2022-2023学年北京市第四中学高三第六次模拟考试数学试卷含解析.doc

2023年高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()ABCD2已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ）ABCD3集合，则（ ）ABCD4记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为( )ABCD5在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）A直角三角形B等腰非等边三角形C等腰或直角三角形D钝角三角形6已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ）A圆，但要去掉两个点B椭圆，但要去掉两个点C双曲线，但要去掉两个点D抛物线，但要去掉两个点7已知点P在椭圆：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆的另一个交点为B，若PAPB，则椭圆的离心率e=（ ）ABCD8函数图像可能是（ ）ABCD9已知，若，则等于（ ）A3B4C5D610已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为 ABCD11设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）ABCD12 “”是“直线与互相平行”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知数列的前项满足，则_.14设数列的前项和为，且对任意正整数，都有，则_15已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点与抛物线交于、两点和椭圆交于、两点，为抛物线准线上一动点，满足，当面积最大时，直线的方程为_.16已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知是等腰直角三角形,分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥()求证：平面平面()当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值18（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：（1）将上列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为，求的分布列及期望.（参考公式：（其中）19（12分）如图，已知抛物线：与圆： （）相交于， ， ，四个点，（1）求的取值范围；（2）设四边形的面积为，当最大时，求直线与直线的交点的坐标.20（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.（）求的方程；（）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.21（12分）已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）记关于的方程的两根分别为，求证：.22（10分）已知函数.（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】选B.考点：圆心坐标2、B【解析】由题意画出图形，设球0得半径为R，AB=x, AC=y,由球0的表面积为20，可得R2=5，再求出三角形A BC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球的半径为，由，得如图：设三角形的外心为，连接，可得，则在中，由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，则三棱锥的体积的最大值为故选：【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题3、D【解析】利用交集的定义直接计算即可.【详解】，故，故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.4、C【解析】据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案【详解】根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示：的圆及内部的平面区域，面积为，集合，表示的平面区域即为图中的，根据几何概率的计算公式可得，故选：C【点睛】本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型解决本题的关键是要准确求出两区域的面积5、C【解析】利用正弦定理将边化角，再由，化简可得，最后分类讨论可得；【详解】解：因为所以所以所以所以所以当时，为直角三角形；当时即，为等腰三角形；的形状是等腰三角形或直角三角形故选：【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题6、A【解析】根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.【详解】,，,又，,平面,又平面，故在以为直径的圆上，又是内异于的动点，所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B故选：A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.7、C【解析】设，则，设，根据化简得到，得到答案.【详解】设，则，则，设，则，两式相减得到：，即， ，故，即，故，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.8、D【解析】先判断函数的奇偶性可排除选项A,C，当时，可分析函数值为正，即可判断选项.【详解】,即函数为偶函数，故排除选项A,C，当正数越来越小，趋近于0时，所以函数，故排除选项B,故选：D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.9、C【解析】先求出，再由，利用向量数量积等于0，从而求得.【详解】由题可知，因为，所以有，得，故选：C.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.10、A【解析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解【详解】解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x1，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，由抛物线的定义可得|PF|PM|x1，记KPF的平分线与轴交于根据角平分线定理可得，当时，当时，综上：故选：A【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键考查学生的计算能力，属于中档题11、B【解析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：定义域为，为偶函数，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递减，由得：，解得：或，的取值范围为.故选：.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.12、A【解析】利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当时，直线方程为与，可得两直线平行；若直线与互相平行，则，解得，则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，故选【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知写出用代替的等式，两式相减后可得结论，同时要注意的求解方法【详解】，时，得，又，（）故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式，由已知条件类比已知求的解题方法求解14、【解析】利用行列式定义，得到与的关系，赋值，即可求出结果。【详解】由，令，得，解得。【点睛】本题主要考查行列式定义的应用。15、【解析】根据均值不等式得到，根据等号成立条件得到直线的倾斜角为，计算得到直线方程.【详解】由椭圆，可知，（当且仅当，等号成立），直线的倾斜角为，直线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16、【解析】，可得在时，最小值为，时，要使得最小值为，则对称轴在1的右边，且，求解出即满足最小值为.【详解】当，当且仅当时，等号成立.当时，为二次函数，要想在处取最小，则对称轴要满足并且，即，解得.【点睛】本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比较，得到结果，题目较综合，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 ()见解析. () .【解析】(I)证明平面得出平面，根据面面垂直的判定定理得到结论；(II)当平面时，棱锥体积最大，建立空间坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得出答案【详解】(I)证明： 分别为的中点 ，又平面平面，又平面平面平面(II)，为定值当平面时，三棱锥的体积取最大值以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系则，设平面的法向量为，则即，令可得平面 是平面的一个法向量平面与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算，关键是能够根据体积的最值确定垂直关系，从而可以建立起空间直角坐标系，利用空间向量法求得二面角，属于中档题18、（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，期望为.【解析】（1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2）首先确定的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望.【详解】（1）根据题意及列联表可得完整的列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付401050不使用移动支付104050合计5050100根据公式可得，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为，则的可能为1，2，3，且，其分布列为123.【点睛】独立性检验依据的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注意变量的取值以及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目.19、（1）（2）点的坐标为【解析】将抛物线方程与圆方程联立,消去得到关于的一元二次方程, 抛物线与圆有四个交点需满足关于的一元二次方程在上有两个不等的实数根,根据二次函数的有关性质即可得到关于的不等式组,解不等式即可.不妨设抛物线与圆的四个交点坐标为，据此可表示出直线、的方程,联立方程即可表示出点坐标,再根据等腰梯形的面积公式可得四边形的面积的表达式,令,由及知,对关于的面积函数进行求导，判断其单调性和最值,即可求出四边形的面积取得最大值时的值,进而求出点坐标.【详解】（1）联立抛物线与圆的方程消去，得.由题意可知在上有两个不等的实数根.所以解得，所以的取值范围为.（2）根据（1）可设方程的两个根分别为，（），则，且，所以直线、的方程分别为，,联立方程可得,点的坐标为，因为四边形为等腰梯形,所以，令，则，所以，因为,所以当时,；当时,， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，四边形的面积取得最大值，因为,点的坐标为,所以当四边形的面积取得最大值时,点的坐标为.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.20、（）（为参数）；（）【解析】（）设点，则，代入化简得到答案.（）分别计算，的极坐标方程为，取代入计算得到答案.【详解】（）设点，故，故的参数方程为：（为参数）.（），故，极坐标方程为：；，故，极坐标方程为：.，故，故.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.21、（1）见解析； （2）见解析【解析】（1）对函数求导，对参数讨论，得函数单调区间，进而求出极值；（2）是方程的两根，代入方程，化简换元，构造新函数利用函数单调性求最值可解.【详解】（1）依题意，；若，则，则函数在上单调递增，此时函数既无极大值，也无极小值；若，则，令，解得，故当时，单调递增；当时，单调递减，此时函数有极大值，无极小值；若，则，令，解得，故当时，单调递增；当时，单调递减，此时函数有极大值，无极小值；（2）依题意，则，故，；要证：，即证，即证：，即证，设，只需证：，设，则，故在上单调递增，故，即，故.【点睛】本题考查函数极值及利用导数证明二元不等式.证明二元不等式常用方法是转化为证明一元不等式，再转化为函数最值问题.利用导数证明不等式的基本方法：(1)若与的最值易求出，可直接转化为证明；(2)若与的最值不易求出，可构造函数，然后根据函数 的单调性或最值，证明.22、（1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析.【解析】（1）当时，求得其导函数 ，可求得函数的图象在处的切线方程；（2）由已知得，得出导函数，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性； （3）当时，由（2）得的单调区间，以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，构造函数，分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.【详解】（1）当时，所以 ，所以函数的图象在处的切线方程为，即；（2）由已知得，令，得，所以当时，当时，所以在上是减函数，在上是增函数；（3）当时，由（2）得在上单调递减，在单调递增，所以，且时，当时，所以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，构造函数，则，当时，所以，在上单调递减，且，由 ，在上单调递增， .所以.【点睛】本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题.