北科大《材料力学》考点强化教程09.ppt
平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形几何性质：平面图形几何性质：截面面积 A A极惯性矩惯性矩 I变形小变形大4-1 4-1 静矩和形心静矩和形心1.1.静矩静矩 平面图形对平面图形对z轴的轴的静矩静矩平面图形对平面图形对y轴的轴的静矩静矩zAoydAyz静矩的性质静矩的性质静矩的性质静矩的性质:1、可为正、负、零；3、静矩的量纲：长度32、同一个平面图形对不同坐标轴的静矩是不同的；2.2.形心形心（yc,zc）对任意一个平面图形：zdAAoyyzyczcc形心坐标：形心坐标：形心坐标与静矩之间的关系：形心坐标与静矩之间的关系：1、平面图形对形心轴的、平面图形对形心轴的静矩一定为零静矩一定为零；结论：结论：结论：结论：2、若平面图形对某一轴的静矩等、若平面图形对某一轴的静矩等于零于零，那么这个轴一定过形心；，那么这个轴一定过形心；zyhb取微面积：例例例例1 1 1 1：计算图示三角形对y轴的静矩，及形心到y y轴的距离。dzzb(z)解：形心一般情况下，对哪个轴求静矩，就取与这一般情况下，对哪个轴求静矩，就取与这个轴平行的狭长矩形作为积分的面积元素个轴平行的狭长矩形作为积分的面积元素见书见书P102-例例4-1组合截面：组合截面：(yi、zi 第I个简单截面的形心在yoz坐标系的坐标)zoy(组合截面的形心坐标)由几个形心和面积已知的简单图形组成；例例2：求图示物体的形心坐标。解：矩形I：矩形II：单位单位:mm1201010zy80（yc，zc）Iy1z1IIy2y2z2形心：单位单位:mmy1z1I1201010zy80（yc，zc）y2IIy2IIz2例例4-3 4-3 求图示求图示T T形截面的形心坐标。形截面的形心坐标。解：解：建参考坐标系，建参考坐标系，y y轴为对称轴。轴为对称轴。将将T T形截面看成由两个矩形组成。形截面看成由两个矩形组成。A=AA=A1 1+A+A2 2=20=20 100+100100+100 20=4000mm20=4000mm2 2S Sz1z1=A=A1 1 y yc1c1 =200=2000 0(100+10)=2.2(100+10)=2.2 10105 5mmmm3 3S Sz2z2=A=A2 2 y yc2c2 =2=2000000(100/2)=1(100/2)=1 10105 5mmmm3 310010010010020202020y yc c=S Sz z/A=/A=80mm80mmS Sz z=S=Sz1z1+S+Sz2z2=3.2=3.2 10105 5mmmm3 3z zc c=0=0zy1 12 2*y yc c见书见书P104-例例4-24-2 4-2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径1.1.惯性矩惯性矩zdAAoyyz对原点o的极惯性矩:对z、y轴惯性矩:惯性矩，极惯惯性矩，极惯惯性矩，极惯惯性矩，极惯性矩的性质性矩的性质性矩的性质性矩的性质:1、只能为正（不能为零）；3、惯性矩的量纲：长度4；2、同一个平面图形对不同坐标轴的惯性矩是不同的；平面图形对任一对垂直轴的惯性矩之和平面图形对任一对垂直轴的惯性矩之和就等于其对这两个轴交点的极惯性矩就等于其对这两个轴交点的极惯性矩例例1:1:计算矩形截面对其形心轴的惯性矩。b/2b/2h/2h/2yz dA=bdy 同理对y轴矩形截面对形心轴的惯性矩:dyyb/2b/2h/2h/2yz对z轴的惯性矩:dzzb/2b/2h/2h/2yz取一与z轴平行的狭长矩形作为面积元素变形小I I 小变形大I I 大矩形截面矩形截面例例2 2 计算圆形对形心轴的惯性矩。计算圆形对形心轴的惯性矩。Dzy解：解：O空心圆截面对直径轴的惯性矩：空心圆截面对直径轴的惯性矩：实心圆截面对直径轴的惯性矩：实心圆截面对直径轴的惯性矩：组合截面：组合截面：2.2.惯性半径惯性半径 在材料力学计算中，为方便起见，可以把惯性矩在材料力学计算中，为方便起见，可以把惯性矩写成图形的面积写成图形的面积A与某与某长度长度i的平方的乘积形式：的平方的乘积形式：注意：一般地，注意：一般地，惯性半径并无法给出明确的几何解释。惯性半径并无法给出明确的几何解释。特殊地，圆形截面的惯性半径等于四分之一圆的直径值。特殊地，圆形截面的惯性半径等于四分之一圆的直径值。惯性半径称：称：惯性半径的性质惯性半径的性质惯性半径的性质惯性半径的性质:1、只能为正；2、量纲：长度惯性积惯性积:zdAAoyyz4-3 4-3 惯性积惯性积惯性积的性质惯性积的性质惯性积的性质惯性积的性质:1、可为正、负、零；3、惯性积的量纲：长度4；2、同一个平面图形对不同坐标轴的惯性积是不同的；Y，Z轴中只要有一个是对称轴，平面图形对这两个轴的惯性积就等于零；zydydzzydAdydzzydA求图示四分之一圆周与Y、Z轴形成的平面图形对Y，Z轴的惯性积。圆周半径为：R解：任取一面积元素dAoyyzA4-4 4-4 平行移轴公式平行移轴公式(对形心轴的静矩)zcycbacyczc1、平行移轴公式中的、平行移轴公式中的a和和b是形心在是形心在yoz坐标系中的坐坐标系中的坐标，可以为正，也可以为标，可以为正，也可以为负；负；2、平行移轴公式中的两对、平行移轴公式中的两对坐标轴必须平行，而且其坐标轴必须平行，而且其中的一对坐标轴必须过形中的一对坐标轴必须过形心；心；dAoyyzAzcycbacyczc解：解：？（1 1）先求过形心轴的惯性矩）先求过形心轴的惯性矩（2 2）再次利用平行移轴公式）再次利用平行移轴公式例、例、例、例、图示三角形截面图示三角形截面图示三角形截面图示三角形截面求：求：bhzz1zc*已知：已知：组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩例例1.1.求图形对求图形对y轴轴的惯性矩的惯性矩Iy平行移轴公式：1201010zy80单位单位:mmIII例例例例3.3.3.3.求图形对求图形对求图形对求图形对z z轴轴轴轴的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩I Iz z 半圆对自身形心轴的惯性矩圆对直径的惯性矩：半圆半圆zycz10040单位单位:mmc1Iaa1、半圆对z轴的惯性矩zyc半圆半圆c1Iaaz10040单位单位:mmc2II2、矩形对z轴的惯性矩例例例例4 4 4 4 计算图示圆孔截面的形心和对形心轴的惯性矩计算图示圆孔截面的形心和对形心轴的惯性矩计算图示圆孔截面的形心和对形心轴的惯性矩计算图示圆孔截面的形心和对形心轴的惯性矩解：解：z zy yD Dy y1 1c1 1）计算形心位置）计算形心位置用负面积法用负面积法因为图形对称于Z轴所以形心的Y坐标等于0z zy yD Dy y1 1c2 2）计算惯性矩）计算惯性矩见书见书P111-例例4-7，84-4 4-4 转轴公式转轴公式 主惯性轴主惯性轴z z1 1y y1 1y y1 1z z1 1已知：已知：可以建立：可以建立：与以及之间的关系如如y y1 1轴和轴和z1z1轴通过形心，同时轴通过形心，同时IyIy1z1=0,1z1=0,则称这两轴为：则称这两轴为：形心主惯性轴形心主惯性轴，对应的，对应的惯性矩称为：惯性矩称为：形心主惯性矩形心主惯性矩定义：如果定义：如果IyIy1z1=0,1z1=0,则则y y1 1轴和轴和z1z1轴轴为为主惯性轴主惯性轴；IyIy1 1和和I Iz1z1称称为为主惯性矩主惯性矩；主惯性矩将是该平面图形对过主惯性矩将是该平面图形对过OO点所有坐标轴的惯性矩中的点所有坐标轴的惯性矩中的极大、极小值极大、极小值对于杆件而言，横截面的对于杆件而言，横截面的形心主惯性轴形心主惯性轴和杆件和杆件的轴线的轴线 所形成的面称为：所形成的面称为：形心主惯性平面形心主惯性平面zydAyzO 如果截面具有一个如果截面具有一个对称轴对称轴，则此轴以及另一个，则此轴以及另一个和此轴相垂直的轴均为截面的和此轴相垂直的轴均为截面的主惯性轴主惯性轴。推论：推论：同时由于同时由于对称轴必过形心对称轴必过形心，则对称轴为截面的，则对称轴为截面的形心主惯性轴形心主惯性轴。横截面的横截面的对称轴和杆件轴线对称轴和杆件轴线就形成了：就形成了：形心主形心主惯性平面惯性平面。杆件的杆件的纵向对称面纵向对称面就是：就是：形心主惯性平面形心主惯性平面。4-4 4-4 转轴公式转轴公式 主惯性轴主惯性轴zydAyzz z1 1y y1 1y y1 1z z1 1主惯性轴主惯性轴主惯性矩主惯性矩分别取极分别取极大极小值大极小值O定义：如果定义：如果I Iy y1 1z1z1=0,=0,则则y y1 1轴和轴和z1z1轴轴为为主惯性轴主惯性轴。称：称：I Iy y1 1和和I Iz1z1为为主惯性矩主惯性矩，它们分别取图形所有，它们分别取图形所有可能的惯性矩中的极大、极小值。如两轴还通过可能的惯性矩中的极大、极小值。如两轴还通过形心，则称两轴为：形心，则称两轴为：形心主惯性轴形心主惯性轴，对应的，对应的惯性惯性矩称为：矩称为：形心主惯性矩形心主惯性矩推论：推论：如果截面具有一个对称轴，则此轴以及如果截面具有一个对称轴，则此轴以及另一个和此轴相垂直的轴均为为另一个和此轴相垂直的轴均为为主惯性轴主惯性轴。z zy yCzyC习题习题材料力学材料力学4-1;4-4 (a)(c)，4-34-6(a)
