，共五十七页网孔：网孔：平面图的一个自然的平面图的一个自然的“孔孔”，它限定的区域内不再有支路。，它限定的区域内不再有支路。独立方程数独立方程数:KCL:n-1 KVL:b-n+1 共共b b个方程数个方程数结论结论:例例:b=8，n=5，l=b n+1,网孔数网孔数4 1432本讲稿第十六页，共五十七页3.3 支路电流法支路电流法(branch current method)举例说明：举例说明：支路电流法支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。法。u1=R1i1，u4=R4i4，u2=R2i2，u5=R5i5，u3=R3i3，u6=uS+R6i6(1)(i)确定支路确定支路,则则 b=6,n=4;写出支路方程写出支路方程:标定各支路电流参考方向标定各支路电流参考方向,并取支路并取支路电压的参考向与支路电流的为关联参电压的参考向与支路电流的为关联参考方向考方向;u6R3i1R1R2R4R5i2i3i4i51234+R6i6uS本讲稿第十七页，共五十七页 出为正，进为负出为正，进为负(2)结点结点 ：i1+i2 i6=0结点结点 ：i2+i3+i4=0结点结点 ：i4 i5+i6=0(ii)选取结点选取结点为参考结点，对其余结为参考结点，对其余结 点，根据点，根据KCL列写方程列写方程:u6R3i1R1R2R4R5i2i3i4i51234+R6i6uS本讲稿第十八页，共五十七页(iii)选选定定l=b-n+1个个独独立立回回路路，根根据据KVL，列写回路电压方程，列写回路电压方程:回路回路1：u1+u2+u3=0(3)回路回路3：u1+u5+u6=0回路回路2：u3+u4 u5=0将将(1)式代入（式代入（3）得：）得：R1 i1+R2 i2+R3 i3=0R3 i3+R4 i4 R5 i5=0 R1 i1+R5 i5+R6 i6 uS=0（4）u1=R1i1，u4=R4i4，u2=R2i2，u5=R5i5，u3=R3i3，u6=uS+R6i6(1)u6R3i1R1R2R4R5i2i3i4i51234+R6i6uS321本讲稿第十九页，共五十七页 i1+i2 i6=0 i2+i3+i4=0 i4 i5+i6=0KCLR1 i1+R2 i2+R3 i3=0R3 i3+R4 i4 R5 i5=0 R1 i1+R5 i5+R6 i6 uS=0KVL将（将（2）式和）式和(4)式联立得到支路电流方程。式联立得到支路电流方程。解得支路电流后，再返代入（解得支路电流后，再返代入（1）式中，即可解得支路电压。）式中，即可解得支路电压。本讲稿第二十页，共五十七页讨论讨论:方程方程(4)可写为如下方程可写为如下方程(5)的一般形式的一般形式:回路中：回路中：若若 ik 的方向与回路方向一致的方向与回路方向一致,则则Rk、ik 前取前取“+”号号,反之取反之取“”号号;若若usk的方向与回路方向一致的方向与回路方向一致,usk 前取前取“”,反之取反之取“+”号。号。回路中电阻电压的代数和回路中电阻电压的代数和 回路中电压源电压回路中电压源电压 的代数和的代数和(5)本讲稿第二十一页，共五十七页支路法的一般步骤支路法的一般步骤：(1)标定各支路电流（电压）的参考方向；标定各支路电流（电压）的参考方向；(2)选定选定(n1)个个结结点点，列写其，列写其KCL方程；方程；(3)选定选定b(n1)个独立回路，列写其个独立回路，列写其KVL方程方程(直接写直接写成方程（成方程（5）的形式）的形式)；(4)求解上述方程，得到求解上述方程，得到b个支路电流；个支路电流；(5)进一步计算支路电压和进行其它分析。进一步计算支路电压和进行其它分析。支路法的特点支路法的特点：支支路路电电流流法法是是最最基基本本的的方方法法，在在方方程程数数目目不不多多的的情情况况下下可可以以使使用用。由由于于支支路路法法要要同同时时列列写写 KCL和和KVL方方程程，所所以以方方程程数较多，数较多，手工求解手工求解比较繁琐。比较繁琐。本讲稿第二十二页，共五十七页节点节点a：I1I2+I3=0 (1)n1=1个个KCL方程：方程：解解:(2)bn+1=2个个KVL方程方程(Rkik=Usk)：R2I2+R3I3=US2R1I1R2I2=US1US20.6I2+24I3=117 I1 0.6I2 =13 12例例1.US1=130V,US2=117V,R1=1,R2=0.6,R3=24。求各支路电求各支路电 流及各电压源发出的功率。流及各电压源发出的功率。+I1I3US1US2R1R2R3ba+I2(3)联立求解联立求解方程方程 ，即，即：I1 0.6I2=13 I1 I2+I3=00.6I2+24I3=117解之得解之得I1=10 AI3=5 AI2=5 A本讲稿第二十三页，共五十七页(4)功率分析：功率分析：PU S1发发=US1I1=130 10=1300 WPU S2发发=US2I2=117(5)=585 W验证功率守恒：验证功率守恒：PR 1吸吸=R1I12=100 WPR 2吸吸=R2I22=15 WPR 3吸吸=R3I32=600 WP发发=715 WP吸吸=715 WP发发=P吸吸本讲稿第二十四页，共五十七页b=5,n=3KCL方程：方程：-i1-i2+i3=0 (1)-i3+i4-i5=0 (2)R1 i1-R2i2 =uS (3)KVL方程：方程：解解:i5=iS (6)R4 i4u (5)R2 i2+R3i3+R4 i4=0 (4)R1 i1-R2i2 =uS (3)i5=iS (5)R2 i2+R3i3+R4 i4=0 (4)例例2.列写如图电路的支路电流方程。列写如图电路的支路电流方程。+ui1i3uSiSR1R2R3ba+i2i5i4cR4231本讲稿第二十五页，共五十七页解解:方程列写分两步：方程列写分两步：(1)先先将将受受控控源源看看作作独独立立源源 列方程；列方程；KCL方程：方程：-i1-i2+i3+i4=0 (1)-i3-i4+i5 i6=0 (2)例例3.列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。u2u2i1i3uS i1R1R2R3ba+i2i6i5uci4R4+R5+(2)将控制量用方程变量表将控制量用方程变量表示，并代入示，并代入(1)中所列的中所列的方程，消去中间变量。方程，消去中间变量。本讲稿第二十六页，共五十七页KVL方程：方程：R1i1-R2i2=uS (3)补充方程：补充方程：i6=i1 (7)u2=-R2i2 (8)1243注意：注意：写复杂电路方程时尤其要注意方程数必须等于变量数这一基本数写复杂电路方程时尤其要注意方程数必须等于变量数这一基本数学要求。学要求。R5i5=u (6)R3i3-R4i4=u2 (5)R2i2+R3i3+R5i5=0 (4)u2u2i1i3uS i1R1R2R3ba+i2i6i5uci4R4+R5+本讲稿第二十七页，共五十七页将方程将方程(8)代入方程代入方程(5),并整理得并整理得:R1i1-R2i2=uS (3)i1+i6=0 (6)R2i2+R3i3-R4i4=0 (5)R2i2+R3i3+R5i5=0 (4)-i1-i2+i3+i4=0 (1)-i3-i4+i5 i6=0 (2)本讲稿第二十八页，共五十七页说明：说明：1.网孔是特殊的回路，两种方程的列写规律相同。网孔是特殊的回路，两种方程的列写规律相同。2.网网孔孔电电流流法法只只适适用用于于平平面面电电路路，回回路路电电流流法法不不仅仅适适用用于于平面电路，也可用于非平面电路。平面电路，也可用于非平面电路。3.4 网孔电流法网孔电流法3.5 回路电流法回路电流法本讲稿第二十九页，共五十七页 回路电流回路电流：电路：电路G(n,b),选取选取l=b n+1个独立回路。假想每一个独立回路。假想每一回路中有一电流沿此回路流动，回路中有一电流沿此回路流动，该该电流称为回路电流电流称为回路电流回路电流的方向回路电流的方向：回路的绕行方向回路的绕行方向支路电流与回路电流的关系支路电流与回路电流的关系：支流电流是支流电流是相关相关回路电流的代数和。回路电流的代数和。1.回路电流回路电流如如 il1、il2i1=il1+il2，3.5 回路电流法回路电流法il2如上图所示电路中：如上图所示电路中：i2=-il1，i3=il2 回回路路电电流流是是在在回回路路中中闭闭合合的的，对对每每个个相相关关节节点点均均流流进进一一次次，流流出出一一次次，所所以以KCL自自动动满满足足。若若以以回回路路电电流流为为未未知知量量列列方方程程来来求求解解电电路路，省掉了省掉了(n-1)个个KCL方程方程。只需对回路列写。只需对回路列写KVL方程。方程。R3ai1i3uS1uS2 R1R2b+i2il1本讲稿第三十页，共五十七页 回路电流方程的建立回路电流方程的建立由由KVL,得得:回路回路1：R1 i1-R2i2=uS1-uS2 回路回路2：R1i1+R3 i3=uS1 代入代入 i1=il1+il2,i2=-il1,i3=il2,有有:选定选定l=b-n+1个回路，个回路，标明各回路电流标明各回路电流及方向。及方向。(1)R1(il1+il2)-R2(-il1)=uS1-uS2 R2(il1 +il2)+R3 il3=uS1(2)整理得整理得:(R1+R2)il1 +R1il2=uS1-uS2R1 il1 +(R1+R3)il2=uS1(3)il22.回路电流法回路电流法 以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法 R3ai1i3uS1uS2 R1R2b+i2il1本讲稿第三十一页，共五十七页R11=R1+R2 R22=R1+R3 R12=R21=R1 当两个回路电流流过互电阻时方向相同，互电阻前取当两个回路电流流过互电阻时方向相同，互电阻前取“+”“+”号；否则号；否则为为“”号。号。uS11=uS1-uS2 当当电电压压源源电电压压方方向向与与该该回回路路方方向向一一致致时时,该该电电压压前前取取“-”“-”号号,反反之之取取“+”“+”号。号。回路电流回路电流方程的直观编写方程的直观编写(R1+R2)il1+R1il2=uS1-uS2R1il1+(R1+R3)il2=uS2写为线性方程的一般形式：写为线性方程的一般形式：R11il1 +R12 il2 =uS11 R21il1 +R22 il2 =uS22自自电电阻阻总总为为正正uS22=uS1:回路回路2 2中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。:为回路为回路1 1中所有电阻之和中所有电阻之和,称为回路称为回路1 1的自电阻；的自电阻；:为回路为回路2 2中所有电阻之和中所有电阻之和,称为回路称为回路2 2的自电阻；的自电阻；:回路回路1 1与回路与回路2 2之间的互电阻；之间的互电阻；:回路回路1 1中所有电压源电压的代数和；中所有电压源电压的代数和；R3i1i3uS1uS2R1R2+i2il1il2本讲稿第三十二页，共五十七页一般情况，对于具有一般情况，对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有个回路的电路，有其中其中:Rjk:回路回路 j与回路与回路k互电阻互电阻:+:流过互阻时两个回路电流方向相同；流过互阻时两个回路电流方向相同；-:流过互阻时两个回路电流方向相反；流过互阻时两个回路电流方向相反；二回路无公共支路时，互阻为二回路无公共支路时，互阻为0。不含受控源的线性网络不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。系数矩阵为对称阵。R11il1+R12il2+R1l ill=uS11 R21il1+R22il2+R2l ill=uS22Rl1il1+Rl2il2+Rllill =uSllRkk:回路回路k的自电阻的自电阻(为正为正),k=1,2,l本讲稿第三十三页，共五十七页回路法的一般步骤：回路法的一般步骤：(1)选定选定l=b-(n-1)个回路，标明回路电流及方向；个回路，标明回路电流及方向；(2)对对l个个回回路路，以以回回路路电电流流为为未未知知量量，列列写写出出回回路路电电流流方方程；程；(3)求解上述方程，得到求解上述方程，得到l个回路电流；个回路电流；(4)根据支路电流与回路电流的关系根据支路电流与回路电流的关系,求出支路电流。求出支路电流。本讲稿第三十四页，共五十七页例例 1.电路如图所示，用回路法求电路如图所示，用回路法求I。即：即：解得：解得：I1=7/3A,I2=2A，I=I1 I2=1/3A9I1 6I2=9 6I1+13I2=12 R11il1 +R12 il2 =uS11 R21il1 +R22 il2 =uS22 R11=3+6=9 R12=R21=6 uS11=9 V；uS22=12 V R22=3+4+6=13 12V+_+_9V3 3 6 4 I1I2I本讲稿第三十五页，共五十七页例例2.电路如图所示，用回路法求电路如图所示，用回路法求II+_9V3 3 6 4 3AI1I2解得：解得：I1=7/3A,I2=2AI=I1 I2=1/3A说明说明：对于电阻与电流源并联的电路，列写回路方程时，可以首先将对于电阻与电流源并联的电路，列写回路方程时，可以首先将其化成电阻与电压源的串联。熟练之后，可以不必进行转化。其化成电阻与电压源的串联。熟练之后，可以不必进行转化。12V+_+_9V3 3 6 4 I1I2解：解：9I1 6I2=9 6I1+13I2=12本讲稿第三十六页，共五十七页+_1V5 3 i24Ai1i36A2 i4il1il2il3例例3.电路如图所示，用回路法求各支路电流电路如图所示，用回路法求各支路电流i1i4。解：解：选回路如图选回路如图,对回路对回路1，2列方程：列方程：il2=4 2il1+5il2+10il3=1 il1=6 解得：解得：il3=3.1A所以：所以：i2=il1+il2+il3=6.9A,i3=i l2+il 3=0.9A,i4=il3=3.1A i1=il1+il3=6 3.1=2.9A,讨论讨论i:电路中含无伴电流源支路电路中含无伴电流源支路方法方法1 1）：只选取一个回路电流流过该无伴电流源支路）：只选取一个回路电流流过该无伴电流源支路本讲稿第三十七页，共五十七页例例4.电路如图所示，求回路电流电路如图所示，求回路电流 ia,ib,ic对回路对回路a,b,c 列方程：列方程：10ia 2ib=U 2ia+5ib 3ic=13ib+5ic=U ia ic=2解得：解得：ia=1/2A,ib=1/2A,ic=3/2A方法方法2）：）：将无伴电流源两端的电压作为未知量，再按一般情将无伴电流源两端的电压作为未知量，再按一般情 形列出回路电流方程，并根据电流源电流与相关回形列出回路电流方程，并根据电流源电流与相关回 路电流的关系列写出一个补充方程路电流的关系列写出一个补充方程。+_1V3 8 2A2 2+_UiaibiC本讲稿第三十八页，共五十七页例例5.电路如图所示，用回路法求电路如图所示，用回路法求iX 和和RL的关系。的关系。il2il1解：解：选回路如图选回路如图,则则 il13Ail1=3 回路回路1 1的方程不必列出，的方程不必列出，只对回路只对回路2 2、3 3列写方程：列写方程：4il1+27 il2 18il3=3i0 18il2+(18+RL)il3=0 12+24 i0 18iX=0 18i0+(18RL)iX =0解得：解得：讨论讨论ii:电路中含受控源支路电路中含受控源支路 方法方法：先将受控源看作独立源，按一般情形列写回路电流方程。先将受控源看作独立源，按一般情形列写回路电流方程。然后，将控制量用回路电流来表示，整理方程。然后，将控制量用回路电流来表示，整理方程。得：得：代入代入,il2=i0，il3=iX iX+_3i05 4 18 3ARLi0 il3本讲稿第三十九页，共五十七页解：解：选取独立回路如图选取独立回路如图4Ia-3Ib=2 -3Ia+6Ib-Ic=-3U2-Ib+3Ic=3U2 4Ia-3Ib=2-12Ia+15Ib-Ic=09Ia-10Ib+3Ic=0U2=3I2=3(Ib-Ia)Ia=1.19AIb=0.92AIc=-0.51AIaIbIc将将代入代入，得，得各支路电流为：各支路电流为：I1=Ia=1.19A,I2=Ia-Ib=0.27A,I3=Ib=0.92A,I4=Ib-Ic=1.43A,I5=Ic=0.52A.解得解得*由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。例例6.用回路法求图示电路的各支路电流。用回路法求图示电路的各支路电流。+2V 3 U2+3U21 2 1 2 I2I3I4I5_I1写出写出回路方程为：回路方程为：本讲稿第四十页，共五十七页 如：如：un3、un2、un13.6 结点电压法结点电压法(node voltage method)结点法：结点法：以以结点电压结点电压为变量为变量列写电路方程列写电路方程求解电路的方法。求解电路的方法。结点电压结点电压：选择一个结点作为选择一个结点作为参考结点，其余结点与参考结参考结点，其余结点与参考结点之间的电压称为结点电压。点之间的电压称为结点电压。结点电压的结点电压的方向方向均由结点指向参均由结点指向参考结点。考结点。un1un2un3 1.基本概念基本概念R1R2R3R4R5R6 us6 us3is5 0i1i3i2i4i5i6本讲稿第四十一页，共五十七页ii）支路联接在两个结点支路联接在两个结点 之间，则支路电压为之间，则支路电压为 相关二结点电压之差相关二结点电压之差；支路电压与支路电压与结点电压的关系结点电压的关系:支路电压为支路电压为相关相关结点电压之差。结点电压之差。i）支路的一端为参考结支路的一端为参考结点，则支路电压为结点点，则支路电压为结点电压或相差一个电压或相差一个“”号；号；如如：u1=un1 u3=un2 u5 =un3 如如：u2=un1 un2，u4=un2 un3，u6=un1 un3 123460un1un2un35支路背离结点的结点电压支路背离结点的结点电压减去指向结点的结点电压减去指向结点的结点电压本讲稿第四十二页，共五十七页由由KVL：ub+unj uni=0即：即：ub=uni unj uniubbji0 unj本讲稿第四十三页，共五十七页(b)对对n-1个独立结点列个独立结点列 写写KCL方程：方程：(a)选选定定参参考考节节点点，标标明明其其余余n-1个独立节点个独立节点2.结点电压方程结点电压方程举例说明：举例说明：i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3-i3-i4+i5=-iS3(1)(c)写出支路方程：写出支路方程：i1=u1/R1=un1/R1 i2=u2/R2=un1/R2 i3=u3/R3=(un1 un2)/R3 i4=u4/R4=(un1 un2)/R4 i5=u5/R5=un2/R5(2)12un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4本讲稿第四十四页，共五十七页(3)(d)将方程将方程(2)(2)代入方程代入方程(1)(1):整理方程整理方程(3)得：得：(4)本讲稿第四十五页，共五十七页令令 Gk=1/Rk，k=1 5，并，并将方程将方程(4)写为线性方程的一般形式：写为线性方程的一般形式：3.直接列写结点电压方程直接列写结点电压方程G11un1+G12un2=is11G21un1+G22un2=is22(5)(4)结点结点1 1、2 2的自电导的自电导 G11=G1+G2+G3+G4 G22=G3+G4+G5 G12=G21=-(-(G3+G4)：结点结点1 1与结点与结点2 2之间的互电导，为之间的互电导，为 联接在节点联接在节点1 1与节点与节点2 2之间所有支路之间所有支路的电导之和，并冠以负号。的电导之和，并冠以负号。iS11=iS1 iS2+iS3 ：流入节点流入节点1 1的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。iS22=iS3 ：流入节点流入节点2 2的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。*流入节点取正号，流出取负号。流入节点取正号，流出取负号。本讲稿第四十六页，共五十七页一般情况：一般情况：G11un1+G12un2+G1,n-1un,n-1=iS11G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iS22 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+Gn-1,n-1un,n-1=isn-1,n-1 其中其中Gii 结结点点i自自电电导导，等等于于接接在在节节点点i上上所所有有支支路路的的电电导导之之和和(包包括括电压源与电阻串联支路电压源与电阻串联支路)。总为总为正正。*当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。iSii 流入节点流入节点i的所有电流源电流的代数和的所有电流源电流的代数和(包括包括 由由电压源与电阻串联支路等效的电流源电压源与电阻串联支路等效的电流源)。Gij=Gji 结结点点i与与结结点点j之之间间互互电电导导，等等于于接接在在节节点点i与与节节点点j之之间的所支路的电导之和，并冠以间的所支路的电导之和，并冠以负负号。号。本讲稿第四十七页，共五十七页结点法的一般步骤：结点法的一般步骤：(1)选定参考结点，标定选定参考结点，标定n-1个独立节点；个独立节点；(2)对对n-1个个独独立立结结点点，以以结结点点电电压压为为未未知知量量，列列写写结结点点电压电压方程；方程；(3)求解上述方程，得到求解上述方程，得到n-1个结点电压；个结点电压；(5)其它分析。其它分析。(4)求各支路电流求各支路电流(用用结点电压结点电压表示表示)；本讲稿第四十八页，共五十七页其中其中 Gk=1/Rk (G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4)un2=G1 uS1-iS2+iS3-(G3+G4)un1+(G3+G4G5)un2=-iS3G11=G1+G2+G3+G4；G22=G3+G4+G5；G12=G21=-(-(G3+G4)iS11=G1uS1 iS2+iS3 ；iS22=iS3 讨论讨论:i)若电路中含电若电路中含电压源与电阻串联的支路压源与电阻串联的支路将该支路变换为电流源将该支路变换为电流源与电阻的并联组合与电阻的并联组合+-12un1un2uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R41G1uS1G1本讲稿第四十九页，共五十七页解：解：对结点对结点1列方程：列方程：解得解得:U=U1=7V;I1=2/3A,I2=-1/2A,I3=7 7/6AU1=7V,例例1.电路如图所示，用结点法求电路如图所示，用结点法求U,I1,I2,I3。8V _+_9V3 6 2 I3I2I1+_U1010_I3+3 6 2 4AUI1I23A本讲稿第五十页，共五十七页例例2.电路如图所示，用结点法求各支路电压。电路如图所示，用结点法求各支路电压。解：解：Un3=-2V对结点对结点1 1、2 2列结点方程：列结点方程：8 8Un1 12Un2 5Un3=0 2Un1+12Un2 6Un3=26讨论讨论:ii)电路中存在无伴电压源支路电路中存在无伴电压源支路 解得：解得：Un1 1-1 1V,Un2 21VU12Un1n1-Un2n2=-2V,U13Un1n1-Un3n3=1 1V,U23Un2 n2-Un3n3=3V方法方法1：若有一个无伴电压源，可选择无伴电压源中的一个端点作若有一个无伴电压源，可选择无伴电压源中的一个端点作为参考结点，则另一个端点的结点电压即为已知，这样就为参考结点，则另一个端点的结点电压即为已知，这样就可以少列一个方程。可以少列一个方程。12302V26A2S5S6S4S1S本讲稿第五十一页，共五十七页12308 8Un1 1-2Un2 5Un3=0解：解：Un2 21V,Un3-2V 解得：解得：Un1 1-1 1V 说明说明：若有两个或两个以上的无伴电压源具有一个共同的端点，此时可若有两个或两个以上的无伴电压源具有一个共同的端点，此时可选此共同端点作为参考结点，这些电源的另一个端点即为已知，选此共同端点作为参考结点，这些电源的另一个端点即为已知，可以不再列写这些结点方程。可以不再列写这些结点方程。例例3.电路如图所示，试列出其结点方程，电路如图所示，试列出其结点方程，并求各支路电压。并求各支路电压。2V1V2S5S6S1S结点结点1的方程为：的方程为：本讲稿第五十二页，共五十七页1230Un1 13 3V结点结点2：-2-2Un1 1+6Un2=26i结点结点3：-5Un1 1+13Un3=i补充方程：补充方程：Un3-Un2=2解得：解得：Un2=21/19VUn3=59/19V解：解：方法方法2：若有两个以上无伴电压源，它们没有共同的端点，此时只若有两个以上无伴电压源，它们没有共同的端点，此时只 能选择其中一个电压源的某一个端点作为参考点，并且设能选择其中一个电压源的某一个端点作为参考点，并且设 其它无伴电压源所在的支路电流为其它无伴电压源所在的支路电流为i，同时补充这些电压源，同时补充这些电压源 电压与其相连接的两个结点的结点电压的关系方程，以便电压与其相连接的两个结点的结点电压的关系方程，以便 使方程式数与未知数一致，使方程组有唯一解。使方程式数与未知数一致，使方程组有唯一解。例例4.电路如图所示，试列写其结点方电路如图所示，试列写其结点方 程，并求各支路电压。程，并求各支路电压。2V26A2S5S8S4S3ViU12=36/19V U13=-=-2/19V U23=-=-2VU10=3VU20=21/19VU30=59/19V本讲稿第五十三页，共五十七页讨论讨论:iii)电路中含受控源，处理方法与回路法相同。电路中含受控源，处理方法与回路法相同。例例5.电路如图电路如图,列写列写 电电 路的结点电压方程。路的结点电压方程。a.将受控源当作独立源将受控源当作独立源,列列写结点电压方程写结点电压方程:(G1+G2)un1 G1un2=is1 G1un1+(G1+G3)un2=gu2 is1b.代入代入u2=un1,并整理得：并整理得：(G1+G2)un1 G1un2=is1(G1+g)un1+(G1+G3)un2=is1 is10gu2 R1R2+u2 R3本讲稿第五十四页，共五十七页120解：解：G11=1/2+1/4 S G22=1/4+1/2 S G21=G21=1/4 S解得：解得：Un1=16V,Un2=8V.所以：所以：U0=Un1 Un2=8V说明说明：若电流源支路串联电阻，列结点方程时，电流源支路若电流源支路串联电阻，列结点方程时，电流源支路 中中的串联电阻不起作用，可移去。的串联电阻不起作用，可移去。例例6.电路如图所示，用结点法求电路如图所示，用结点法求U0 _12V+2 3 2 2AU04A4+_2 本讲稿第五十五页，共五十七页120解：解：解得：解得：u+例例7.电路如图所示，用结点电路如图所示，用结点 法求端口法求端口输入电阻。输入电阻。iun20.01 0.01 i10.05 3i1本讲稿第五十六页，共五十七页支路法、回路法和结点法的比较支路法、回路法和结点法的比较(2)对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立结点较容易。对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立结点较容易。支路法支路法回路法回路法结点法结点法KCL方程方程KVL方程方程n-1b-n+100n-1方程总数方程总数b-n+1n-1b-n+1b(1)方程数的比较方程数的比较本讲稿第五十七页，共五十七页