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概率四章蓝底概率四章蓝底第1页，此课件共78页哦第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差方差第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵本章主要内容第2页，此课件共78页哦 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了.第3页，此课件共78页哦 因此，在对随机变量的研究中，确定某些因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的数字特征是重要的.我们先介绍随机变量的数学期望我们先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是期望期望和和方差方差第4页，此课件共78页哦第一节第一节 数学期望数学期望第5页，此课件共78页哦例例:某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有品有60%的把握按定价售出，的把握按定价售出，20%的把握打折售出及的把握打折售出及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为别为5元，元，2元和元和-4 元。厂家对每件产品可获利多少？元。厂家对每件产品可获利多少？解解:设设 X 表示一件产品的利润表示一件产品的利润(单位：元单位：元),X 的分布律为的分布律为X X5 52 2-4-4P P0.60.60.20.20.20.2X的数的数学期望学期望:虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每件产品的平均利润为件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。元，还是有利可图的。第6页，此课件共78页哦一、数学期望的概念一、数学期望的概念 E(X)是一个实数，得到随机变量的是一个实数，得到随机变量的“平均数平均数”,形式上形式上是是X的可能值的加权平均数，实质上它体现了的可能值的加权平均数，实质上它体现了X取值的真正平取值的真正平均。又称均。又称E(X)为为X的平均值，简称的平均值，简称均值均值。它完全由。它完全由X的分布所的分布所决定，又称为决定，又称为分布的均值分布的均值.为随机变量为随机变量X的数学期望，简称期望，记为的数学期望，简称期望，记为E(X)，即，即 第7页，此课件共78页哦例例1：设设X服从参数为服从参数为p的（的（0-1）分布，求）分布，求 E(X)。解：解：X 的分布律为的分布律为X X0 01 1P Pq qp p0pq,p+q=1.为了补偿乙的不为了补偿乙的不利地位，另行规定两人下的赌注不相等，甲为利地位，另行规定两人下的赌注不相等，甲为 a,乙为乙为b,ab.现在的问题是：现在的问题是：a究竟应比究竟应比b大多大多少，才能做到公正？少，才能做到公正？下面我们给出数学期望应用的一个例子下面我们给出数学期望应用的一个例子.第31页，此课件共78页哦解：设甲赢的钱数为解：设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为乙赢的钱数为Y，为对双方公正为对双方公正,应有应有依题意依题意E(X)=bp+(-a)q,E(Y)=aq+(-b)pbp-aq=aq-bp=0,故故第32页，此课件共78页哦 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两现用甲、乙两台仪器各测量台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐标上的点用坐标上的点表示如图：表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果乙仪器测量结果 甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的均测量结果的均值都是值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近第二节第二节 方差方差第33页，此课件共78页哦 为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它来度用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们这一节要介绍的这个数字特征就是我们这一节要介绍的方差方差第34页，此课件共78页哦 方差是随机变量方差是随机变量X与其与其“中心中心”E(X)的偏差平的偏差平方的平均。方的平均。方差刻划了随机变量的取值对于其数方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散学期望的离散(偏离偏离)程度程度.第35页，此课件共78页哦第36页，此课件共78页哦注：若方差注：若方差D(X)=0,则随机变量则随机变量 X 以概率以概率1取常取常数值数值.计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质 即即D(X)=0 PX=C=1，这里这里C=E(X)第37页，此课件共78页哦第38页，此课件共78页哦方差的性质方差的性质设随机变量设随机变量X与与Y的方差存在，则的方差存在，则第39页，此课件共78页哦第40页，此课件共78页哦可推广为：若可推广为：若X1,X2,Xn相互独立相互独立,则则注：（）可推广到个相互独立随机变量的注：（）可推广到个相互独立随机变量的 情形。情形。第41页，此课件共78页哦例例：设一次试验中事件设一次试验中事件 A 发生的概率为发生的概率为，则在，则在次这样的独次这样的独立重复试验中事件立重复试验中事件 A 发生的次数发生的次数 XB(,)，求求 E(X)，D(X).解解：X 的分布律为的分布律为第次试验中第次试验中A发生发生第次试验中第次试验中A不发生不发生则则Xi(1 i n)是服从是服从0-1分布的随机变量且有分布的随机变量且有第42页，此课件共78页哦又又 E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)(1 i n)第43页，此课件共78页哦几种重要随机变量的方差几种重要随机变量的方差X 0 1P 1-p p第44页，此课件共78页哦第45页，此课件共78页哦第46页，此课件共78页哦第47页，此课件共78页哦第48页，此课件共78页哦第49页，此课件共78页哦 注：正态随机变量的概率密度中的两个参数注：正态随机变量的概率密度中的两个参数u,2分别就分别就是该随机变量的数学期望和方差，故正态随机变量的分布是该随机变量的数学期望和方差，故正态随机变量的分布完全由它的数学期望和方差所确定。完全由它的数学期望和方差所确定。随机变量的分布完全可由它的数学期望和方差来确定。随机变量的分布完全可由它的数学期望和方差来确定。第50页，此课件共78页哦例例2 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立相互独立,且且 XN(1,2),YN(0,1).试求试求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.故故X和和Y的联合分布为正态分布，的联合分布为正态分布，X和和Y的的任意线性组合是正态分布任意线性组合是正态分布.解解:XN(1,2),YN(0,1)，且且X与与Y独立独立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z),D(Z)ZN(5,32)第51页，此课件共78页哦故故Z的概率密度是的概率密度是ZN(5,32)第52页，此课件共78页哦 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本节要讨论的征中，最重要的，就是本节要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数第53页，此课件共78页哦第54页，此课件共78页哦若若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为为二维离散型随机变量，其联合分布律为 PX=xi，Y=yj=pij，i,j=1,2,若若(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)第55页，此课件共78页哦特别地：特别地：Cov(X,X)=EX-E(X)X-E(X)=D(X)Cov(Y,Y)=EY-E(Y)Y-E(Y)=D(Y)定义定义：第56页，此课件共78页哦 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，若可见，若X与与Y独立，独立，Cov(X,Y)=0.计算协方差的一个简单公式计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即即第57页，此课件共78页哦例例1 设设(X,Y)的分布律如图所示的分布律如图所示,0 p 1,求求 Cov(X,Y)和和XY X X Y Y0 10 10 01 1 1 1p p 0 0 0 0 p p第58页，此课件共78页哦例例2 设设(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为 f(x,y),求求 Cov(X,Y).第59页，此课件共78页哦第60页，此课件共78页哦 注意注意1：性质（）的等价说法是若：性质（）的等价说法是若 Cov(X,Y)不等于零，不等于零，则则X与与Y不独立，即不独立，即X与与Y之间存在某种关系，所以协方差是之间存在某种关系，所以协方差是反映反映 X，Y 之间相互联系的数字特征。之间相互联系的数字特征。注意注意2：由性质（）和不相关的定义有：随机变量：由性质（）和不相关的定义有：随机变量的独立性能推出不相关性，但反过来不成立。的独立性能推出不相关性，但反过来不成立。第61页，此课件共78页哦注意注意3：相关系数为：相关系数为1或时，或时，X与与Y必存在上述线性关系，必存在上述线性关系，第62页，此课件共78页哦考虑以考虑以X的线性函数的线性函数a+bX来近似表示来近似表示Y，以均方误差以均方误差e=EY-(a+bX)2来衡量以来衡量以a+bX近似表示近似表示Y的好坏程度的好坏程度,e值越小表示值越小表示 a+bX与与Y的近似程度越好的近似程度越好.用微积分中求极值的方法，求出使用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最达到最小时的小时的a,b.所以说相关系数刻划了所以说相关系数刻划了X和和Y间间“线性相关线性相关”的程度的程度.第63页，此课件共78页哦 =E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=EY-(a+bX)2 解得解得即最佳逼近为即最佳逼近为L(X)=a0+b0X第64页，此课件共78页哦 这样求出的最佳逼近为这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X这一逼近的余项为这一逼近的余项为若若 =0，Y与与X无线性关系无线性关系;Y与与X有严格线性关系有严格线性关系;若若可见可见,若若0|1,|的值越接近于的值越接近于1,Y与与X的线性相关程度越高的线性相关程度越高;|的值越接近于的值越接近于0,Y与与X的线性相关程度越弱的线性相关程度越弱.E(Y-L(X)2=D(Y)(1-)第65页，此课件共78页哦第66页，此课件共78页哦第67页，此课件共78页哦第68页，此课件共78页哦说明说明:(1)不能由不相关性推出独立性不能由不相关性推出独立性(2)即使即使X与与Y不相关，它们之间还是可能存在函数关不相关，它们之间还是可能存在函数关系，相关系数只是系，相关系数只是X与与Y之间线性关系之间线性关系 程度的一种量程度的一种量度。度。第69页，此课件共78页哦但对下述情形，独立与不相关等价但对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关注意：前面，我们已经看到：注意：前面，我们已经看到：若若X与与Y独立，则独立，则X与与Y不相关，不相关，但由但由X与与Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X与与Y独立独立.第70页，此课件共78页哦第71页，此课件共78页哦第72页，此课件共78页哦第73页，此课件共78页哦所以所以r=0 X与与Y不相关不相关因为因为f(xy)g(x)g(y)所以所以X与与Y不独立不独立第74页，此课件共78页哦第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵第75页，此课件共78页哦设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩为为n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。的协方差矩阵。都存在，则称矩阵都存在，则称矩阵协方差矩阵具有以下协方差矩阵具有以下性质性质：（1）协方差矩阵为对称矩阵）协方差矩阵为对称矩阵;（2）协方差矩阵为非负定矩阵。协方差矩阵为非负定矩阵。协方差协方差Cov(x,y)是是x和和y的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩第76页，此课件共78页哦第77页，此课件共78页哦第78页，此课件共78页哦