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第五章第五章 三角函数三角函数5.35.3 诱导公式教案诱导公式教案【教材分析】【教材分析】本节主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六，其推导过程中涉及到对称变换，充分体现对称变换思想在数学中的应用，在练习中加以应用，让学生进一步体会的任意性；综合六组诱导公式总结出记忆诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，了解从特殊到一般的数学思想的探究过程，培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用，要求学生能熟练的掌握和应用。【教学目标与核心素养】【教学目标与核心素养】课程目标课程目标1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。数学学科素养数学学科素养1.数学抽象：理解六组诱导公式；2.逻辑推理：“借助单位圆中三角函数的定义推导出六组诱导公式；3.数学运算：利用六组诱导公式进行化简、求值与恒等式证明.【教学重难点】【教学重难点】重点：重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；难点：难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题【教学方法】【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】【教学过程】一、情景导入一、情景导入利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到0,2)角后，又如何将0,2)角间的角转化到0,)角呢？2除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课二、预习课本，引入新课阅读课本 188-192 页，思考并完成以下问题1.，的终边与 的终边有怎样的对称关系？2诱导公式二、三、四的内容是什么？3.的终边与 的终边有怎样的对称关系？4.诱导公式五、六的内容是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究三、新知探究1.公式一：:终边相同的角sin(k 360)sinsin(2k)sincos(k 360)coscos(2k)costan(k 360)tantan(2k)tan2.公式二：终边关于 X 轴对称的角sin(）-sincos(）costan(）tan3.公式三：终边关于 Y 轴对称的角sin(180）sin，sin(）sincos(180）-cos，cos(）-costan(180）tan，tan(）tan4.公式四：任意与180 的终边都是关于原点中心对称的终边关于原点对称的角sin(1800+)=sin，sin（+）=sincos(1800+)=cos,cos（+）=costan（180+）=tan,tan（+）=tan5.公式五:终边关于直线 yx 对称的角的诱导公式(公式五)：sin(900)=sin(2)=cos；ccos(900)=cos(2)=sin.6、公式六:型诱导公式(公式六)：2sin(900+)=sin(2+)=cos；ccos(900+)=cos(2+)=sin.【说明】【说明】：公式中的指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；【方法小结】【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：化负角的三角函数为正角的三角函数；化为0,2内的三角函数；化为锐角的三角函数。可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三题型一给角求值题型一给角求值例例 1 1 求下列各三角函数式的值：(1)sin(660)；(2)cos27；(3)2cos660sin630；4(4)tan375.sin63【答案】(1)321；(2)；(3)0；(4).222【解析】(1)因为660236060，3所以 sin(660)sin60.2(2)因为27327326，所以 coscos.44442(3)原式2cos(72060)sin(72090)12cos60sin902 10.2375(4)tansin3662tansin63tan331sin.63322解题技巧：（利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤）利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：跟踪训练一跟踪训练一1求下列各三角函数式的值：31；(3)tan(945)(1)sin1320；(2)cos6【答案】(1)33；(2)；(3)-122【解析】(1)sin1320sin(4360120)sin(120)sin(18060)sin603.25316(2)coscoscos666cos3.62(3)tan(945)tan945tan(2252360)tan225tan(18045)tan451.题型二化简、求值题型二化简、求值例例 2 2 化简sin2 cos coscos1129cos sin3 sin sin22.【答案】见解析.【解析】原式=解题技巧：(化简求值的方法)用诱导公式化简求值的方法：1.对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.2.对于k和这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，2sincos sin sin cos sinsincos=cos=tan sin而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.跟踪训练二跟踪训练二1.化简:cos-sin522sin(-)cos(2-).sincos1222已知 cos，求的值cos 232【答案】1.见解析；2.3【解析】1.原式=2.原式2sin()2cos(-)sincos=cossincos=sin.sin2cossinsinsinsinsin2sin.cossin1又 cos，231所以sin.32所以原式2sin.3题型三给值求值题型三给值求值例例 3 3 已知sin(530)=5,且 2700 900,求 sin(370)的值.【答案】26.51【解析】因为2700 900，所以1430 530 3230,又因为sin(530)=5,所以530 在第二象限.所以cos(530)=2651易知(530)(370)=900，所以sin(370)=sin900(530)=cos(530)=解题技巧：（给值求值解题技巧）1给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值2 巧用相关角的关系会简化解题过程 观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系.在转化过程中可以由已知到未知,也可以由未知索已知.常见的互余关系有，；，3632；，等 常见的互补关系有，；，6443343等4跟踪训练三跟踪训练三2651.已知 cos(23-)=3,求33cos(3+),sin(-6),cos(43;cos(3343+)的值.【答案】cos(3+)=-3;sin(-6)=【解析】cos(3+)=cos-(23+)=3.3-)=-cos(23-)=-3.233sin(-6)=sin2-(-)=cos(cos(23-)=3.323433+)=cos2-(-)=3.3-)=cos(2五、课堂小结五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计六、板书设计5.35.3诱导公式诱导公式公式一例 1例 2例 3公式二公式三公式四公式五公式六总结（奇变偶不变吧，符号看象限）七、作业七、作业课本 194 页习题 5.3.【教学反思】【教学反思】诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移2个长度单位而得到的5.35.3 诱导公式导学案诱导公式导学案【学习目标】【学习目标】知识目标知识目标1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。核心素养核心素养1.数学抽象：理解六组诱导公式；2.逻辑推理：“借助单位圆中三角函数的定义推导出六组诱导公式；3.数学运算：利用六组诱导公式进行化简、求值与恒等式证明.【重点与难点】【重点与难点】重点：重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；难点：难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题【学习过程】【学习过程】一、一、预习导入阅读课本 188-192 页，填写。1.公式一：:终边相同的角sin(k 360)sinsin(2k)sincos(k 360)coscos(2k)costan(k 360)tantan(2k)tan2.公式二：终边关于 X 轴对称的角sin(）-sincos(）costan(）tan3.公式三：终边关于 Y 轴对称的角sin(180）sin，sin(）sincos(180）-cos，cos(）-costan(180）tan，tan(）tan4.公式四：任意与180 的终边都是关于原点中心对称的终边关于原点对称的角（+）=sinsin(1800+)=sin，sincos(1800+)=cos,cos（+）=costan（180+）=tan,tan（+）=tan5.公式五:终边关于直线 yx 对称的角的诱导公式(公式五)：sin(900)=sin(2)=_；ccos(900)=cos(2)=_.6、公式六:型诱导公式(公式六)：2sin(900+)=sin(2+)=_；ccos(900+)=cos(2+)=_.【说明】【说明】：公式中的指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；记忆方法：“_”；【方法小结】【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：化负角的三角函数为正角的三角函数；化为0,2内的三角函数；化为锐角的三角函数。可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。【小试牛刀】【小试牛刀】1(1)sin257_；(2)tan_.462(1)sin_；(2)cos 330_；33(1)sin5_；(2)tan 1 560_.67_.64(1)sin 225_；(2)cos15(1)若 sin，则 cos_；324_.(2)若 cos，则 sin52【自主探究】【自主探究】题型一题型一给角求值给角求值例例 1 1 求下列各三角函数式的值：27(1)sin(660)；(2)cos；(3)2cos 660sin 630；4(4)tan375.sin63跟踪训练一跟踪训练一1求下列各三角函数式的值：31；(3)tan(945)(1)sin 1 320；(2)cos6题型二题型二化简、求值化简、求值例例 2 2 化简sin(2)cos(+)cos(+)cos(11)29cos()sin(3)sin()sin(+)22.跟踪训练二跟踪训练二1.化简:cos(-)sin(5)22sin(-)cos(2-).sincos1222已知 cos，求错误错误!的值23cos 题型三题型三给值求值给值求值例例 3 3 已知sin(530)=5,且 2700 900,求 sin(370)的值.跟踪训练三跟踪训练三1.已知 cos(【课堂检测】【课堂检测】231-)=3,求3cos(),sin(-),cos(3643)的值.331已知sin()，则sin()值为（）424A.3311 B.C.D.22222cos(+)=A.13，2,sin(2-)值为（）223331 B.C.D.22223化简：12sin(2)cos(2)得（）A.sin2cos2 B.cos2 sin2C.sin2cos2D.cos2 sin24已知tan3，3，那么cossin的值是25求值：2sin(1110)sin960+2 cos(225)cos(210)6已知方程 sin(3)=2cos(4)，求sin()5cos(2)的值。32sin()sin()2答案答案小试牛刀小试牛刀11(1)(2)1.22(1)33(2).2213(1)(2)3.2234.(1)(2).22145.(1)(2).35自主探究自主探究例例 1 1【答案】(1)321；(2)；(3)0；(4).222【解析】(1)因为660236060，所以 sin(660)sin 603.2(2)因为27327326，所以 coscos.44442(3)原式2cos(72060)sin(72090)12cos 60sin 902 10.2(4)tan375sin36tan6sin263tan331sin.63322跟踪训练一跟踪训练一1【答案】(1)33；(2)；(3)-122【解析】(1)sin 1 320sin(4360120)sin(120)sin(18060)sin 603.25316(2)coscoscos666cos(3)tan(945)tan 945tan(2252360)tan 225tan(18045)tan 451.例例 2 2【答案】见解析.【解析】原式=跟踪训练二跟踪训练二1.【答案】见解析.【解析】原式=22.【答案】.3【解析】原式cossinsinsinsinsin2sincossin2sin()23.62sin(cos)(sin)(sin)cos sinsincos=cos=tan sincos(-)sincos=cossincos=sin.sin2.1又 cos，231所以sin.32所以原式2sin.3例例 3 3【答案】26.5【解析】因为2700 900，所以1430 530 3230,又因为sin(530)=,所以530 在第二象限.51所以cos(530)=265易知(530)+(370+)=900，所以sin(370+)=sin900(530)=cos(530)=跟踪训练三跟踪训练三1.【答案】cos(3+)=-3;sin(-6)=【解析】cos(3+)=cos-(23343;cos(33265+)=3.3-)=-cos(23-)=-3.233sin(-6)=sin2-(-)=cos(cos(23-)=3.323433+)=cos2-(-)=3.3-)=cos(2当堂检测当堂检测1-3CC41323526【答案】4【解析】sin(3)=2cos(4)sin(3)=2cos(4)sin(=)=2cos(2cos且 cos)0sin原式 sin5cos 2cos5cos3cos3 2cossin 2cos 2cos 4cos4
