解析几何向量解析几何 (45).ppt
二次曲线的对称中心直线与二次曲线的相关位置二次曲线的对称中心本节讨论如何直接从原方程确定曲线的位置，主要从以下两方面讨论直线与二次曲线的相关位置讨论直线 l 与二次曲线 C：给定直线 过点 ，方向为 ，则其参数方程为：0(0,0)(,)112+212+222+21+22+0=0的相关位置：两个不同的交点，两个重合的交点，没有交点，有无数个交点。代入C的方程设 L 是平面上一条直线，过点 ，方向向量为 。为了研究L与二次曲线 C 的相交情况，将 L的参数方程0(0,0)(,)112+212+222+21+22+0=0将上式整理成关于 t 的方程11(0+)2+212(0+)(0+)+22(0+)2+21(0+)+22(0+)+0=0(112+212+222)2+2(110+120+1)+(120+220+2)+(1120+21200+2220+210+220+0)=0其中上式可以写成(,)2+21(0,0)+2(0,0)+(0,0)=0(,)=112+212+2221(0,0)=110+120+12(0,0)=120+220+2(0,0)=1120+21200+2220+210+220+0分两种情形：(,)+(,)+(,)+(,)=情形1(,)0情形2(,)=0下面分情况来讨论直线 L 与二次曲线 C 的交点(,)+(,)+(,)+(,)=1.(,)0其是关于 t 的二次方程，它的判别式 满足14=1(0,0)+2(0,0)2 (,)(0,0)情况（1a）0此时直线 L 与二次曲线 C 有两个不同的交点1,2(1 2)方程有两个互异的实根 .1(0+1,0+1)2(0+2,0+2)和情况（1b）=0说直线 L 与二次曲线 C 相交于两个重合的交点方程有两个相等的实根 .这时我们1=21(0+1,0+1)2(0+2,0+2)=情况（1c）0说直线 L 与二次曲线 C 有两个相互共轭的虚交点1(0+1,0+1)和方程有两个共轭的虚根 .这时我们(,)+(,)+(,)+(,)=这时又有三种情况.2.(,)=0情况（2a）方程是关于 t 的一次方程，直线 L 与二次曲线 C 有唯一的一个交点.方程无解，直线 L 与二次曲线 C 没有交点.方程成为恒等式，所有 t 均满足方程.因此直线 L 是二次曲线 C 的一部分（或全部）.情况（2b）情况（2c）1(0,0)+2(0,0)01(0,0)+2(0,0)=0(0,0)01(0,0)+2(0,0)=0(0,0)=0设X,Y是两个不全为零的实数.则X:Y确定了平面上的一个方向，即向量 确定的方向.定义给定二次曲线，如果一个方向X:Y满足条件(,)=112+212+222=0则称X:Y为二次曲线的渐近方向（渐近方向（asymptotic directionasymptotic direction）;否则，若 ，则称X:Y为二次曲线的非渐非渐近近方向方向.(,)0上面两个方程的判别式都是方程 是一个关于X,Y的齐次方程.如果 是它的解，则 也是它的解.因此可以把它看成是关于比值X:Y的二次方程(,)=112+212+222=0(0,0)(0,0)或11(:)2+212(:)+22=011+212(:)+22(:)2=0=4(212 1122)=42如果 或 ，由二次方程的求根公式得11 022 0由上可见当 I2 0时，C 没有渐进方向.(12):11=22:(12)如果 ，则 ，否则 C 不是二次曲线，这时 I2 02 0因为F（-2,2）=-4，方程简化为作移轴2+2 4=0将坐标变换公式代入可得简化方程再作移轴.转轴公式是这是一个椭圆，它的标准方程是122+322 4=0为了作出二次曲线的图形，先写出总的坐标变换公式因此两条对称轴分别是 x=0 即 x+y=0,和 y=0 即 x-y+4=0作图时，先画出新坐标轴.由坐标变换公式得x 轴的方程 y=0 即 y=x+4；y 轴的方程 x=0 即 y=-x .然后在曲线上找一些特殊点，如与 x 轴 y=0 的交点（0,2），（0,4），与 y 轴 y=-x 的交点（-0.85,0.85），（-3.15,3.15）椭圆型和双曲型二次曲线都是中心曲线；抛物型二次曲线是非中心曲线，其中抛物线是无心曲线，一对平行直线、一对虚平行直线、一对重合直线是线心曲线。
