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渐近方法函数的展开第1页，此课件共51页哦第二章第二章 渐近方法渐近方法 本章渐进方法着重介绍数学物理中的近似方法，内容包括积本章渐进方法着重介绍数学物理中的近似方法，内容包括积分的渐近展开分析与常微分方程的渐进解法两大部分。通过本分的渐近展开分析与常微分方程的渐进解法两大部分。通过本章的学习目的是为提高数学分析的能力和将理论应用于解决实章的学习目的是为提高数学分析的能力和将理论应用于解决实际问题的本领。该方法在力学、大气科学、物理海洋、光学、际问题的本领。该方法在力学、大气科学、物理海洋、光学、声学等研究领域具有广泛的应用。声学等研究领域具有广泛的应用。渐近计算是数学计算的近似方法之一，它是解析方法在一渐近计算是数学计算的近似方法之一，它是解析方法在一定条件下的发展，其与数值方法相结合可以提高计算的精确程定条件下的发展，其与数值方法相结合可以提高计算的精确程度及计算速度，特别在非线性问题的处理中渐近方法具有重要度及计算速度，特别在非线性问题的处理中渐近方法具有重要的地位。的地位。第2页，此课件共51页哦1、量级符号；量级符号；2、渐近展开；渐近展开；3、渐近展开式的运算；渐近展开式的运算；4、积分的渐近展开式；积分的渐近展开式；5、最陡下降法；最陡下降法；6、驻定相位法；驻定相位法；7、常微分方程的渐近解；常微分方程的渐近解；第二章第二章 渐近方法渐近方法第3页，此课件共51页哦 由于某些特殊函数具有积分表示式，如果这些函数是微分方由于某些特殊函数具有积分表示式，如果这些函数是微分方程的解，就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或傅立叶变换的程的解，就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近展开式的问题在解析积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用，它可以使我们得到积分解另一函数理论中就起特别重要的作用，它可以使我们得到积分解另一种表达，称此为渐近方法。种表达，称此为渐近方法。比较函数趋于某个极限时的性质常定义：比较函数趋于某个极限时的性质常定义：例：例：2 渐近方法渐近方法 2.1 量级符号量级符号 1)同量级同量级 第4页，此课件共51页哦例：例：称函数称函数f(x)至多与至多与g(x)同阶。同阶。2 渐近方法渐近方法 2.1 量级符号量级符号 2)量级最多为量级最多为 也可以说若存在某个常数也可以说若存在某个常数A，使对定义域，使对定义域D某个内点某个内点x0的邻域的邻域V内的所有内的所有x，满足，满足第5页，此课件共51页哦例：例：2 渐近方法渐近方法 2.1 量级符号量级符号 3)量级小于量级小于 也可以说若存在任一也可以说若存在任一 ，定义域，定义域D内点内点x0总有一的邻域总有一的邻域 存在，使得所有存在，使得所有 ，满足，满足称函数称函数f(x)是函数是函数g(x)的高阶小量。的高阶小量。的意义是说的意义是说 f(x)有界，而有界，而 的意义是的意义是说说f(x)趋于零。趋于零。第6页，此课件共51页哦 2.2 渐近展开渐近展开 下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复平面上下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复平面上进行。进行。一、一、渐近序列渐近序列 设设 ，是定义在区间，是定义在区间D上的连续函数序列，上的连续函数序列，是是D中的一固定点，若对每一个固定的中的一固定点，若对每一个固定的n，有，有则称则称 为为 点的渐进序列。渐近序列可以是有限项也可点的渐进序列。渐近序列可以是有限项也可以是无限项的。以是无限项的。例如：例如：是对零点的渐近序列。是对零点的渐近序列。2 渐近方法渐近方法 是对于无穷的渐近序列。是对于无穷的渐近序列。第7页，此课件共51页哦二、二、渐近展式渐近展式 设设 是一个给定的函数，而是一个给定的函数，而 是是 点的一个渐近序列，如果对点的一个渐近序列，如果对每个固定的整数每个固定的整数n，有，有那么称此为那么称此为 在在 点的渐近展式。记为点的渐近展式。记为注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的z值，渐近展式的项值，渐近展式的项数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足渐近展式的数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足渐近展式的定义式，则当定义式，则当 时，取确定的项数时，取确定的项数n会得到对函数非常好的会得到对函数非常好的近似。近似。2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 第8页，此课件共51页哦例例1：求：求 当当 时的积分值。时的积分值。即求即求 时时 的渐近展式。的渐近展式。解解：余项：余项：2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 第9页，此课件共51页哦因此，取展开式的前因此，取展开式的前n项，略去余项，当项，略去余项，当 时，其误差时，其误差量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为 2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 注意：注意：这个级数对于有限的这个级数对于有限的 x 值均不收敛。但是，取确定的项数，值均不收敛。但是，取确定的项数，会得到对函数很好的近似。如果仅用一项，给出的相对误差为会得到对函数很好的近似。如果仅用一项，给出的相对误差为1/x,结结果粗略一些，但已经足够用了。果粗略一些，但已经足够用了。第10页，此课件共51页哦三、三、展开式系数：展开式系数：当当 时，时，的渐近展式的渐近展式 的系数为的系数为证明略证明略 2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 四、四、展开式的构成展开式的构成 设设 在区域在区域D中有定义，若中有定义，若 有定义且不为零，则有定义且不为零，则 是是 时，时，的一个直到的一个直到N项的渐近展开式。项的渐近展开式。当当 时，时，的渐近展式的渐近展式 的系数为的系数为四、四、展开式的构成展开式的构成 当当 时，时，的渐近展式的渐近展式 的系数为的系数为四、四、展开式的构成展开式的构成 当当 时，时，的渐近展式的渐近展式 的系数为的系数为四、四、展开式的构成展开式的构成 第11页，此课件共51页哦证明：证明：首先证明首先证明 是一个渐近序列。由是一个渐近序列。由 的定义得的定义得 2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 所以：所以：又因为：又因为：故存在一个故存在一个 的的 邻域使邻域使z在其中时：在其中时：第12页，此课件共51页哦所以所以 。由此，各个。由此，各个 都由这种方式定义得都由这种方式定义得 2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 五、五、唯一性唯一性设设 是在是在D中，中，的一个已知渐近序列，若的一个已知渐近序列，若是当是当 时，时，直到直到N 项的一个渐近展式，则此展式是唯项的一个渐近展式，则此展式是唯一的。一的。注意：注意：这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示的展开式的唯一性。这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示的展开式的唯一性。但是可能有多个不同的渐近序列对应同一个函数的渐近展式，它们可但是可能有多个不同的渐近序列对应同一个函数的渐近展式，它们可以不同，而且可以是收敛的也可是发散的。反过来，一个已知的渐近以不同，而且可以是收敛的也可是发散的。反过来，一个已知的渐近展式可以表示不止一种函数。展式可以表示不止一种函数。第13页，此课件共51页哦 的一个的一个渐近渐近幂级数展式幂级数展式，记为，记为 六、六、幂函数的展式幂函数的展式 2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 则：则：是是D中，中，时，时，其中一种重要的特殊情形是在其中一种重要的特殊情形是在D中，当中，当 时，如果时，如果则在则在D中，当中，当 时时第14页，此课件共51页哦 2.3 渐近展式的运算渐近展式的运算若在若在D中，当中，当 时，直到时，直到N项有项有 则：则：和和1.加法：加法：2.乘法：乘法：2 渐近方法渐近方法 本节讨论渐近展开式的普通运算，由于实际应用中，展式多用本节讨论渐近展开式的普通运算，由于实际应用中，展式多用幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列。幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列。第15页，此课件共51页哦3.除法：除法：即除法为两个函数渐近展开式分别保留到即除法为两个函数渐近展开式分别保留到N项相除。项相除。推论：推论：2.3 渐近展式的运算渐近展式的运算 2 渐近方法渐近方法 第16页，此课件共51页哦4.积分积分:当当 时，若时，若 则：则：其中积分沿从其中积分沿从 到到 的一条直线路径。的一条直线路径。推论推论:当当 时，若时，若 则：则：2.3 渐近展式的运算渐近展式的运算 2 渐近方法渐近方法 5.求导求导:当当 时，若时，若 ，且当，且当 时，在时，在D中中 存在并有存在并有第17页，此课件共51页哦则在则在D中渐近展开式满足可逐项积分的条件时，有中渐近展开式满足可逐项积分的条件时，有推论推论1：在：在D中，当中，当 有有 且在且在D中中 2.3 渐近展式的运算渐近展式的运算 2 渐近方法渐近方法 存在并有存在并有若在若在D中，渐近幂级数满足逐项积分的条件，则中，渐近幂级数满足逐项积分的条件，则第18页，此课件共51页哦推论推论2：对对 ，当，当 时有时有 且且 存在于相同的区域，当存在于相同的区域，当 时，有时，有则则 对于解析函数对于解析函数 ，若在区域，若在区域当当 时有时有则在则在 中，当中，当有有 2.3 渐近展式的运算渐近展式的运算 2 渐近方法渐近方法 根据渐近展式的定义和相关运算法则，就可以讨论在解析函数理论中常用的积分的渐近展式。根据渐近展式的定义和相关运算法则，就可以讨论在解析函数理论中常用的积分的渐近展式。第19页，此课件共51页哦 获得积分渐近获得积分渐近展式的方法有展式的方法有两种两种(1)把被积函数把被积函数的一部分展的一部分展开为级数，开为级数，然后形式上然后形式上逐项积分；逐项积分；(2)重复地进行重复地进行分部积分。分部积分。一、一、逐项积分法：逐项积分法：瓦特森引理：设瓦特森引理：设 2.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 2 渐近方法渐近方法 第20页，此课件共51页哦式式 对对Re(z)0 成立，因为在此定义域成立，因为在此定义域两边都解析且在实轴上它们一致。可应用瓦特森引理得到其积分两边都解析且在实轴上它们一致。可应用瓦特森引理得到其积分的渐近展开式。做变量代换，令的渐近展开式。做变量代换，令解：令解：令 则则例：求当例：求当 ，的的函数函数 的的渐渐近展式。近展式。2 渐近方法渐近方法 则对给定的值则对给定的值 上述变换给出两个解上述变换给出两个解s(u)和和(u)，其中，其中 2.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 即即且且第21页，此课件共51页哦两个解分别位于最大值两个解分别位于最大值s=1的两边其的两边其中中于是于是 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 可以证明可以证明且因当且因当 时，时，故故 在在 有界有界第22页，此课件共51页哦 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 则可得则可得 与与的关系：的关系：剩下要证明的是剩下要证明的是 其中其中 对小的对小的 有一个有一个麦克劳林展开式。再做代换，令麦克劳林展开式。再做代换，令。它在。它在 处是解析的。因为当处是解析的。因为当 时，有时，有即即与与 的邻域有两个分支。的邻域有两个分支。根据复变函数理论：若根据复变函数理论：若 解析，且解析，且 则则 在在 的邻域存在解析的反函数的邻域存在解析的反函数 现在现在 在在 邻域解析，且邻域解析，且 在在 点不等于零，故在点不等于零，故在 第23页，此课件共51页哦 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 另一支是另一支是注意到注意到 则对足够小的则对足够小的 有有 故故令令 的邻域存在解析的反函数的邻域存在解析的反函数 式中式中 是是 处处 的留数，容易算出的留数，容易算出 等等。将最后的表示式带入被积式，并在形式上逐项积分，则由瓦特森引理，将最后的表示式带入被积式，并在形式上逐项积分，则由瓦特森引理，在在 时，有时，有第24页，此课件共51页哦 23 渐近方法渐近方法 2.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 式中式中二、二、分部积分法：分部积分法：对对形式进行分部积分。在形式进行分部积分。在 ，且当，且当 时时 的条件下得的条件下得 。可以看出，。可以看出，所得积分与原来积分形式相似所得积分与原来积分形式相似，故可故可重复同一过程重复同一过程。第25页，此课件共51页哦 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 在在 和和 的一定假设条件下，式中第一项是的一定假设条件下，式中第一项是 的积分渐近形式。的积分渐近形式。条件条件:（1）对）对 ，连续且有界：连续且有界：，同时，同时 （2）对）对 ，为实函数且连续；为实函数且连续；存在，且存在，且（3）（4）对所有正）对所有正 ，且当，且当 时，时，（5）对）对 ，存在，则对存在，则对 当当 时时第26页，此课件共51页哦 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 例：例：在在 ，条件下，求条件下，求误差函数误差函数的渐近展开式。的渐近展开式。令令 现在的积分现在的积分 和定理的假设相符，重复地应用此和定理的假设相符，重复地应用此定理，对于定理，对于 可得可得 第27页，此课件共51页哦 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 如果如果 ，则应将方法修改。但对这种情形，可以采用，则应将方法修改。但对这种情形，可以采用下面两节的方法，这里不再赘述。下面两节的方法，这里不再赘述。以上只把分部积分法用于上限为以上只把分部积分法用于上限为 的积分，现在考虑的积分，现在考虑a和和b 有限，有限，且且 的情形，即的情形，即 设设 ，而当，而当 ，时时 第28页，此课件共51页哦 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 当当 ，时，因为时，因为故故第29页，此课件共51页哦最徒下降法的思路：最徒下降法的思路：首先令：首先令：则：则：2 渐近方法渐近方法 2.5 最陡下降法最陡下降法 积分积分 其中其中C 是复平面是复平面Z 上的路径，在其中假定上的路径，在其中假定 缓变，且缓变，且f 和和g 均具有适当的正则性。均具有适当的正则性。其中其中 u 和和 v 是实函数。是实函数。当当S 很大时，沿积分路径微小位移所引起的很大时，沿积分路径微小位移所引起的 的微小变化会引起的微小变化会引起 注意到：注意到：第30页，此课件共51页哦 2.5 最陡下降法最陡下降法 也就是说，也就是说，最徒下降法的本质就是尽可能利用这样的积分路径：使最徒下降法的本质就是尽可能利用这样的积分路径：使被积函数在这个路径上被积函数在这个路径上u为最大，而为最大，而等于常数。等于常数。这样可以保证被积函数这样可以保证被积函数变化最速下降，也就保证积分值只与变化最速下降，也就保证积分值只与u为最大的点（鞍点）附近的邻域为最大的点（鞍点）附近的邻域有关，从而可以渐近计算。有关，从而可以渐近计算。事实上，事实上，使使等于常数的路径也就是等于常数的路径也就是u变化最快的路径变化最快的路径。以下对此。以下对此证明：证明：2 渐近方法渐近方法 中复数项的迅速震荡。中复数项的迅速震荡。但如选择积分路径使在其上但如选择积分路径使在其上 为常数，为常数，则震荡就会迅速消失，则震荡就会迅速消失，于是被积函数变化最速部分将为于是被积函数变化最速部分将为 ，而，而显然其主要贡献部分将来自显然其主要贡献部分将来自u为最大点的邻域。因而此方法的本为最大点的邻域。因而此方法的本质是尽可能地改变积分路径循着通过质是尽可能地改变积分路径循着通过u 为最大的点，而为最大的点，而等于常数等于常数 的路线进行。的路线进行。第31页，此课件共51页哦 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 证明证明:令令 是在是在 邻近的一点，于是由邻近的一点，于是由得：得：当当 等于常数时等于常数时，应有，应有，即，即注意到注意到柯西黎曼柯西黎曼关系关系:可得可得 此式表明此式表明因此，由极值的条件，在因此，由极值的条件，在 点，点，等于常数的方向也正是等于常数的方向也正是u 的最大的最大变化方向。变化方向。第32页，此课件共51页哦 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 为寻找为寻找 的最大点，令的最大点，令，因而，因而 故当且仅当在该点故当且仅当在该点，时，取得极值，这样的点称为时，取得极值，这样的点称为驻点驻点驻点驻点。曲面曲面有极大极小值的条件为有极大极小值的条件为 而现在有而现在有，即，即，故，故，因而，因而 因为因为u是解析是解析函数满足拉普函数满足拉普拉斯方程拉斯方程表明表明这里的驻点不是极值点这里的驻点不是极值点而是而是鞍点鞍点，它连接曲面的，它连接曲面的“山谷山谷”和和“山山脊脊”沿山脊上升和山谷下降均是沿山脊上升和山谷下降均是u最大变化方向最大变化方向最大变化方向最大变化方向。对我们有意义的是对我们有意义的是山谷下降路径，即最徒下降路径山谷下降路径，即最徒下降路径，因为只有这，因为只有这一路径上在鞍点附近对积分有显著的贡献，所以这种渐近计算的方一路径上在鞍点附近对积分有显著的贡献，所以这种渐近计算的方法称为：法称为：最徒下降法最徒下降法。第33页，此课件共51页哦 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 鞍点鞍点若若 点为点为鞍点鞍点鞍点鞍点，即，即 此点的此点的等于常数的曲线方程为等于常数的曲线方程为，则，则通过通过，或，或 其中其中t是实数，是实数，t 为为正正代表下降路径，代表下降路径，t 为为负负代表上升路径。代表上升路径。由由 在在 点的点的Tailor展开式展开式现在现在，若，若(A为正实数为正实数)，接近，接近 处处，则，则，（略去高阶项），（略去高阶项）第34页，此课件共51页哦 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 因为：因为：还可得：还可得：由此可以画出由此可以画出实部实部 虚部虚部 时的等高线如图所示。如果时的等高线如图所示。如果，则图形将更复杂，则图形将更复杂，可能有三个或更多的山谷在可能有三个或更多的山谷在鞍点相会。鞍点相会。第35页，此课件共51页哦 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 现在可以假定现在可以假定起止于无限远的积分路径能变形到起点和终点都起止于无限远的积分路径能变形到起点和终点都在山谷的路径在山谷的路径，这是积分收敛的要求这是积分收敛的要求。积分路径要尽可能地变形到最陡下降路径上沿着山谷的底积分路径要尽可能地变形到最陡下降路径上沿着山谷的底在鞍点处越过一个山谷进入下一个山谷。在鞍点处越过一个山谷进入下一个山谷。一般说来，这种路径由一系列曲线组成，每一个是从鞍点到无穷或一般说来，这种路径由一系列曲线组成，每一个是从鞍点到无穷或到某个奇点。到某个奇点。以下假定以下假定 来计算一个这种路径对积分的贡献。来计算一个这种路径对积分的贡献。为此，设为此，设 其中其中。于是。于是最陡下降路径最陡下降路径最陡下降路径最陡下降路径由下式给出由下式给出或或(t为正实数）为正实数）其中其中 取主值。计及取主值。计及，故得，故得 第36页，此课件共51页哦 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 上式的不同符号对应于自鞍点出发的两条最陡下降路径。若上式的不同符号对应于自鞍点出发的两条最陡下降路径。若“+”号与第三象限的路径有关，号与第三象限的路径有关，“-”与第一象限的路径与第一象限的路径。有关有关考虑考虑负号负号时所代表的路径如图所示，所得的积分是时所代表的路径如图所示，所得的积分是负号所对应的路径负号所对应的路径 其中其中 是上式中取是上式中取负号负号的的 z值。另一路径的积分值。另一路径的积分 其中其中 是上式中取是上式中取正号正号的的z值。值。第37页，此课件共51页哦 完整的级数太繁，我们将只导出首项。完整的级数太繁，我们将只导出首项。于是，如果把于是，如果把C变形到通过鞍点，其方向变形到通过鞍点，其方向如右图，则可以得到如右图，则可以得到 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 由于由于 和和 都可用都可用 t 表示表示，其中函数，其中函数 f 已假定是缓变的，故已假定是缓变的，故 和和 均可用均可用 代替。令代替。令 引理渐近计算的积分式。引理渐近计算的积分式。，则可以得到用，则可以得到用瓦特森瓦特森负号所对应的路径负号所对应的路径 此式即利用最徒下降法得到的积分的渐近展开此式即利用最徒下降法得到的积分的渐近展开此式即利用最徒下降法得到的积分的渐近展开此式即利用最徒下降法得到的积分的渐近展开。如果如果C通过鞍点的通过鞍点的方向与前图示相反的话，结果反号即可。方向与前图示相反的话，结果反号即可。第38页，此课件共51页哦例：求阶乘的斯特林（例：求阶乘的斯特林（Stirling)公式。（即阶乘的渐近展式）公式。（即阶乘的渐近展式）解：解：已知阶乘的积分表达式已知阶乘的积分表达式 符合前边积分的形式，其中符合前边积分的形式，其中 而积分路径而积分路径C为实轴。为实轴。2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 它在它在 时成立，现在我们只考虑时成立，现在我们只考虑 s此积分形式不适合用最陡下降法，但如用此积分形式不适合用最陡下降法，但如用sz 来代替来代替z就得出就得出 是实数的情形。是实数的情形。注意到注意到 有一鞍点，且在该处有一鞍点，且在该处 第39页，此课件共51页哦在在 时：时：因此积分路径应该是因此积分路径应该是 和和 （零点为奇点）两部分（零点为奇点）两部分根据公式：根据公式：2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 这就是斯特林公式。这就是斯特林公式。第40页，此课件共51页哦 2.6 驻定相位法驻定相位法 积分积分：2 渐近方法渐近方法 当参量当参量k 很大时可以用驻定相位法求解。从被积函数很大时可以用驻定相位法求解。从被积函数 的形的形式式上看，可当作波的相位。上看，可当作波的相位。当当k很大时，它表示一种迅速的振荡。很大时，它表示一种迅速的振荡。在积分过程中，这种振荡正负相消，而只有在在积分过程中，这种振荡正负相消，而只有在的部分，的部分，处有平坦处有平坦因而对积分的主要贡献来自于因而对积分的主要贡献来自于 点附近。点附近。使使 的点称为的点称为驻定相位点驻定相位点，所以这种用相位驻定邻近的积分，所以这种用相位驻定邻近的积分结果来近似代表整个区间的精确结果的方法称为结果来近似代表整个区间的精确结果的方法称为驻定相位法驻定相位法。为证明对积分的主要贡献来自驻定相位点附近，先看变量为证明对积分的主要贡献来自驻定相位点附近，先看变量z为实变量为实变量x的情形。函数的情形。函数 的驻点的驻点 是使是使 的点，如的点，如 ，而，而 则称则称 为为 的的N级驻点。级驻点。第41页，此课件共51页哦考察积分：考察积分：2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 如果积分区间如果积分区间(a,b)内内f(x)没有驻点没有驻点没有驻点没有驻点，g(x)在在(a,b)内可微，则内可微，则可作积分变量代换，而上面的积分可记为可作积分变量代换，而上面的积分可记为 由由f(x)反演反演x可以表示为可以表示为f 的函数，故的函数，故 在积分区间是在积分区间是可微的。由可微的。由分部积分分部积分，得，得 第42页，此课件共51页哦 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 等号右边等号右边第一项第一项在在 时趋于零，其量级为时趋于零，其量级为 ；右边；右边第第二项二项形式上与原积分一样，形式上与原积分一样，可微能对它再进行分部积分，可微能对它再进行分部积分，积分后的量级也是积分后的量级也是 ，但其前面已有系数，但其前面已有系数 ，故上式等，故上式等 号右边第二项的量级为号右边第二项的量级为，再继续进行分部积分，可见整个，再继续进行分部积分，可见整个 在在k很大时量级最多为很大时量级最多为1/k的小量。的小量。如果如果在积分区间内在积分区间内 有一个有一个一级驻点一级驻点一级驻点一级驻点，则由于，则由于 而使而使 在在 处失去可微性，因而不能直接进行分部积分。处失去可微性，因而不能直接进行分部积分。第43页，此课件共51页哦则：则：后一个积分中把后一个积分中把 f 作为积分变量，则作为积分变量，则 其中：其中：令令 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 它在它在驻点驻点 处处(为为 型型)的的极限极限为为 ，从而，从而 也在积分区间内可微。也在积分区间内可微。由此，上面后一个积分的量级也是由此，上面后一个积分的量级也是 现在来考虑前一个积分，将现在来考虑前一个积分，将 按按Taylor级数展开，则级数展开，则第44页，此课件共51页哦 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 略去后面的高阶项，计及略去后面的高阶项，计及g(x)在区间内是在区间内是x的缓变函数，于是上述的缓变函数，于是上述 积分整个地可写为积分整个地可写为 令令，则，则 再令再令，同时考虑到，同时考虑到 时积分限时积分限，则得，则得 第45页，此课件共51页哦 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 由于由于，得，得 当当 时，第一项的量级为时，第一项的量级为 积分的贡献。所以，与不包含驻点的区间相比较，当积分的贡献。所以，与不包含驻点的区间相比较，当 时，时，也就是包含驻点的区间对，也就是包含驻点的区间对含驻点的区间对积分的贡献要重要的多。含驻点的区间对积分的贡献要重要的多。计及计及 可能为正或者负，通常把上述结果表示为可能为正或者负，通常把上述结果表示为如果区间内有多个一级驻点，可分为若干个子区间，使各个驻点如果区间内有多个一级驻点，可分为若干个子区间，使各个驻点都在其中，然后逐个用上式计算，再将结果加起来得到所需结果。都在其中，然后逐个用上式计算，再将结果加起来得到所需结果。第46页，此课件共51页哦对于对于复变量复变量的情形，积分可写成：的情形，积分可写成：于是于是(即鞍点即鞍点)2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 其中其中 是给定的积分路径。由是给定的积分路径。由 其中其中C 立即得出在立即得出在 点点 从前面的讨论可知对积分的主要贡献来自相位从前面的讨论可知对积分的主要贡献来自相位 稳定的区域，稳定的区域，即应来自即应来自的极值点附近。所以希望在经过的极值点附近。所以希望在经过 选出一个特定的方向，沿此方向，相位选出一个特定的方向，沿此方向，相位 能最迅速地变化而在能最迅速地变化而在 点的所有方向中点的所有方向中点取极值。点取极值。第47页，此课件共51页哦 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 由由最陡下降法最陡下降法的分析可知，如的分析可知，如取取 为常数的路径为常数的路径必为必为 变化最激烈的路径。可见，在复变函数情形下的驻相法实际变化最激烈的路径。可见，在复变函数情形下的驻相法实际上是上节最陡下降法取共轭路径的结果。上是上节最陡下降法取共轭路径的结果。在此路径上，由于在此路径上，由于 为常数，故为常数，故为纯虚数。再将为纯虚数。再将 在在 邻域展开为邻域展开为Taylor级数，略去级数，略去高阶小量，则高阶小量，则第48页，此课件共51页哦 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 故故 也应是纯虚数。若令也应是纯虚数。若令 这里这里 只能取只能取 。当当，则，则在积分路径上令在积分路径上令，由于只沿微小路径进行，可认为，由于只沿微小路径进行，可认为 是直线段，是直线段，不变，因而不变，因而 原积分渐近结果为原积分渐近结果为。应用驻相法，。应用驻相法，第49页，此课件共51页哦即：即：令令 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 ，则当，则当 时，相应的积分限可取时，相应的积分限可取，这样，这样 由于由于 故式中故式中同理，若取同理，若取，也得相同的算式。，也得相同的算式。第50页，此课件共51页哦2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 例：例：求求n阶第一类贝塞尔函数的渐近展开，阶第一类贝塞尔函数的渐近展开，n为整数。为整数。解：已知贝塞尔函数的积分表达式解：已知贝塞尔函数的积分表达式这里这里 得驻相点为得驻相点为，且，且，故当，故当 时有时有 因此，取实部并乘以因此，取实部并乘以，得第一类贝塞尔函数的渐近展开为，得第一类贝塞尔函数的渐近展开为第51页，此课件共51页哦