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热工控制系统第四章第三讲第1页，共30页，编辑于2022年，星期日第四节第四节 用根轨迹分析控制系统用根轨迹分析控制系统 我们知道，闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布，其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的零极点分布来间接地研究控制系统的性能。W.R.伊文思提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法根轨迹法。将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。利用根轨迹法，可以：q 分析系统的性能q 确定系统的结构和参数q 校正装置的综合4.1 4.1 概述概述第2页，共30页，编辑于2022年，星期日4.2 4.2 根轨迹概念根轨迹概念 所所谓谓根根轨轨迹迹，是是指指当当系系统统中中一一个个或或几几个个参参量量变变化化时时，闭环特征根在闭环特征根在S平面上运动形成的轨迹。平面上运动形成的轨迹。例：如图所示二阶系统，-系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：闭环传递函数：闭环传递函数：特征方程为：特征方程为：特征根为：特征根为：第3页，共30页，编辑于2022年，星期日 讨论讨论：当当K=0K=0时，时，s s1 1=0,s=0,s2 2=-2,=-2,是开环传递函数的极点是开环传递函数的极点 当当K=0.32K=0.32时，时，s s1 1=-0.4,s=-0.4,s2 2=-1.6=-1.6 当当K=0.5K=0.5时，时，s s1 1=-1,s=-1,s2 2=-1=-1 当当K=1K=1时，时，s s1 1=-1+j,s=-1+j,s2 2=-1-j=-1-j 当当K=5K=5时，时，s s1 1=-1+3j,s=-1+3j,s2 2=-1-3j=-1-3j 当当K=K=时，时，s s1 1=-1+j,s=-1+j,s2 2=-1-j=-1-j第4页，共30页，编辑于2022年，星期日系统的结构图如下：系统的结构图如下：-将将 写成以下标准型，得：写成以下标准型，得：式中：式中：kg为传递函数，或称为根轨迹增益；为传递函数，或称为根轨迹增益；Zi，Pj为开环零为开环零极点。极点。闭环传递函数为闭环传递函数为:开环传递函数为：开环传递函数为：第5页，共30页，编辑于2022年，星期日闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：的根。换句话说，满足换句话说，满足 或或的点就是闭环系统的极点，就是闭环特征方程的根的点就是闭环系统的极点，就是闭环特征方程的根 称称 或或 为根轨迹方程。为根轨迹方程。第6页，共30页，编辑于2022年，星期日上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。一些约定：在根轨迹图中，“”表示开环极点，“”表示开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“”表示根轨迹上的点。我们先以根轨迹增益 （当然也可以用其它变量）作为变化量来讨论根轨迹。由于由于 是复数，上式可写成是复数，上式可写成或或=(2q+1)q=0,1,2,第7页，共30页，编辑于2022年，星期日例4-1如图二阶系统，当Kg从0时绘制系统的根轨迹。-解闭环传递函数：特征方程和特征根：讨论：2341第8页，共30页，编辑于2022年，星期日总结当 从0变化到 时，系统的根轨迹是连续的。的点称为起点，的点称为终点。本例中有两个分支，终点都在无穷远处。这里是用解析法画出的根轨迹，但对于高阶系统，求根困难，需用图解法画图。复平面上满足相角条件的点应在根轨迹上。上例中，A点在根轨迹上吗？向量s和s+1的相角分别为 根据相角条件(试探法)：显然，只有三角形OAB是等腰三角形时，A点在根轨迹上。点显然不在根轨迹上。第9页，共30页，编辑于2022年，星期日定义：满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在某一增益的情况下绘制的）。180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨迹方程，每一点对应一个 。由于180度等相角根轨迹上的任意一点都可通过幅值条件计算出相应的 值，所以直接称180度等相角根轨迹为根轨迹。在根轨迹上的已知点求该点的 值的例子。上例中，若A点的坐标是0.5+j2，则根据幅值条件：第10页，共30页，编辑于2022年，星期日4.3 4.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 W.R.Evans（伊万斯）提出了一套绘制根轨迹的规则。该规则以根轨迹增（伊万斯）提出了一套绘制根轨迹的规则。该规则以根轨迹增益益K K1 1为变量。为变量。规则规则1：根轨迹的分支数和对称性。根轨迹的分支数和对称性。根轨迹的分支数等于特征方程的阶数根轨迹的分支数等于特征方程的阶数n n；根轨迹对称于实轴。根轨迹对称于实轴。规则规则2：根轨迹的起点与终点。根轨迹的起点与终点。起始点：起始点：K1=0时的闭环极点，即系统的开环极点。时的闭环极点，即系统的开环极点。起始点与终止点个数相等，均为起始点与终止点个数相等，均为n；终止点：终止点：（1 1）有限值终止点：当）有限值终止点：当K1时，有时，有m条分支趋向开条分支趋向开 环零点；环零点；（2 2）无限远终止点：）无限远终止点：n-m条分支趋向无穷远处条分支趋向无穷远处,需要需要 确定其方位和走向。确定其方位和走向。第11页，共30页，编辑于2022年，星期日规则规则3:实轴上的根轨迹。实轴上某线段右边的实零点和实极实轴上的根轨迹。实轴上某线段右边的实零点和实极 点总数为奇数时，这些线段就是根轨迹的一部分。如点总数为奇数时，这些线段就是根轨迹的一部分。如 图图 5-5所示。所示。规则规则4:根轨迹的渐近线。当系统的根轨迹增益根轨迹的渐近线。当系统的根轨迹增益K1时，趋时，趋 向无穷远处的根轨迹共有向无穷远处的根轨迹共有n-m条，它们趋向无穷远处的条，它们趋向无穷远处的 方位可由渐近线决定。方位可由渐近线决定。（1）渐近线与实轴的倾角为：）渐近线与实轴的倾角为：（2 2）渐近线与实轴的交点坐标为：）渐近线与实轴的交点坐标为：第12页，共30页，编辑于2022年，星期日【例例5-2】设设闭闭环环系系统统的的特特征征方方程程为为：S(S-1)(SS(S-1)(S2)2)K K1 10,0,当当K K1 1由由0 0变变化到化到 时，试按一般步骤与规则绘制其根轨迹图。时，试按一般步骤与规则绘制其根轨迹图。解解 （1 1）本系统为）本系统为3 3阶系统，有阶系统，有3 3条根轨迹；条根轨迹；（2 2）求出系统开环传递函数的零、极点形式，得到：）求出系统开环传递函数的零、极点形式，得到：（3 3）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环极点，）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环极点，分别为分别为p p1 1=0=0，p p2 2=-1=-1，p p3 3=-2=-2。第13页，共30页，编辑于2022年，星期日 （4）渐近线：）渐近线：K1时，有时，有3 3条根轨迹趋向无穷远处，其条根轨迹趋向无穷远处，其 渐近线的倾角为渐近线的倾角为 渐近线与实轴的交点坐标为渐近线与实轴的交点坐标为 （5）实轴上的根轨迹：）实轴上的根轨迹：在在S平面实轴上平面实轴上 0，-1和和-，-2 线段上存在根轨迹，线段上存在根轨迹，根轨迹草图如图根轨迹草图如图5-6所示所示 第14页，共30页，编辑于2022年，星期日 其其中中一一条条从从p3=-2出出发发,随随着着K1的的增增加加,沿沿着着负负实实轴轴趋趋向向无无穷穷远远处处。另另两两条条分分支支分分别别从从p1=0和和p2=-1出出发发,沿沿着着负负实实轴轴向向b点点移移动动。当当K1值值达达到到某某一一数数值值时时,这这两两条条分分支支相相交交于于实实轴轴上上的的b点点,这这时时系系统统处处于于临临界界阻阻尼尼状状态态。当当K1继继续续增增大大时时,这这两两条条分分支支离离开开负负实实轴轴分分别别趋趋近近-60o和和-60o的的渐渐近近线线,向向无无穷穷远远处处延延伸伸。在在KbK1Kc时时,系系统统处处于于欠欠阻阻尼尼状状态态,出出现现衰衰减减振振荡荡。而而当当K1Kc时时,，系统成为不稳定状态。，系统成为不稳定状态。图图5-6 根轨迹图根轨迹图第15页，共30页，编辑于2022年，星期日规则规则5：根轨迹的分离点、会合点和分离角。根轨迹的分离点、会合点和分离角。上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确实为分离点或回上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确实为分离点或回合点，需要用相角条件进行判断。分离点或会合点可能在合点，需要用相角条件进行判断。分离点或会合点可能在s s平面上任何平面上任何一点。一点。【例例5-3】求例求例 5-25-2中分离点的坐标。中分离点的坐标。解解 系统的特征方程为系统的特征方程为 几条根轨迹在几条根轨迹在s s平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点（或会平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点（或会合点）。分离点与会合点必须满足方程合点）。分离点与会合点必须满足方程:由此得：由此得：第16页，共30页，编辑于2022年，星期日 因分离点必定位于因分离点必定位于O O-1-1之间的线段上之间的线段上,故可确定故可确定S S1 1=-0.423=-0.423为分离为分离点。对高阶系统点。对高阶系统,一般不便求出分离点或会合点一般不便求出分离点或会合点,此时可用图解法等求解。此时可用图解法等求解。分离角：根轨迹离开重根点处的切线与实轴正方向的夹角被称为分离角分离角：根轨迹离开重根点处的切线与实轴正方向的夹角被称为分离角,其计算公式为：其计算公式为：求得两个解分别为求得两个解分别为s s1 1=-0.423,s=-0.423,s2 2=-1.577=-1.577式中式中r r为分离点处根轨迹的分支数。为分离点处根轨迹的分支数。第17页，共30页，编辑于2022年，星期日规则规则6：根轨迹的出射角和入射角。根轨迹的出射角和入射角。根轨迹从开环复数极点出发根轨迹从开环复数极点出发的角度称为出射角；进入开环复的角度称为出射角；进入开环复数零点的角度称为入射角。数零点的角度称为入射角。如图如图5-8所示为已知系统开环零、所示为已知系统开环零、极点分布，可说明出射角的求取。在根极点分布，可说明出射角的求取。在根轨迹上靠近起点轨迹上靠近起点P1较远处取一点较远处取一点S1,显显然满足相角条件，有然满足相角条件，有 第18页，共30页，编辑于2022年，星期日 根据同根据同样样方法可求方法可求开环复数零点开环复数零点z zk k的的入射角。入射角。当当S S1 1无限趋近于无限趋近于P P1 1点时，点时，(s(s1 1-p-p1 1)即为出射角。即为出射角。一般情况下，开环复数极点一般情况下，开环复数极点Pk的出射角为：的出射角为：规则规则7：根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点。在根轨迹与虚轴的交点处，存在系统的纯虚根。通常用以下两种根轨在根轨迹与虚轴的交点处，存在系统的纯虚根。通常用以下两种根轨迹与虚轴交点。（迹与虚轴交点。（1）劳斯判据法；（）劳斯判据法；（2）复数相等方法）复数相等方法。第19页，共30页，编辑于2022年，星期日【例例5-4】已知系统开环传递函数为：已知系统开环传递函数为：试求系统根轨迹与虚轴的交点试求系统根轨迹与虚轴的交点 解解 求出系统闭环特征方程为求出系统闭环特征方程为 （1 1）劳斯判据法；列出劳斯表）劳斯判据法；列出劳斯表 若阵列中的若阵列中的S S1 1和和S S0 0行等于零，则系统就行等于零，则系统就处于稳定边界上，特征方程具有纯虚根，处于稳定边界上，特征方程具有纯虚根，由此可得：由此可得：K K1 1=6=6时，时，s=s=j1.414;Kj1.414;K1 1=0=0时，时，s=j0s=j0。（2）复数相等方法）复数相等方法 令系统特征方程中的令系统特征方程中的s=js=j,令整理得到方程的实部和虚部分别为零，可令整理得到方程的实部和虚部分别为零，可得到相同的结果：即由得到相同的结果：即由第20页，共30页，编辑于2022年，星期日得到：得到：K K1 1=6=6时，时，s=s=j1.414;Kj1.414;K1 1=0=0时，时，s=j0s=j0。规则规则8：闭环极点的和与积。闭环极点的和与积。根据代数方程的根与系数关系，根据代数方程的根与系数关系，当当nm时，有时，有闭环极点之积：闭环极点之积：闭环极点之和：闭环极点之和：当当n-m 2时，有时，有:即闭环极点之和等于开环极点之和。即闭环极点之和等于开环极点之和。第21页，共30页，编辑于2022年，星期日 这表明在开环极点确定的情况下，随着这表明在开环极点确定的情况下，随着K K1 1的变化，若有一些闭的变化，若有一些闭环特征根增大，则另一些特征根必然减小。即一些根轨迹右行时，另一些环特征根增大，则另一些特征根必然减小。即一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。根轨迹必左行。【例例5-5】已知反馈控制系统的开环传递函数为已知反馈控制系统的开环传递函数为解解 按照以下步骤绘制系统的根轨迹：按照以下步骤绘制系统的根轨迹：（1 1）开环极点为）开环极点为p p1 1=0=0，p p2 2=-3=-3，p p1 1=-1=-1 j,j,无开环零点；无开环零点；（2 2）根轨迹分支数）根轨迹分支数n=4n=4条；条；（3 3）在实轴上）在实轴上-3-3，00之间为根轨迹段；之间为根轨迹段；（4 4）渐近线）渐近线,n-m=4,n-m=4条：条：，试绘制，试绘制K1变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。第22页，共30页，编辑于2022年，星期日 （5 5）由特征方程求分离点由特征方程求分离点 解得解得s s1 1=-2.3=-2.3，s s2,32,3=0.725=0.725 j0.365j0.365。s s1 1为分离点。分离角为为分离点。分离角为 9090o o。利用根轨迹的幅值条件可求得对应于分离点利用根轨迹的幅值条件可求得对应于分离点s s1 1=-2.3=-2.3的的K K1 1值为值为4.334.33。第23页，共30页，编辑于2022年，星期日 （6）求出射角）求出射角 根据对称性可知：根据对称性可知：p4=71.6 令劳斯表中令劳斯表中S1行的首项为零，求得行的首项为零，求得K1=8.16。根据表。根据表令令s=j，K1=8.16代入上式，求得代入上式，求得=1.1。根轨迹的两条分支与虚轴交于。根轨迹的两条分支与虚轴交于=1.1j处，处，中中S2行的系数写出辅助方程行的系数写出辅助方程对应的对应的K1=8.16，系统根轨迹如图，系统根轨迹如图5-9所示所示由特征方程并列由特征方程并列出劳斯表：出劳斯表：（7）求根轨迹与虚轴的交点。）求根轨迹与虚轴的交点。第24页，共30页，编辑于2022年，星期日根轨迹绘制步骤：根轨迹绘制步骤：1 1 确定根轨迹的分支数和对称性确定根轨迹的分支数和对称性2 2 确定根轨迹的起点与终点确定根轨迹的起点与终点3 3 确定实轴上的根轨迹确定实轴上的根轨迹4 4 确定确定根根轨轨迹的迹的渐渐近近线线5 5 确定根轨迹的分离点、会合点和分离角确定根轨迹的分离点、会合点和分离角6 6 确定根轨迹的出射角和入射角。确定根轨迹的出射角和入射角。7 7 确定根轨迹与虚轴的交点确定根轨迹与虚轴的交点第25页，共30页，编辑于2022年，星期日【例例5-6】已已知知系系统统的的开开环环传传递递函函数数如如下下，试试绘绘制制闭闭环环系系统统的的根根轨轨迹。迹。根据上述规则，可以简便地绘制系统根轨迹的大致图形。当需根据上述规则，可以简便地绘制系统根轨迹的大致图形。当需要比较准确地确定某些局部图形时，可用相角条件逐点绘出。要比较准确地确定某些局部图形时，可用相角条件逐点绘出。当当K1值满足幅值条件时，对应的根轨迹上的点，就是闭环极点。值满足幅值条件时，对应的根轨迹上的点，就是闭环极点。解：从开环传递函数公式中求出开环极点：解：从开环传递函数公式中求出开环极点：p1=0，p2=-4，p3,4=-2 j4（1 1）根轨迹分支数）根轨迹分支数n=4n=4条。条。第26页，共30页，编辑于2022年，星期日（4 4）出射角为）出射角为 由对称性知由对称性知 p4p4=90=90 度度（5 5）求分离点。由特征方程）求分离点。由特征方程图图5-10 系统根轨迹图系统根轨迹图（2）实轴上）实轴上-4，0区间为根轨迹段。区间为根轨迹段。（3）渐近线）渐近线 n-m=4条。条。第27页，共30页，编辑于2022年，星期日 解得分离点为：解得分离点为：S1=-2,S2,3=-2 j2.449 令表中令表中S1行的首项为零，求得行的首项为零，求得K1=260，根据表中，根据表中S2行的系行的系数得到辅助方程数得到辅助方程：令令（6）求根轨迹与虚轴的交点。由特征方程列出劳斯表并计算：）求根轨迹与虚轴的交点。由特征方程列出劳斯表并计算：第28页，共30页，编辑于2022年，星期日求解得到根轨迹与虚轴的交点：求解得到根轨迹与虚轴的交点：根据幅值条件可得到根轨迹图上的几个特殊点对应的根据幅值条件可得到根轨迹图上的几个特殊点对应的K1值值系统根轨迹图如上图系统根轨迹图如上图5-10所示所示 第29页，共30页，编辑于2022年，星期日结束结束第30页，共30页，编辑于2022年，星期日