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群论第三章第1页，共139页，编辑于2022年，星期二 显然，这组算子满足以下性质：显然，这组算子满足以下性质：1、群的算子表示、群的算子表示 对群对群G中中的每个元，都有作用于线性空间的每个元，都有作用于线性空间V上的一个线性算上的一个线性算子与之对应，且满足：子与之对应，且满足：3-1 3-1 群的表示论的基本概念群的表示论的基本概念1 1）、封闭性）、封闭性2 2）、结合律成立）、结合律成立3 3）、存在单位元）、存在单位元4 4）、逆元存在）、逆元存在 可见这组算子成群，且同态于可见这组算子成群，且同态于G，所以，所以G的的每个表示就是它的一每个表示就是它的一个由作用于某一空间上的线性算子组成的同态像个由作用于某一空间上的线性算子组成的同态像.第2页，共139页，编辑于2022年，星期二 如：在对称变换的作用下：如：在对称变换的作用下：量子体系的状态相当于在空间中做了一次相应的搬动：量子体系的状态相当于在空间中做了一次相应的搬动：状态的变换也可以用对波函数的某种状态的变换也可以用对波函数的某种运算来实现，用运算来实现，用 表示这个运算的算子，表示这个运算的算子，记作：记作：由此可见：由此可见：上式亦可看作算子上式亦可看作算子 的定义，容易证明：对称操作的定义，容易证明：对称操作 是态矢空间（是态矢空间（Hillbert空间）中的线性幺正算子。空间）中的线性幺正算子。xOy第3页，共139页，编辑于2022年，星期二利用泰勒展开技术，可以证明平移算子的显式利用泰勒展开技术，可以证明平移算子的显式 当当 为空间平移（为空间平移（）时，）时，便是平移算子，由算子定义便是平移算子，由算子定义其中其中 为动量算子，算子的指数函数定义为：为动量算子，算子的指数函数定义为：当当 为空间反演时，为空间反演时，便是宇称算子：便是宇称算子：第4页，共139页，编辑于2022年，星期二幺正表示幺正表示：忠实表示忠实表示：当群元与表示的算子一一对应时，即群与表示的算子：当群元与表示的算子一一对应时，即群与表示的算子群同构时，表示称为忠实的群同构时，表示称为忠实的.单位表示单位表示：当当 为空间转动时，设转动角度为为空间转动时，设转动角度为 ，方向为转轴方向，方向为转轴方向，大小为转角，大小为转角，就是转动算子：就是转动算子：其中其中 轨道角动量算子轨道角动量算子第5页，共139页，编辑于2022年，星期二2 2 群的矩阵表示群的矩阵表示(1)(1)定义定义设设为为阶群，而阶群，而为一组阶数相同的为一组阶数相同的非奇异非奇异方阵，且满足方阵，且满足：若若 则则且且方矩阵组与群同态，即对方矩阵组与群同态，即对的每一个元的每一个元，对应着，对应着矩阵表示。矩阵表示。方矩阵群的一个矩阵方矩阵群的一个矩阵则称矩阵组则称矩阵组是群是群的一个的一个第6页，共139页，编辑于2022年，星期二中矩阵的阶中矩阵的阶称为表示的称为表示的维数维数。(2)(2)群的忠实表示群的忠实表示 叫做群的忠实表示。叫做群的忠实表示。若群若群与群与群相互同构，则由相互同构，则由的矩阵生成的表示的矩阵生成的表示否则，为非忠实表示。否则，为非忠实表示。元素：元素：例如，使群例如，使群的每个元素与数的每个元素与数对应：对应：表示：表示：就是一个非忠实表示。就是一个非忠实表示。第7页，共139页，编辑于2022年，星期二（1 1）一般来说，集合）一般来说，集合的的1 1维表示，也就是说由仅有一个元的矩阵形成的一维表示，维表示，也就是说由仅有一个元的矩阵形成的一维表示，即即 这种表示称为这种表示称为单位表示单位表示。任何群都有这么一个单位表示。任何群都有这么一个单位表示。说明：说明：构成了任一群构成了任一群 （2 2）单位表示是任意一群的非忠实表示，表明任一群）单位表示是任意一群的非忠实表示，表明任一群至少有一个非忠实表示。至少有一个非忠实表示。（3 3）任一群至少有一个忠实表示。）任一群至少有一个忠实表示。第8页，共139页，编辑于2022年，星期二(3)(3)群的表示的性质群的表示的性质 a.a.其中其中为单位矩阵。为单位矩阵。b.b.说明群的单位元必由一适当阶数的单位矩阵表示。说明群的单位元必由一适当阶数的单位矩阵表示。某元素的逆的矩阵表示，等于表示该元素的矩阵的逆。某元素的逆的矩阵表示，等于表示该元素的矩阵的逆。c.c.任何一个矩阵群任何一个矩阵群G本身是它自己的一个忠实表示本身是它自己的一个忠实表示.例：空间反演群例：空间反演群 E,I 在三维实坐标空间笛卡尔坐标系中的表示在三维实坐标空间笛卡尔坐标系中的表示第9页，共139页，编辑于2022年，星期二3.笛卡尔坐标系中对称操作的矩阵表示笛卡尔坐标系中对称操作的矩阵表示取取一一由由一一组组正正交交归归一一基基矢矢(e1,e2,e3)组组成成的的正正交交坐坐标标(如如笛笛卡卡尔尔坐坐标标系系),坐坐标标原原点点位位于于(点点)对对称称操操作作的的不不动动点点,对对称称操操作作R(例如转例如转 角角)对于位矢对于位矢a的作用为的作用为Ra=a(1)其中其中,原位矢原位矢 a=q1e1+q2e2+q3e3 (2)新位矢新位矢a=q1e1+q2e2+q3e3(3)因对称操作因对称操作R不改变位矢的长度不改变位矢的长度则则R(qa)=q(Ra)(a和和Ra皆为单位矢量皆为单位矢量)其中其中q为任意一数为任意一数,故故a=Ra=q1(Re1)+q2(Re2)+q3(Re3)(4)第10页，共139页，编辑于2022年，星期二其中其中Re1,Re2,Re3分别为分别为R作用后的新基矢作用后的新基矢e1,e2,e3e1=Re1=r11e1+r21e2+r31e3e2=Re2=r12e1+r22e2+r32e3(5)e3=Re3=r13e1+r23e2+r33e3即即ek=Rek=jrjkej(j,k=1,2,3)(6)将将(6)式代入式代入(4)式式,并与并与(3)式比较可得式比较可得q1=r11q1+r12q2+r13q3q2=r21q1+r22q2+r23q3(7)q3=r31q1+r32q2+r33q3即 qk =j rkj qj (j,k=1,2,3)(8)r11,r12,r13 令令D(R)=r21,r22,r23 (9)r31,r32,r33 第11页，共139页，编辑于2022年，星期二 则有则有 q1 q1 q2 =D(R)q2 (10)q3 q3(新老位矢在原基矢空间中坐标之间的关系新老位矢在原基矢空间中坐标之间的关系)D(R)就是对称操作就是对称操作R以以(e1,e2,e3)为基矢的表示为基矢的表示比较比较(6)式和式和(8)式式,不难看出有不难看出有e1e1e2=D(R)e2 (11)e3e3(新老基矢之间的关系新老基矢之间的关系)第12页，共139页，编辑于2022年，星期二可见：可见：(1)对称操作作用于位矢的变换矩阵对称操作作用于位矢的变换矩阵D(R)与作用于基矢与作用于基矢变换的变换矩阵变换的变换矩阵D(R)互为转置互为转置D（R）=D（R）(2)对对称称操操作作作作用用于于位位矢矢的的变变换换矩矩阵阵D(R)就就是是对对称称操操作作的的表表示示矩阵矩阵D(R)(3)先先求求对对称称操操作作作作用用于于基基矢矢的的变变换换矩矩阵阵D(R),然然后后将将其其转转置置,便得该称对称操作的表示矩阵便得该称对称操作的表示矩阵D(R).(4)选择不同的基矢选择不同的基矢,将获得不同的表示矩阵将获得不同的表示矩阵.第13页，共139页，编辑于2022年，星期二4.笛卡尔坐标系中对称元素的表示矩阵笛卡尔坐标系中对称元素的表示矩阵 (1)恒等操作恒等操作 E基矢的变换基矢的变换e1=Ee1=1e1+0e2+0e3e2=Ee2=0e1+1e2+0e3则则e1=Ee1=0e1+0e2+1e3e1e1100e1 e2=D(E)e2=010e2 e3e3001e3因此有因此有100D(E)=D(E)=010 001第14页，共139页，编辑于2022年，星期二(2)绕绕e3轴转轴转 角角(C)基矢的变换基矢的变换:e1=C e1=cos e1+sin e2+0e3e2=C e2=-sin e1+cos e2+0e3e3=C e1=0e1+0e2+1e3则则e1e1cos sin 0e1 e2=D(C)e2=-sin cos 0e2 e3e3001e3因此有因此有cos-sin 0D(C)=D(C)=sin cos 0 001第15页，共139页，编辑于2022年，星期二(3)镜面反映镜面反映(镜面通过镜面通过e3轴轴,且与且与e1,e3平面成平面成 角角)基矢的变换基矢的变换:e1=e1=cos2 e1+sin2 e2+0e3e2=e2=sin2 e1-cos2 e2+0e3e3=e1=0e1+0e2+1e3则则e1e1cos2 sin2 0e1 e2=D()e2=sin2-cos2 0e2 e3e3001e3因此有因此有cos2 sin2 0D()=D()=sin2-cos2 0 001第16页，共139页，编辑于2022年，星期二练习练习:1,试试画画出出笛笛卡卡尔尔坐坐标标系系的的原原基基矢矢(e1,e2,e3)及及其其经经过过中中心心反反演演作作用用后后的新基矢的新基矢(e1,e2,e3),并求出相应的表示矩阵并求出相应的表示矩阵.2,试试画画出出笛笛卡卡尔尔坐坐标标系系的的原原基基矢矢(e1,e2,e3)及及其其经经过过非非真真转转动动S3作作用用后后的的新新基基矢矢(e1,e2,e3),并并求求出出相相应应的的表表示示矩矩阵阵.(已已知知S3=C3,其中其中C3绕绕e1轴转动轴转动,为垂直与该转轴的镜面为垂直与该转轴的镜面)。第17页，共139页，编辑于2022年，星期二例：例：H2O分子对称操作群的表示矩阵分子对称操作群的表示矩阵.(1)基矢的选取基矢的选取(基矢不同基矢不同,表矢矩阵也不同表矢矩阵也不同)(2)群元群元:vvC2(3)表示矩阵表示矩阵第18页，共139页，编辑于2022年，星期二例：例：C3v的矩阵表示：的矩阵表示：2)存在一个存在一个2维表示维表示1)1)空间中取一组基，如图空间中取一组基，如图3)单位表示（恒等表示）单位表示（恒等表示）4)另一个一维表示另一个一维表示第19页，共139页，编辑于2022年，星期二 问题问题:由笛卡尔坐标系得群的表示是否唯一由笛卡尔坐标系得群的表示是否唯一?为什么为什么?（否（否,因为笛卡尔坐标系的选取不唯一因为笛卡尔坐标系的选取不唯一.）5.矢量空间矢量空间(广义矢量空间广义矢量空间 )分析分析:a.以真实空间的笛卡尔坐标系以真实空间的笛卡尔坐标系,虽能获得群的表示矩阵虽能获得群的表示矩阵,但不一定符合要求但不一定符合要求(不同领域有不同要求不同领域有不同要求).).为此必须寻求获得群表为此必须寻求获得群表示矩阵更灵活的途径示矩阵更灵活的途径.b.把群的表示矩阵视为把群的表示矩阵视为(广义广义)矢量空间中的算符矢量空间中的算符.c.选择适当的选择适当的(广义广义)矢量空间的基矢矢量空间的基矢,求出对称操作相应算符的求出对称操作相应算符的作用矩阵作用矩阵,从而获得所要求的表示矩阵从而获得所要求的表示矩阵.(1)(1)(广义广义)矢量空间矢量空间 矢量空间是无穷多个数学对象矢量空间是无穷多个数学对象(称为矢量称为矢量)的集合的集合,它们之间服从它们之间服从下列运算法则下列运算法则:第20页，共139页，编辑于2022年，星期二加法加法:a.a+b=b+a(交换律交换律)b.a+(b+c)=(a+b)+c(结合律结合律)c.有零矢量有零矢量0,a+0=ad.有逆矢量有逆矢量-a,a+(-a)=0数乘数乘:a.1a=ab.(a)=()a(,为复数为复数)c.(+)a=a+ad.(a+b)=a+b内积内积:定义内积定义内积(a,b)=,且满足以下条件且满足以下条件a.(a,b)=(b,a)*(内积与次序有关内积与次序有关)b.(a,b+c)=(a,b)+(a,c)c.(a,b)=(a,b)d.(a,a)0a=0,(a,a)=0第21页，共139页，编辑于2022年，星期二（2）(广义广义)矢量空间的一些基本概念矢量空间的一些基本概念a.线性无关线性无关(线性独立线性独立)有有n个矢量个矢量ai(i=1-n)若若 i iai只在只在 i时成立（对所有）时成立（对所有）则则这这n个个矢矢量量ai线线性性独独立立,否否则则(即即,有有 i 0时时,上上式式成成立立),为线性相关为线性相关.b.矢量空间的维数矢量空间的维数矢量空间的维数是其中彼此线性独立的矢量的最大个数矢量空间的维数是其中彼此线性独立的矢量的最大个数.说明：说明：矢量空间的维数可以是无穷大矢量空间的维数可以是无穷大,c.矢量正交矢量正交:若若(a,b)=0，则，则a,b二矢量正交。二矢量正交。第22页，共139页，编辑于2022年，星期二d.归一化矢量归一化矢量:若若(a,a)=1,则则a矢量为归一化矢量矢量为归一化矢量e.矢量空间的基矢矢量空间的基矢:矢矢量量空空间间中中一一组组1)数数目目最最大大的的,2)线线性性独独立立的的,3)归归一一化化的的矢矢量量(e1,e2,e3-en)可作为该矢量空间的基矢可作为该矢量空间的基矢.f.矢量的分量矢量的分量1)矢矢量量a的的表表示示:a=ieiai,ai为为矢矢量量a在在基基矢矢ei上上的的分分量量(投投影影)2)矢量矢量a在基矢在基矢ei上的分量上的分量(投影投影)(ei,a)=(ei,jejaj)=j(ei,ej)aj=j ijaj=aiai=(ei,a)则则a=ieiai=iei(ei,a)第23页，共139页，编辑于2022年，星期二g.子空间子空间若若R空空间间中中若若干干矢矢量量(也也为为无无穷穷多多)也也构构成成一一空空间间R,则则R为为R的子空间的子空间,它们具有如下性质它们具有如下性质:a)R的维数的维数n R的维数的维数nb)R中中与与R正正交交的的矢矢量量构构成成另另一一子子空空间间R”,其其维维数数为为n”有有:1)R与与R”正交正交,即两空间中矢量彼此线性独立即两空间中矢量彼此线性独立2)n+n”=nh.直和直和大空间是彼此正交的子空间的直和大空间是彼此正交的子空间的直和R=R R”问问:指的是两空间矢量集合吗指的是两空间矢量集合吗?例如例如:(X,Y,Z)空间空间=(X,Y)空间空间(Z)空间空间不是不是,指的应是基矢的集合指的应是基矢的集合内积的任意性内积的任意性:内积内积(a,b)的形式可根据情况定义的形式可根据情况定义量子力学中定义量子力学中定义:(1(r),2(r)=1*(r)2(r)d 第24页，共139页，编辑于2022年，星期二(3)几种几种(广义广义)矢量空间矢量空间a.真实空间真实空间(物理空间物理空间)三维真实空间三维真实空间R:r=ix+jy+kz二维真实空间二维真实空间R:r=ix+jy一维真实空间一维真实空间R”:r”=kzR=R R”,r=r+r”b.(动态动态)构型空间构型空间a)以以N个个质质点点的的(动动态态)位位置置来来描描述述整整体体的的(动动态态)构构型型,这这便便是是一一个个3N维维的的空空间间,每每一一个个整整体体的的(动动态态)构构型型便便是是这这3N维维空空间间的的一个矢量一个矢量.b)这这个个空空间间可可以以以以质质点点的的位位移移作作为为基基矢矢,基基矢矢的的原原点点为为相相应应质质点的平衡位置点的平衡位置.第25页，共139页，编辑于2022年，星期二c.函数空间函数空间函函数数空空间间是是由由函函数数(矢矢量量)的的集集合合构构成成的的空空间间,其其基基矢矢为为函函数数,它通常是一些自变量相同的函数它通常是一些自变量相同的函数.例例.以以en=cosnx(n=0,1,2-)(0 x 2)为为基基矢矢,即即以以(1,cosx，cos2x,cos3x,-)为基矢为基矢,构成矢量空间构成矢量空间.根根据据付付氏氏展展开开,x的的任任何何偶偶周周期期函函数数都都能能以以基基矢矢en展展开开.定定义这些作为基矢的函数彼此正交义这些作为基矢的函数彼此正交,即即(cosnx，cosmx)=nm(n,m=0,1,2-)由由此此构构成成一一无无穷穷多多维维的的函函数数空空间间r，r空空间间包包含含所所有有x的的偶偶周期函数周期函数.第26页，共139页，编辑于2022年，星期二例例:以以en=sinnx(n=1,2-)(0 x 2)为为基基矢矢,即即以以(sinx，sin2x,sin3x,-)为基矢为基矢,构成矢量空间构成矢量空间r.思思考考:n是是否否可可以以为为0?（不不能能,0矢矢量量不不能能作作为为基基矢矢,无无法法对对其其投投影）影）根根据据付付氏氏展展开开,x的的任任何何奇奇周周期期函函数数都都能能以以基基矢矢en展展开开,故故r空间为一无穷多维的函数空间空间为一无穷多维的函数空间,它包含所有它包含所有x的奇周期函数的奇周期函数.例例:由由于于cosmx与与sinnx彼彼此此线线性性独独立立(彼彼此此不不能能以以对对方方来来展展开开),故矢量空间故矢量空间 r与矢量空间与矢量空间r彼此正交彼此正交,两者组成一矢量空间两者组成一矢量空间R.R=r r.思思考考:R空空间间包包含含x 的的什什么么函函数数?（大大空空间间R包包含含所所有有x的的周周期期函函数）数）.第27页，共139页，编辑于2022年，星期二(4)(广义广义)矢量空间中的算符矢量空间中的算符a.算符算符算符算符A 作用在矢量作用在矢量x上上,得到矢量得到矢量Ax=ya)矢量矢量x,y 可以是位矢可以是位矢,也可以是函数也可以是函数b)只只要要知知道道A作作用用在在基基矢矢en上上的的结结果果,就就知知道道算算符符作作用用於於该该矢矢量空间中任一矢量的结果量空间中任一矢量的结果,即算符就完全确定了即算符就完全确定了.b.线性算符线性算符若若A(1x1+2x2)=1Ax1+2Ax2,则则A为线性算符。为线性算符。c.算符的乘积算符的乘积算符的乘积算符的乘积BA表示算符表示算符A,B的相继作用的相继作用BAx=B(A x)若若BA=AB,则则A,B为对易算符为对易算符算符不一定对易算符不一定对易,即即AB和和BA不一定相等不一定相等第28页，共139页，编辑于2022年，星期二d.逆算符逆算符若若有有A使使y=A x,又又有有A使使x=Ay,则则A为为A的的逆逆算算符符,即即A-1=A。注注意意：并并非非所所有有的的算算符符都都有有逆逆算算符符(例例如如奇奇异异矩矩阵阵算算符符就就没没有有逆算符逆算符)。e.算符的厄米共轭算符的厄米共轭a)某矢量空间有任意二矢量某矢量空间有任意二矢量x,y若若(x,A y)=(B x,y),则则B为为A的的厄厄米米共共轭轭,记记为为A+，即即B=A+或或(x,Ay)=(A+x,y)b)若若A=A+,则则A为厄米算符为厄米算符问问:算符矩阵算符矩阵A和和B是不是互为厄米共轭是不是互为厄米共轭?对对于于矩矩阵阵D,根根据据线线性性代代数数可可以以证证明明D+=D*(D*为为D的的复复共共轭轭转置矩阵转置矩阵)，故有，故有B+=(A+)+=A.第29页，共139页，编辑于2022年，星期二f.幺正算符幺正算符a)定义定义:若若A+A=AA+=1(A-1=A+=A*),则则A为为幺正算符幺正算符.b)性性质质:(Ax,A y)=(A+Ax,y)=(x,y),即即经经幺幺正正算算符符作作用用后后,两矢量的内积不变两矢量的内积不变c)在矢量空间中在矢量空间中,幺正算符作用的结果幺正算符作用的结果:1.矢量的长度不变矢量的长度不变;2.矢量间的夹角不变矢量间的夹角不变.(A x,A x)=(x,x),(A x,Ay)=(x,y)即即,幺正算符的作用相当于整体的转动幺正算符的作用相当于整体的转动第30页，共139页，编辑于2022年，星期二g.(幺正幺正)算符作用下基矢的变换算符作用下基矢的变换a)一一组组基基矢矢ei经经过过(幺幺正正)算算符符A变变换换成成为为一一组组新新基基矢矢ei,ei=Aei,ei保保持持正正交交归归一一化化关关系系不不变变,eiei,相相当当于于矢矢量量空空间的转动间的转动.b)反反之之,若若有有两两组组基基矢矢ei,ei彼彼此此原原点点相相重重,则则必必有有一一幺幺正正算符算符U把它们联系起来把它们联系起来(对应于转动对应于转动)ei=Ueih.(算符的算符的)不变子空间不变子空间矢矢量量空空间间R中中有有一一子子空空间间R,如如有有一一个个或或一一组组算算符符,作作用用在在R中中的的任任一一矢矢量量上上,其其结结果果仍仍在在R中中,则则R为为这这个个算算符符或或这这组组算算符符的的不不变变子空间子空间.可见可见,不变子空间是相对于算符而言的不变子空间是相对于算符而言的,是算符的不变子空间是算符的不变子空间.第31页，共139页，编辑于2022年，星期二32 (5)(广义广义)矢量空间中矢量和算符的矩阵表示矢量空间中矢量和算符的矩阵表示(矢量空间的基矢为矢量空间的基矢为ei)a.矢量的矩阵表示矢量的矩阵表示x=ieixixi=(ei,x)(矢量矢量x在基矢在基矢ei上的投影上的投影)则则(x1,x2,x3-xn)或或为矢量为矢量x的的矩阵表示矩阵表示,矢量的矩阵表示依赖于基矢。矢量的矩阵表示依赖于基矢。第32页，共139页，编辑于2022年，星期二33b算符的矩阵表示算符的矩阵表示(即求算符群元的表示矩阵即求算符群元的表示矩阵)1)算符作用于算符作用于(一组一组)基矢基矢(1)以某一基矢以某一基矢ei去去“内积内积”等式两边等式两边因因(只有只有i=i时点乘有值时点乘有值)则则将将i换成换成i得得:(2)第33页，共139页，编辑于2022年，星期二342)算符作用于矢量算符作用于矢量其中其中:则则利用利用(1)式得式得故故 两边用两边用ek作内积作内积,得得 因因 则有则有 (3)第34页，共139页，编辑于2022年，星期二353)算符矩阵表示的获得算符矩阵表示的获得由由(1)式式由由(3)式式对对(3)作作如如下下代代换换:将将k换换成成 j,将将j 换换成成i得得 (4)比较比较(1)式和式和(4)式可知式可知:由算符作用于由算符作用于基矢的变换矩阵基矢的变换矩阵(Aij)可获得算符作用可获得算符作用于于矢量的变换矩阵矢量的变换矩阵即算符的表示矩阵即算符的表示矩阵(Aji),两者的关系两者的关系是是互为互为转置转置.由前者可获得后者由前者可获得后者,即算符的表示矩阵即算符的表示矩阵.第35页，共139页，编辑于2022年，星期二36c.基矢变换引起算符表示矩阵的变换基矢变换引起算符表示矩阵的变换算符算符A在老基矢在老基矢ei中的表示矩阵中的表示矩阵A=Aij,Aij=(ei,Ae j)算符算符A在新基矢在新基矢l中的表示矩阵中的表示矩阵A”=Alm”,Alm”=(l,Am)若新老基矢的变换矩阵为若新老基矢的变换矩阵为U由由(1)式知式知由由(2)式知式知即即A”=U-1AU(U为幺正矩阵，有为幺正矩阵，有U+=U-1)(5)第36页，共139页，编辑于2022年，星期二 （6）函数空间中群的表示函数空间中群的表示 a.对称操作对称操作(算符算符)对坐标和函数的作用对坐标和函数的作用(寻寻求求当当对对称称操操作作使使函函数数和和坐坐标标(自自变变量量)一一起起转转动动时时,函函数数变变换换PR和坐标和坐标(自变量自变量)变换变换R之间的关系之间的关系)由于操作由于操作R的作用的作用:rr:r=Rr,r=R-1r (r)(r):(r)=PR(r)因函数与坐标因函数与坐标(自变量自变量)一起转动一起转动(操作不改变函数关系操作不改变函数关系)所以所以(r)=(r)=(R-1r)将将r换换成成r,(r=r)（都都是是空空间间的的位位矢矢坐坐标标,都都遍遍及及整整个个空间空间）得：得：(r)=(R-1r)又又(r)=PR(r)则有则有PR(r)=(R-1r)(6)第37页，共139页，编辑于2022年，星期二 相继操作相继操作 S S:坐标的变换坐标的变换r”=Sr=SRr函数的变换函数的变换”(r)=PS(r)=PSPR(r)=PS(R-1r)=R-1(S-1r)=R-1S-1r)=(SR)-1r=PSR(r)可见可见R和和PR群乘关系一一对应群乘关系一一对应:R,S,SRPR,PS,PSR(=PSPR)即即,若若坐坐标标空空间间中中的的操操作作R,S,T-构构成成群群，则则函函数数空空间间中中的的操操作作PR,PS,PT-也构成群也构成群,彼此同构彼此同构.结论结论:(1)PR(r)=(R-1r);(2)群群R与群与群PR同构同构;(3)群群PR的表示就是群的表示就是群R表示表示,可由可由PR的表示得的表示得R的表示的表示.第38页，共139页，编辑于2022年，星期二39b.PR的表示的表示(R在函数空间中的表示在函数空间中的表示)选选取取一一组组基基函函数数 1(r),2(r)-h(r)作作为为基基矢矢,构构成成函函数数空空间间,基基函函数数的数目就是函数空间的维数的数目就是函数空间的维数.将将PR作用于作用于 (r),由由(1)(1)式可知式可知(-(1)(-(1)PR (r)=(r)D(R)-(7)证明证明:D(R)可作为可作为PR的表示的表示,即证明即证明D(R)与与PR同构。同构。证证:PSPR (r)=PS (r)D(R)=PS (r)D(R)=(r)D(S)D(R)=(r)D(S)D(R)=(r)D(S)D(R)又又 PSR (r)=(r)D(SR)即有对应关系即有对应关系:PSPR=PSR，D(S)D(R)=D(SR)则则D(R)与与PR同构同构,D(R)可作为可作为PR的表示的表示,亦为亦为R的表示的表示.第39页，共139页，编辑于2022年，星期二40c.c.在函数空间中求群表示在函数空间中求群表示 步骤步骤:(1):(1)选取一组函数为基矢选取一组函数为基矢(基函数基函数),),从而构成一函数空间从而构成一函数空间;(2)(2)求出算符求出算符 PR作用于这组基函数的表示矩阵作用于这组基函数的表示矩阵D(R);(3)(3)由此可得由此可得 R的表示矩阵的表示矩阵D(R)例例,求求D3 群的表示群的表示r(1)选取函数空间选取函数空间:a.坐标坐标(自变量自变量)的选取的选取 球坐标球坐标r:r,原点位于三角形中心原点位于三角形中心,=0(为三角形平面为三角形平面),r不变不变b.基函数的选取基函数的选取:三维表示三维表示,三个基函数三个基函数 1()=cos2 2()=sin2 3()=21/2cos sin 第40页，共139页，编辑于2022年，星期二41(2)对称操作对坐标对称操作对坐标(自变量自变量)的作用的作用a.求求Rr(D3 群群,R:E,A,B,C,D,F)同类元素可互换同类元素可互换Er=r,Ar=r,Br=r,E=,A=-,B=1200-(不动不动)(=0的面为镜面的面为镜面)(=600的面为镜面的面为镜面)Cr=r,Dr=r,Fr=r,C=2400-,D=-1200,F=+1200(=-600的面为镜面的面为镜面)(转转1200)(转转1200)b.求求R-1（为了求（为了求PR,先先求求 R-1，查群表）查群表）E-1=E,A-1=A,B-1=BC-1=C,D-1=F,F-1=D第41页，共139页，编辑于2022年，星期二42(3)将算符将算符PR作用于基函数求算符作用于基函数求算符PR的表示的表示D(R)PR (r)=(R-1r)=(r)D(R)(7)例例:求求D(A)(R=A)A作用于三个基函数作用于三个基函数PA 1()=1(A-1)=1(A)=cos2(-)=cos2=1()PA 2()=2(A-1)=2(A)=sin2(-)=sin2=2()PA 3()=3(A-1)=3(A)=21/2cos(-)sin(-)=-21/2cos sin=-3()由此可得由此可得100D(A)=D(A)=010 00-1第42页，共139页，编辑于2022年，星期二43同理可得同理可得1361/21361/2D(B)=4-1 3161/2,D(C)=4-1 31-61/2 61/261/2-261/2-61/2213-61/2D(D)=4-1 3161/2 61/2-61/2-2习题习题:1,求由下列基函数构成的函数空间中求由下列基函数构成的函数空间中D3 群表示的群表示的D(F),1()=cos2,2()=sin2,3()=21/2cos sin 2,求由下列基函数构成的函数空间中求由下列基函数构成的函数空间中D3 群表示的群表示的D(B)和和D(D),1()=2-1/2(sin2-cos2),2()=21/2cos sin 第43页，共139页，编辑于2022年，星期二4 4 群的等价表示群的等价表示若群若群的两个表示的两个表示和和之间存在一非奇异矩阵之间存在一非奇异矩阵使得：使得：则称则称和和是是的等价表示。的等价表示。说明说明：（1 1）群的等价表示表明第一组矩阵可由第二组矩阵）群的等价表示表明第一组矩阵可由第二组矩阵通过矢量空间中坐标矢量的相似变换获得。通过矢量空间中坐标矢量的相似变换获得。（2 2）等价表示的维数一定相等。）等价表示的维数一定相等。第44页，共139页，编辑于2022年，星期二（3 3）等价于同一表示的表示相互等价。）等价于同一表示的表示相互等价。（4 4）两个等价表示所定义的矢量空间，是经过某一转）两个等价表示所定义的矢量空间，是经过某一转动前后的同一矢量空间。动前后的同一矢量空间。5 5 群的幺正表示群的幺正表示（1 1）幺正矩阵：如果一个矩阵幺正矩阵：如果一个矩阵U的逆的逆U-1等于矩阵等于矩阵U的的复共轭转置矩阵复共轭转置矩阵 ，U称为幺正矩阵。称为幺正矩阵。（2 2）幺正表示：若群幺正表示：若群G的一个矩阵表示中，的一个矩阵表示中，所有有矩所有有矩阵都是阵都是幺正矩阵，那么这个表示就称为群幺正矩阵，那么这个表示就称为群G的一个的一个幺正幺正表示表示。第45页，共139页，编辑于2022年，星期二定理定理（1 1）有限群的任何非奇异和矩阵表示，都可以通过相似有限群的任何非奇异和矩阵表示，都可以通过相似变换变成幺正表示。变换变成幺正表示。（2 2）若群若群G的两个幺正表示的两个幺正表示DG和和DG/是等价的，则必然是等价的，则必然存在一个存在一个幺正矩阵幺正矩阵U，使得：使得：第46页，共139页，编辑于2022年，星期二3.2 3.2 不变子空间和可约表示不变子空间和可约表示1、真子空间、真子空间若生成群若生成群的一个表示的矢量空间的一个表示的矢量空间具有如下性质具有如下性质:对于群对于群的每一个元素的每一个元素和和中的每一个矢量中的每一个矢量,仍属于仍属于,也也就是说矢量空间就是说矢量空间在群在群的变换下是封闭的的变换下是封闭的,即群即群的任一元素对的任一元素对中任一矢量的作用中任一矢量的作用,都不使之越出都不使之越出.定义定义:是其自身的子空间，但不是真子空间。是其自身的子空间，但不是真子空间。若矢量空间若矢量空间的每一个矢量都包含在另一个矢量空间的每一个矢量都包含在另一个矢量空间中中,则称则称为为的子空间。当的子空间。当的矢量不能穷尽的矢量不能穷尽时，称时，称为为的真子空间。的真子空间。说明说明:第47页，共139页，编辑于2022年，星期二2、不变子空间、不变子空间不变子空间是一个很重要的概念，物理学中的很多问题的简不变子空间是一个很重要的概念，物理学中的很多问题的简化就在于找出更多的不变子空间，在简化过程中坐标矢量发生变化就在于找出更多的不变子空间，在简化过程中坐标矢量发生变化，简言之，找不变子空间，实际上就是矢量空间基矢的变化。化，简言之，找不变子空间，实际上就是矢量空间基矢的变化。若若是群是群的一个表示的矢量空间的一个表示的矢量空间的一个真子空间，的一个真子空间，且且在群在群的作用下是封闭的，则称的作用下是封闭的，则称是是在群在群下的不下的不变子空间。而称空间变子空间。而称空间在群在群下是可约的。下是可约的。说明说明:第48页，共139页，编辑于2022年，星期二3、表示的可约性、表示的可约性证明证明:取群取群的两个表示矩阵的两个表示矩阵及及，构造一个新的矩阵，构造一个新的矩阵：其中其中是是维的，维的，是是维的，维的，是是维，可以证明维，可以证明也是群也是群的一个表示。的一个表示。第49页，共139页，编辑于2022年，星期二（1 1）、可约表示定义）、可约表示定义则称这个表示为则称这个表示为可约表示可约表示。若群若群的表示可以用同一个相似变换将群元的的表示矩阵的表示可以用同一个相似变换将群元的的表示矩阵、同时变成具有相同块结构的块状对角矩阵同时变成具有相同块结构的块状对角矩阵：换言之，可进一步对角化的表示为可约表示。换言之，可进一步对角化的表示为可约表示。第50页，共139页，编辑于2022年，星期二定理定理1：设设是群是群在在空间中的一个表示，空间中的一个表示，若若中存在中存在下的不变子空间下的不变子空间，则在则在适当的基下表示矩阵总有如下的形式：适当的基下表示矩阵总有如下的形式：其中其中是是阶方阵，阶方阵，是是阶方阵，阶方阵，是是行行列矩阵。列矩阵。说明说明:1:1）可约表示对应的矢量空间可再划分不变子空间）可约表示对应的矢量空间可再划分不变子空间;2 2）不不可可约约表表示示对对应应的的矢矢量量空空间间不不可可再再划划分分不不变变子子空空间间.第51页，共139页，编辑于2022年，星期二 定理定理2 2：设矩阵组设矩阵组和和是群是群的两个维数分别为的两个维数分别为和和的新表示，且的新表示，且的的基矢为基矢为，的基矢的基矢。说明说明:（1）定理）定理2表明群的表示不是唯一的。表明群的表示不是唯一的。（2）凡可写成）凡可写成形式的表示矩阵都称为可约表示。形式的表示矩阵都称为可约表示。（3）表示的可约性是与整个空间中真不变子空间的存在性相联系，有）表示的可约性是与整个空间中真不变子空间的存在性相联系，有真不变子空间，表示就可约，没有真不变子空间，表示就不约，反之亦真不变子空间，表示就可约，没有真不变子空间，表示就不约，反之亦然。然。第52页，共139页，编辑于2022年，星期二定理定理3 3：若群若群的一个矩阵表示中，所有的矩阵都是的一个矩阵表示中，所有的矩阵都是幺正的，那幺正的，那个这个表示就是群个这个表示就是群 的一个幺正表示的一个幺正表示。有限群的任一表示等价于（或者说通过一相似变有限群的任一表示等价于（或者说通过一相似变换可化为）一个幺正矩阵表示。换可化为）一个幺正矩阵表示。幺正表示：幺正表示：（1）幺正矩阵：）幺正矩阵：如果一个矩阵如果一个矩阵的逆的逆等于矩阵等于矩阵的复共轭转置矩阵的复共轭转置矩阵，就称作就称作幺正矩阵。幺正矩阵。（2）幺正表示：幺正表示：任何实正交矩阵任何实正交矩阵都是幺正的。都是幺正的。第53页，共139页，编辑于2022年，星期二证明：证明：式中求和遍及群式中求和遍及群的所有元素，根据任一厄米矩阵可以通过幺的所有元素，根据任一厄米矩阵可以通过幺正变换完全对角化。若正变换完全对角化。若是所需的是所需的幺正变换，则有：幺正变换，则有：定义如下厄米矩阵：定义如下厄米矩阵：为一对角矩阵，其对角元是为一对角矩阵，其对角元是的（实）本征值。的（实）本征值。第54页，共139页，编辑于2022年，星期二其中其中那么那么的第的第个对角元为：个对角元为：由于求和式中每一项都是非负的，故由于求和式中每一项都是非负的，故，但是当且仅当所有，但是当且仅当所有值和所有值和所有的元素的元素，都有，都有时，时，而这将使表示的所有，而这将使表示的所有矩阵行列式为零，故矩阵行列式为零，故，即，即是正定的。是正定的。第55页，共139页，编辑于2022年，星期二由于由于的所有元素都是正的，这使我们得到的所有元素都是正的，这使我们得到任意幂：任意幂：则：则：其中其中为任意正的或负的实数。