江西省吉水中学2023届高三下学期第一次高中结业水平测试数学理试题含答案.docx

2023届第一次高中结业水平测试数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1已知集合A1，0，1，2，3，B1，2，3， 4 ，则AB（    ）A3B1，0，1，2，3，4C1，3D1，2，32已知复数，则（    ）A2BCD3某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取名学生进行调查，若一班有名学生，将每一学生编号从到，请从随机数表的第行第、列（下表为随机数表的前行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为（  ）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481ABCD4已知函数f（x）sin（x+）（0，）的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是（    ）Af（1）f（0）f（2）Bf（0）f（2）f（1）Cf（2）f（0）f（1）Df（2）f（1）f（0）5已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（    ）A1B2C3D46被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（    ）A2B9C99D1017已知，且，则（    ）ABCD8在直三棱柱中，则该直三棱柱的外接球的表面积是（    ）ABCD9已知两个随机变量，其中，若，且，则（    ）ABCD10已知点、是椭圆的左右焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，若为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是ABCD11已知函数，其中给出以下命题：若在上有且仅有1个极值点，则；若在上没有零点，则或；若在区间上单调递增，则或其中所有真命题的序号是（    ）ABCD12定义在上的函数若满足：对任意，且，都有；对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的最小值为（    ）A2BCD二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)13给定三点，那么通过点A并且与直线BC垂直的直线方程是_14某种饮料每箱装6听，若其中有2听不合格，质检员从中随机抽出2听，则含有不合格品的概率为_.15设函数的最大值为，最小值为，则= _16在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为_.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 - 21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和.18如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面平面，四边形为直角梯形，为中点，（，）.（1）设中点为，求证：平面；（2）若到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.19某班级数学兴趣小组为了研究人脚的大小与身高的关系，随机抽测了20位同学，得到如下数据：序号12345678910身高(厘米)192164172177176159171166182166脚长(码)48384043443740394639序号11121314151617181920身高(厘米)169178167174168179165170162170脚长(码)43414043404438423941（1）若“身高大于175厘米”为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”为“大码”，“脚长小于等于42码”的为“非大码”.请根据上表数据完成列联表，求出的值(结果精确到小数点后三位有效数字)，并说明有多大的可靠性认为“脚的大小与身高之间有关系”；（2）请根据“序号为5的倍数”的几组数据，求出关于的线性回归方程.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828；20已知为椭圆的下顶点，分别为的左、右焦点，且的短轴长为(1)求的方程；(2)设为坐标原点，为上轴同侧的两动点，两条不重合的直线，关于直线对称，直线与轴交于点，求的面积的最大值21已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求m的值：（2）若对于都有成立，试求m的取值范围；（3）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数n的取值范围.请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，圆C的参数方程(为常数)，以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆C的交点为，与直线的交点为，求线段的长.23【选修4-5： 不等式选讲】已知函数的最大值为.(1)求的值；(2)若，求的最大值.1D【分析】直接根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，所以故选：D【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.2B【分析】根据复数的乘方运算求出复数，再根据复数的模长公式可求得结果.【详解】因为，所以，所以.故选：B.3B【分析】从随机数表的第行第、列开始，依次向右读取为，其中符合条件，故可得结论.【详解】从随机数表的第行第、列开始，依次向右选取两个数字，选取编号在到之间，并且去掉重复的数字，符合条件的为，所以第五个编号为43.故选：B.4D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可【详解】函数的最小周期是，得2，则f（x）sin（2x+），f（x）关于中心对称，2×（）+k，kZ，即k，kZ，当k0时，即f（x）sin（2x），则函数在，上递增，在，上递减，f（0）f（），12，f（）f（1）f（2），即f（2）f（1）f（0），故选：D【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的单调性进行判断是解决本题的关键，属于中档题5B【分析】根据抛物线的定义求得参数【详解】由题意到准线的距离减去到轴距离等于1，所以，故选：B6D【分析】利用对数的运算性质即可求解.【详解】当，时，由，得，所以，所以，即信噪比变为原来的101倍故选：D7A【分析】由同角三角函数的基本关系和二倍角公式，将题目条件化简为，分子分母同时除以可求出，再将化简为，代入即可得出答案.【详解】依题意，可得，所以，即，整理得，即，解得或.又，所以，所以.故选:A.8C【分析】依题意将直三棱柱补成棱长为2，2，4的长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，根据长方体的体对角线即为外接球的直径，即可求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得；【详解】解：因为直三棱柱中，即，所以，又，所以将直三棱柱补成棱长为2，2，4的长方体，如图所示直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，设外接球的半径为，则，解得，所以外接球的表面积为，故选：C9D【分析】由，可得，结合正态分布的对称性，分析即得解【详解】由题意，所以，结合正态分布的对称性，.故选：D10D【详解】由于为锐角三角形，则， ， 或，又，则 ，选.【点睛】列出一个关于 的等式，可以求离心率；列出一个关于 的不等式，可以求离心率的取值范围.本题根据等腰三角形为锐角三角形，只需顶角为锐角，所以顶角的一半小于，利用正切函数在是单调增的，列出一个关于 的等式，求出离心率.11D【分析】对于，先整理得，再结合正弦函数的性质得到，从而得以判断正误；对于，先由正弦函数的性质得到，从而分析得，即或，从而可求得的取值范围.；对于，先由正弦函数的单调区间得到，从而分析得，即或，从而可求得的取值范围.【详解】,对于，因为在上有且仅有1个极值点，则在上只有一个最值，因为，所以，令，则，则在上只有一个最值，所以，得，故正确；对于，因为，所以，令，则，因为在上没有零点，则在上没有零点，所以，故，因为，所以，即，又由，得，故，又，所以或，当时，所以；当时，；综上：或，故正确；对于，因为，所以，令，则，因为在区间上单调递增，则在上单调递增，因为在上单调递增， 所以，故，因为，所以，即，又由，得，故，又，所以或，当时，所以；当时，；综上：或，故正确.故选：D.12C【分析】根据题意得到函数为单调递减函数和奇函数，化简不等式得到，画出表示的区域，将变换为，根据斜率得到最小值.【详解】对任意，且，都有，则函数单调递减；是以为中心的“中心捺函数，则即化简得到 ，为奇函数.，表示的区域如图所示：，根据图像知：表示点到原点的斜率当时有最大值为，故最小值为 故选 【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，线性规划，意在考查学生的综合应用能力和对于函数性质的灵活运用.13【分析】先求得直线BC的斜率，进而得到与直线BC垂直的直线的斜率，进而得到通过点A并且与直线BC垂直的直线方程【详解】直线BC的斜率，则与直线BC垂直的直线的斜率则通过点A并且与直线BC垂直的直线方程是，即故答案为：14【分析】含有不合格品分为两类：一件不合格和两件不合格，分别利用组合公式即可得到答案.【详解】质检员从中随机抽出2听共有种可能，而其中含有不合格品共有种可能，于是概率为：.【点睛】本题主要考查超几何分布的相关计算，难度不大.15【分析】计算得出，可得知函数的图象关于点对称，即可求得结果.【详解】因为函数的定义域为，所以，函数的图象关于点对称，故.故答案为：.16【分析】设G关于平面对称的点为，的周长，再通过建系以及转化思想转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况，由此可得结果.【详解】设G关于平面对称的点为，连接，则，的周长，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,，设，则，所以即点到与距离和的最小值，设关于x轴对称的点为，则故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况.17（1）；（2）.【分析】（1）利用可求出；（2）根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】（1）当时，当时，将代入上式验证显然适合，所以.（2）因为，所以，所以.【点睛】本题考查和的关系，考查分组求和法，属于基础题.18（1）见解析（2）【分析】（1）延长三棱台的三条侧棱，设交点为，时为的中点，设中点为，连，梯形中，中位线，根据线面平行的判定定理可得平面；同理可证平面，然后再根据面面平行的判定定理可得，平面平面，进而可证命题成立；（2）设中点为，连，在中作且交于点，由面面垂直的性质定理，可得，又，所以平面，所以为到平面的距离，且为直线与平面所成角；再根据面面垂直的性质定理，可得，可得，中，为的中点 ，由此即可求出线面角的正弦值.【详解】（1）延长三棱台的三条侧棱，设交点为时为的中点，设中点为，连梯形中，中位线，又平面，平面所以平面；中，中位线，又平面，平面所以平面又且平面，平面所以平面平面所以平面（2）设中点为，连，在中作且交于点，又，所以平面，所以为到平面的距离，且为直线与平面所成角平面，所以，中为的中点，所以为中点， ，所以直线与平面所成角的正弦值为.19（1）列联表答案见解析，有的把握认为，人的脚的大小与身高之间有关系（2）【分析】（1）根据题意，即可容易补充完整表格，结合表格数据，计算，故可判断；（2）分别计算的平均数，根据公式求得，则问题得解.【详解】（1）根据题意，填写列联表如下：高个非高个合计大脚516非大脚21214合计71320由表中数据，计算，所以，有的把握认为，人的脚的大小与身高之间有关系；（2）“序号为5的倍数”的数据有4组：；则，所以，从而关于的线性回归方程是.【点睛】本题考查的计算，以及线性回归方程的求解，属综合基础题.20(1)(2)【分析】（1）依题意根据椭圆的定义得到，再根据，即可求出、，从而求出椭圆方程；（2）设，直线MN的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，即可得到，从而得到直线恒过定点，即可求出面积的最大值；(1)解：由椭圆的定义可知，所以，因为，所以，由C的短轴长为得，解得， 所以，故C的方程为.(2)解：设，由（1）知，所以直线过点，因为两条不重合的直线，关于直线对称，所以，且M，N不同时为C左、右顶点设直线MN的方程，由，得，则，因为直线，关于直线对称，所以， 则，所以，即，因为，所以， 所以直线MN恒过定点，且，当与C的上顶点或下顶点重合，即时，OMP的面积取得最大值，即.21（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由导数的几何意义以及直线垂直斜率乘积为即可求解；（2）对求导判断在上的单调性即可得最大值，只需即可求解；（3），求导分析的单调性即最值，数形结合得出即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，直线的斜率为，因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，因为，所以，解得：或（舍）（2）由，由可得：；由可得：；所以在单调递增，在单调递减，所以当时，函数取得最大值，若对于都有成立，则，即，可得解得：，所以m的取值范围为，（3），当时，所以，由可得：；由可得：；所以在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，在单调递减，因为在区间上有两个零点，所以 即 可得 ，所以实数n的取值范围.【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.22（1）；（2）.【解析】（1）消参化为普通方程后，再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得结果；（2）解极坐标方程组可得的坐标，根据极径的几何意义可求得结果.【详解】（1）利用，把圆C的参数方程(为参数)化为，即，即.（2）设为点P的极坐标，由，解得.设为点Q的极坐标，由，解得.，.【点睛】关键点点睛：掌握极坐标与直角坐标的互化公式，并利用极径的几何意义求解是解题关键.23(1)(2)【分析】（1）利用分段函数的单调性求出函数的最大值，即可得到答案；（2）利用均值不等式得到，计算即可.【详解】（1）由于，当时，当时，当时，所以（2），即，时等号成立，故，有最大值为.