2021-2022学年高二物理竞赛课件：流体力学的速度和压强分布.pptx

流体力学流体力学的速度和压强分的速度和压强分布布v假设在理想不可压缩的重力流体中，有一象刚体一样以等角速度 绕自身轴旋转的无限长铅垂直涡束，其涡通量为J。涡束周围的流体在涡束的诱导下绕涡束轴等速圆周运动，由斯托克斯定理知 。由于直线涡束无限长，该问题可作一个平面问题研究。可以证明涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区，其半径为 ；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。v在环流区内，速度分布为:v在环流区内，压强分布由伯努里方程式导出。环流区内半径为 的点和无穷远处的伯努里方程:（7-31）亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）v 理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强度不随时间变化。v 若周线K为包围涡管任意的截面A的边界线。由汤姆孙定理知，该周线上的速度环量为常数。根据斯托克斯定理截面A上的旋涡强度为常数。因为A为任意截面，所以整个涡管各个截面旋涡强度都不瞬时间发生变化，即涡管的旋涡强度不随时间变化。v 由亥姆霍兹三定理可知，粘性流体的剪切应力将消耗能量，使涡管强度逐渐减弱。v式中的 即为 ，为无穷远处的压强。将 代入上式得:v由上式可知，在涡束外部的势流区内，随着环流半径的减小，流速上升而压强降低；在涡束边缘上，流速达该区的最高值，而压强则是该区的最低值，即：v涡束内部的速度分布为:（7-32）（7-33）由于涡束内部为有旋流动，伯努利积分常数随流线变化，故其压强分布可由欧拉运动微分方程导出。对于平面定常流动，欧拉运动微分方程为:将涡核内任意点的速度投影到直角坐标上，则有，代入上式得:将 和 分别乘以以上二式，相加后得:或 积分得:在与环流区交界处，代入上式，得积分常数：得涡核区的压强分布为：（7-30）由上式可知涡管中心的压强最低，其大小为 ，涡核区边缘至涡核中心的压强差为 由以上讨论可知，涡核区和环流区的压强差相等，其数值均为 。涡核区的压强比环流区的的低。在涡束内部,半径愈小,压强愈低，沿径向存在较大的压强梯度，所以产生向涡核中心的抽吸作用，涡旋越强，抽吸作用越大。自然界中的龙卷风和深水旋涡就具有这种流动特征，具有很大的破坏力。在工程实际中有许多利用涡流流动特性装置，如锅炉中的旋风燃烧室、离心式除尘器、离心式超声波发生器、离心式泵和风机、离心式分选机等。名称名称:势函数势函数(x,y)条件条件:无旋流无旋流引入引入:定义定义:等值线等值线:=C (等势线等势线)性质性质:等势线与速度垂直等势线与速度垂直流函数流函数(x,y)平面不可压缩平面不可压缩=C (流线）流线）,流线与等势线正交流线与等势线正交 例例 9090角域流的速度势和流函数角域流的速度势和流函数(2-1)(2-1)已知已知:90角域流的速度分布式为：角域流的速度分布式为：u=kx,v=ky（k为常数）。为常数）。求：求：（1 1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图；）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图；（2 2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图；）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图；解：解：（1 1）先计算速度旋度）先计算速度旋度 上式中上式中C为常数。速度势函数为为常数。速度势函数为 说明流场是无旋的，存在速度势说明流场是无旋的，存在速度势(x,y)，由（，由（C2.3.2C2.3.2）式）式(a)等势线方程为等势线方程为x2y2=常数，在常数，在xy平面上是分别以第一、三象限角平分线平面上是分别以第一、三象限角平分线和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如上图中的虚线所示。和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如上图中的虚线所示。（2 2）再计算速度散度）再计算速度散度 说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数(x,y)，由（，由（C2.3.11C2.3.11）式）式 上式中上式中C为常数，流函数为为常数，流函数为 流线方程为流线方程为xy=常数，在常数，在 xy平面上是分别以平面上是分别以 x,y轴为渐近线的双曲线族，轴为渐近线的双曲线族，如上图中的实线所示。如上图中的实线所示。x,y轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势线族轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势线族正交。正交。(b)例例 9090角域流的速度势和流函数角域流的速度势和流函数(2-2)(2-2)v 速度势函数v对于无旋流场，处处满足：，由矢量分析知，任一标量函数梯度的旋度恒为零，所以速度 一定是某个标量函数 的梯度，即:v因 v则有:v v v即流场的速度等于势函数 的梯度。因此，称 为速度势函数，简称速度势；称无旋流动为有势流动，简称势流。这与单位质量有势力和有势力场的势函数的关系相类似。（735）（736）证明：结论：无旋条件是速度有势的充要条件。无旋必然有势，有势必须无旋。所以无旋流场又称为有势流场。速度势的存在与流体是否可压缩、流动是否定常无关。在笛卡儿坐标系中：，由 则 ，代入 或 ，有所以得证v以上给出了在直角坐标系中速度势函数和速度的关系，在柱坐标系中v ，v 有势流动的速度势函数与速度的线积分有密切关系。若势流中有一曲线AB，速度沿该曲线积分为v v上式表明，有势流动中沿AB曲线的速度线积分等于终点B和起点A的速度势之差。由于速度势是单值的，则该线积分与积分路径无关。这与力做的功和位势的关系相类似。当速度沿封闭轴线积分时v即，周线上的速度环量等于零。（7-33）（7-34）（7-35）v 根据无旋条件，速度有势：代入不可压缩连续性条件可得：v 或v上述方程称作不可压无旋流动的基本方程。v在笛卡儿坐标系中：v v在柱坐标系中：v v式中 为拉普拉斯算子。满足拉普拉斯方程的函数为调和函数，故速度势是调和函数。（7-36）（7-37）（7-38）