2021新教材高中数学第10章概率 教学用书教案新人教A版必修第二册.pdf

第十章概率10.110.1 随机事件与概率10.1.110.1.1有限样本空间与随机事件有限样本空间与随机事件素养目标定方向素养目标1理解样本点和有限样本空间的含义.(数学抽象)学法指导1类比集合的有关概念来认识样本空间.2类比集合与集合之间的关系来认识随机事2理解随机事件与样本点的关系.(逻辑推理)件.必备知识探新知知识点 1随机试验及样本空间1随机试验的概念和特点(1)随机试验：我们把对_随机现象_的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母 E 来表示.(2)随机试验的特点：试验可以在相同条件下_重复_进行；试验的所有可能结果是_明确可知_的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.2样本点和样本空间定义样本点样本空间我们把随机试验 E 的_每个可能的基本结果_称为样本点全体_样本点_的集合称为试验E 的样本空间如果一个随机试验有 n 个可能结果有限样本空间w，w1w2，n，则称样本空间字母表示用_w_表示样本点用_表示样本空间w1，w2，wnnw1，w2，wn为有限样本空间知识点 2三种事件的定义随机我们将样本空间 的_子集_称为随机事件，简称事件，并把只包含_一事件个_样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，表示.在每次试验中，当且仅当A 中某个样本点出现时，称为事件A 发生必然事件不可能事件 作为自身的子集，包含了_所有的_样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以 总会发生，我们称 为必然事件空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件知识解读1随机试验的三个特点(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.2关于样本点和样本空间(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.3事件与基本事件(1)随机事件是样本空间的子集.随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件.(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形.关键能力攻重难题型探究题型一事件类型的判断典例 1在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)如果 a、b 都是实数，那么 abba；(2)从分别标有 1,2,3,4,5,6 的 6 张号签中任取一张，得到 4 号签；(3)没有水分，种子发芽；(4)某电话总机在 60 秒内接到至少 15 个电话；(5)在标准大气压下，水的温度达到 50 时会沸腾；(6)同性电荷相互排斥.分析依据事件的分类及其定义，在给出的条件下，判断事件是否发生.解析结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知.(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件.(2)从 6 张号签中任取一张，得到 4 号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件.(4)电话总机在 60 秒内接到至少 15 个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.(5)在标准大气压下，水的温度达到 100 时，开始沸腾，水温达到 50，水不会沸腾，故此事件是不可能事件.(6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件.归纳提升判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).【对点练习】指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：(1)我国东南沿海某地明年将受到 3 次冷空气的侵袭；(2)抛掷硬币 10 次，至少有一次正面向上；(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中 50%的炮弹击中目标.解析(1)我国东南沿海某地明年可能受到 3 次冷空气侵袭，也可能不是 3 次，是随机事件.(2)抛掷硬币 10 次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件.(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是 50%，也可能不是 50%，是随机事件.题型二确定试验的样本空间典例 2下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间.(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；(2)从集合 Aa，b，c，d中任取 3 个元素；(3)从集合 Aa，b，c，d中任取 2 个元素.解析(1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正).(2)一次试验是指“从集合 A 中一次选取 3 个元素组成集合”，试验的样本空间为：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d).(3)一次试验是指“从集合 A 中一次选取 2 个元素”，试验的样本空间为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d).归纳提升不重不漏地列举试验的所有样本点的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决.【对点练习】袋中装有大小相同的红、白、黄、黑 4 个球，分别写出以下随机试验的条件和样本空间.(1)从中任取 1 球；(2)从中任取 2 球.解析(1)条件为：从袋中任取 1 球.样本空间为红，白，黄，黑.(2)条件为：从袋中任取 2 球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，样本空间为(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑).题型三随机事件的表示典例 3一个口袋内装有除颜色外完全相同的 5 个球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中一次摸出 2 个球.(1)一共有多少个样本点？(2)写出“2 个球都是白球”这一事件的集合表示.解析(1)分别记白球为 1,2,3 号，黑球为 4,5 号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 个其中(1,2)表示摸到 1 号球和 2号球.(2)记 A 表示“2 个球都是白球”这一事件，则 A(1,2)，(1,3)，(2,3).归纳提升1判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.2试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错.【对点练习】做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中 x 表示红色骰子出现的点数，y 表示蓝色骰子出现的点数.写出：(1)这个试验的样本空间；(2)这个试验的结果的个数；(3)指出事件 A(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)的含义；(4)写出“点数之和大于 8”这一事件的集合表示.解析(1)这个试验的样本空间 为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).(2)这个试验的结果的个数为 36(3)事件 A 的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为 7(4)记 B“点数之和大于 8”，则 B(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).易错警示忽视试验结果与顺序的关系而致误典例 4已知集合 M2,3，N4,5,6，从这两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标.(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验的基本事件的总数.错解(1)这个试验的基本事件空间(2，4)，(2,5)，(2,6)，(3，4)，(3,5)，(3,6).(2)这个试验的基本事件的总数是 6错因分析题中要求从两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标，所以集合N 中的元素也可以作为横坐标，错解中少了以下基本事件：(4，2)，(4,3)，(5，2)，(5,3)，(6，2)，(6,3).正解(1)这个试验的基本事件空间(2，4)，(2,5)，(2,6)，(3，4)，(3,5)，(3,6)，(4，2)，(4,3)，(5，2)，(5,3)，(6，2)，(6,3).(2)这个试验的基本事件的总数是 12【对点练习】同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记 A 为“所得点数之和小于 5”，则事件 A 包含的样本点的个数是(D)A3C5B4D6解析(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共 6 个样本点.10.1.2事件的关系和运算素养目标定方向素养目标1理解事件的关系与运算.(逻辑推理)2理解互斥事件和对立事件的概念.(数学抽象)学法指导本部分内容要类比集合的关系和运算来理解事件的关系和运算.必备知识探新知知识点 1事件的运算定义并事件_事件 A 与事件 B 至少有一个发生_，称这个事件为表示法_AB_(或_AB_)图示事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)_事件 A 与事件 B 同时发交事件生_，称这样一个事件为事_AB_(或_AB_)件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)知识点 2事件的关系定义包含关系若事件 A 发生，事件B_一定发生_，称事件 B 包含事件 A(或事件 A 包含于事件 B)_BA_(或_AB_)如果事件 A 与事件 B_不能同时发生_，称事件A 与事件 B 互斥(且互不相容)如果事件 A 和事件 B 在任何一对立事件则 A 与 B 对立立，事件 A 的对立事件记为A知识解读1互斥事件与对立事件的区别与联系(1)区别：两个事件A 与 B 是互斥事件，包括如下三种情况：若事件A 发生，则事件 B就不发生；若事件 B 发生，则事件 A 就不发生；事件 A，B 都不发生.而两个事件 A，B 是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A 与 B 是对立事件，则AB 是必然事件，但若 A 与 B 是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件 A 的对立事件只有一个，而事件 A 的互斥事件可以有多个.(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.2从集合的角度理解互斥事件与对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件 A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集.次试验中_有且仅有一个发生_，称事件A 与事件 B 互为对若_AB_，且 AB，若_AB_，则 A 与 B 互斥表示法图示互斥事件关键能力攻重难题型探究题型一互斥事件、对立事件的判定典例 1(1)(2020河南省南阳市期中)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(A)A两次都中靶C两次都不中靶B至少有一次中靶D只有一次中靶(2)(2020湖南省怀化市期末)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(D)A恰有一次击中C三次都击中不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.(2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.归纳提升判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的.(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用 Venn 图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.【对点练习】有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是(A)A互斥但非对立事件C非互斥事件件，但不是对立事件.题型二事件的运算典例 2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件 C1出现 1 点，事件 C2出现 2 点，事件 C3出现 3 点，事件 C4出现 4 点，事件 C5出现 5 点，事件 C6出现 6 点，事件 D1出现的点数不大于 1，事件 D2出现的点数大于 3，事件 D3出现的点数小于 5，事件 E出现的点数小于 7，事件 F出现的点数为偶数，事件 G出现的点数为奇数，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.解析(1)因为事件 C1，C2，C3，C4发生，则事件 D3必发生，所以 C1D3，C2D3，C3D3，C4D3B对立事件D以上都不对B三次都没击中D至多击中一次解析(1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此解析由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事同理可得，事件 E 包含事件 C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件 D2包含事件 C4，C5，C6；事件 F 包含事件 C2，C4，C6；事件 G 包含事件 C1，C3，C5且易知事件 C1与事件 D1相等，即 C1D1(2)因为事件 D2出现的点数大于 3出现 4 点或出现 5 点或出现 6 点，所以 D2C4C5C6(或 D2C4C5C6).同理可得，D3C1C2C3C4，EC1C2C3C4C5C6，FC2C4C6，GC1C3C5归纳提升事件运算应注意的 2 个问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用 Venn 图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.【对点练习】盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取 3 个球，设事件A3 个球中有 1 个红球 2 个白球，事件 B3 个球中有 2 个红球 1 个白球，事件 C3 个球中至少有 1 个红球，事件 D3 个球中既有红球又有白球.问：(1)事件 D 与 A，B 是什么样的运算关系？(2)事件 C 与 A 的交事件是什么事件？(3)设事件 E3 个红球，事件 F3 个球中至少有 1 个白球，那么事件 C 与 B，E是什么运算关系？C 与 F 的交事件是什么？解析(1)对于事件 D，可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球，故DAB.(2)对于事件 C，可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球或 3 个均为红球，故 CAA.(3)由事件 C 包括的可能结果有 1 个红球 2 个白球，2 个红球 1 个白球，3 个红球三种情况，故 BC，EC，而事件 F 包括的可能结果有 1 个白球 2 个红球，2 个白球 1 个红球，3 个白球，所以 CF1 个红球 2 个白球，2 个红球 1 个白球D.题型三用集合运算表示随机事件典例 3设 A，B，C 表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C 表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生；(3)A 发生，B，C 不发生；(4)A，B 都发生，C 不发生；(5)A，B 至少有一个发生，C 不发生；(6)A，B，C 中恰好有两个发生.解析(1)ABC(2)ABC(3)ABC(4)ABC(5)(AB)C(6)ABCA B CA BC归纳提升利用随机事件的运算与集合运算的对应关系，可以有效地解决此类问题.【对点练习】从某大学数学系图书室中任选一本书.设 A 表示事件“任选一本书，这本书为数学书”；B 表示事件“任选一本书，这本书为中文版的书”；C 表示事件“任选一本书，这本书为 2000 年后出版的书”.问：(1)AB C表示什么事件？(2)在什么条件下有 ABCA?(3)CB 表示什么意思？解析(1)AB C表示事件“任选一本书，这本书为 2000 年或 2000 年前出版的中文版的数学书”.(2)在“图书室中所有数学书都是 2000 年后出版的且为中文版”的条件下才有 ABCA.(3)CB 表示 2000 年或 2000 年前出版的书全是中文版的.易错警示不能正确区分对立事件和互斥事件致错典例 4进行抛掷一枚骰子的试验，有下列各组事件：(1)“出现 1 点”与“出现 2 点”；(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”；(3)“出现大于 3 的点”与“出现大于 4 的点”.其中是对立事件的组数是(B)A0C2错解C错因分析错解混淆了互斥事件与对立事件，误将互斥事件当作了对立事件.只有(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是对立事件，而(1)中“出现 1 点”与“出现 2 点”是互斥事件，但不是对立事件，(3)中“出现大于 3 的点”与“出现大于 4 的点”不是互斥事件，所以也不是对立事件.正解B误区警示对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件.忽略互斥事件与对立事件之间的区别与联系，对“恰”“至少”“都”等词语理解不透彻.判断两个事件是否互斥，就要看它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要看它们是否有一B1D3个必然发生.【对点练习】(2020广东省茂名市期末)若干人站成一排，其中为互斥事件的是(A)A“甲站排头”与“乙站排头”B“甲站排头”与“乙站排尾”C“甲站排头”与“乙不站排头”D“甲不站排头”与“乙不站排头”解析根据互斥事件不能同时发生，判断 A 是互斥事件；B，C，D 中两事件能同时发生，故不是互斥事件.10.1.3古典概型素养目标定方向素养目标1古典概型的计算方法.(数学抽象)2运用古典概型计算概率.(数学运算)3在实际问题中建立古典概型模型.(数学建模)学法指导1明确古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题.2注意区分有放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数不变)与无放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数减少).必备知识探新知知识点 1随机事件的概率对随机事件发生 _可能性大小 _的度量(数值)称为事件的概率，事件A 的概率用_P(A)_表示.知识点 2古典概型一般地，若试验 E 具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有_有限个_；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性_相等_.称试验 E 为古典概型试验，其数学模型称为_古典概率_模型，简称_古典概型_.知识点 3古典概型的概率公式一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个kn样本点，则定义事件 A 的概率 P(A)_ _nn知识解读(1)随机试验 E 中的样本点任何两个样本点都是互斥的；A_.任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和.(2)求解古典概型问题的一般思路明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；根据实际问题情景判断样本点的等可能性；计算样本点总个数及事件A 包含的样本点个数，求出事件A 的概率.关键能力攻重难题型探究题型一古典概型的判断典例 1下列试验是古典概型的是_.从 6 名同学中选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中可能性大小相等；同时掷两颗骰子，点数和为 6 的概率；近三天中有一天降雨的概率；10 人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.分析紧扣古典概型的两大特征有限性与等可能性进行判断.解析是古典概型，因为符合古典概型的特征.不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.归纳提升判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征 有限性和等可能性.【对点练习】下列是古典概型的是(C)A任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率，将去除的正整数作为基本事件时C从甲地到乙地共 n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止解析A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故 A 不是；B 项中的基本事件是无限的，故 B 不是；C 项满足古典概型的有限性和等可能性，故 C 是；D 项中基本事件可能会无限个，故 D 不是.题型二古典概型的概率计算典例 2甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1男 2 女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一所学校的概率.分析(1)要求 2 名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解.(2)要求选出的 2 名教师来自同一所学校的概率，应先求出 2 名教师来自同一所学校的基本事件.解析(1)甲校 2 名男教师分别用 A，B 表示，1 名女教师用 C 表示；乙校 1 名男教师用 D 表示，2 名女教师分别用 E，F 表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，从中选出 2 名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共 4 种，4所以选出的 2 名教师性别相同的概率为P.9(2)从甲校和乙校报名的 6 名教师中任选 2 名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 15 种.从中选出 2 名教师来自同一所学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，62(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共 9 种.F)，(E，F)，共 6 种，所以选出的 2 名教师来自同一所学校的概率为P.归纳提升1对于古典概型，任何事件A 的概率为：A包含的基本事件的个数mP(A).基本事件的总数n2求古典概型概率的步骤为：(1)判断是否为古典概型；(2)算出基本事件的总数 n；(3)算出事件 A 中包含的基本事件个数m；m(4)算出事件 A 的概率，即 P(A).n在运用公式计算时，关键在于求出m、n.在求 n 时，应注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错.3对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要一一列举出来，只将我们解题需要的列举出来分析即可.【对点练习】某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2，A3和 3 个欧洲国家 B1，B2，B3中选择 2 个国家去旅游.155(1)若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1但不包括 B1的概率.解析(1)由题意知，从 6 个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共 15 个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共 3 个，31则所求事件的概率为 p.155(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共 9 个.包括 A1但不包括 B1的事件所包含的样本点有：2(A1，B2)，(A1，B3)，共 2 个，则所求事件的概率为p.9题型三较复杂的古典概型的概率计算典例 3某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x，y.奖励规则如下：若 xy3，则奖励玩具一个；若 xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解析用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 与点集 S(x，y)|xN N，yN,N,1x4，1y4一一对应.因为 S 中元素的个数是 4416，所以基本事件总数 n16(1)记“xy3”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件共 5 个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1).55所以 P(A)，即小亮获得玩具的概率为.1616(2)记“xy8”为事件 B，“3xy，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.归纳提升解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：(1)试验必须具有古典概型的两大特征有限性和等可能性.(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件.【对点练习】甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2，红桃 3，红桃 4，方片 4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.解析(1)方片 4 用 4表示，试验的样本空间为 (2,3)，(2,4)，(2,4)，(3,2)，(3,4),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，则样本点的总数为 12(2)不公平.甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4，2)，(4，3)5 种，57甲胜的概率为 P1，乙胜的概率为 P21257P(B)P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件 D，由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则P(D)P(ABC)P(AB C)P(A BC)21421531511 .52952952930归纳提升求较为复杂事件的概率的方法(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.1 3 3【对点练习】三个元件 T1，T2，T3正常工作的概率分别为，将它们中某两个2 4 4元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？解析记 T1正常工作为事件 A，T2正常工作为事件 B，T3正常工作为事件 C，1234则 P(A)，P(B)P(C)，电路不发生故障，即 T1正常工作且 T2，T3至少有一个正常工作，T2，T3至少有一个正常工作的概率3P111315(4)41)(，16所以整个电路不发生故障的概率为11515PP(A)P1.21632易错警示混淆互斥事件和独立事件的概念典例 4甲投篮的命中率为 0.8，乙投篮的命中率为 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少？错解记 A“甲恰好命中 2 次”，B“乙恰好命中 2 次”，则 P(两人恰好都命中 2次)P(A)P(B)30.820.230.720.30.825错因分析错误地把相互独立事件当成互斥事件来考虑，将“两人恰好都命中 2 次的概率”理解成 A“甲恰好命中 2 次”与 B“乙恰好命中 2 次”的概率之和.正解记 A“甲恰好命中 2 次”，B“乙恰好命中 2 次”，A，B 为相互独立事件，两 人 恰 好 都 命 中2次 的 概 率 为P(AB)，则P(AB)P(A)P(B)30.820.230.720.30.169误区警示首先理解清楚互斥事件与相互独立事件的概念，并且区分计算概率的公式.A，B 为互斥事件时，有概率公式为P(AB)P(A)P(B)，A，B 为独立事件时，有概率公式为 P(AB)P(A)P(B).【对点练习】打靶时甲每打 10 次，可中靶 8 次；乙每打 10 次，可中靶 7 次.若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是(D)33B414D25454714710A靶的概率 P.故选 D5102551225C解析由题意知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，两人打靶相互独立，同时中10.3频率与概率10.3.110.3.1频率的稳定性频率的稳定性10.3.210.3.2随机模拟随机模拟素养目标定方向素养目标学法指导1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.(数学抽1体会试验次数对频率的影响，象)感受频率的随机性.2理解概率的意义，利用概率知识正确求解现实生活中的2感受随着次数增加频率趋于实际问题.(数学运算)稳定的特点.3理解概率的意义及频率与概率的区别.(逻辑推理)3把握频率估计概率的特征.4能够利用古典概型或蒙特卡洛法进行求解.(数据分析)必备知识探新知知识点频率的稳定性与随机模拟1频率的稳定性大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 A 发生的频率具有_随机性_.一般地，随着试验次数 n 的增大，频率偏离概率的幅度会_缩小_，即事件 A 发生的频率 fn(A)会逐渐稳定于事件 A 发生的概率 P(A)，我们称频率的这个性质为频率的_稳定性_.因此我们可以用频率fn(A)估计_概率 P(A)_.2随机数的产生(1)标号：把 n 个_大小、形状_相同的小球分别标上 1,2,3，n.(2)搅拌：放入一个袋中，把它们_充分搅拌_.(3)摸取：从中摸出_一个_.这个球上的数就称为从 1n 之间的随机整数，简称随机数.3伪随机数的产生(1)规则：依照确定的算法.(2)特点：具有周期性(周期很长).(3)性质：它们具有类似_随机数_的性质.计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为_伪随机数_.4产生随机数的常用方法_用计算器产生_；_用计算机产生_；_抽签法_.5随机模拟方法(蒙特卡洛方法)利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的 _频率_来估计_概率_，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.知识解读1频率与概率的关系概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.说明：(1)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同.而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关.(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.2用随机模拟法估计概率(1)随机模拟法估计概率的思想随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.(2)随机模拟法的优点不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去.(3)随机模拟法的步骤建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.关键能力攻重难题型探究题型一频率与概率的关系典例 1下列说法正确的是(A)频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；m做 n 次随机试验，事件A 发生了 m 次，则事件 A 发生的概率 P(A)；n含百分比的数是频率，但不是概率；频率是不能脱离 n 次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；概率是频率的稳定值.ACBD解析根据频率与概率的定义，可知正确；概率不是频率，而中所给的是事件A发生的频率，因此错误；概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此错误；根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此正确，正确.故选A归纳提升(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.【对点练习】下列说法一定正确的是(D)A一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况1B一个骰子掷一次得到 2 的概率是，则掷 6 次一定会出现一次 26C若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D随机事件发生的概率与试验次数无关解析A 错误，概率小不代表一定不发生；B 错误，概率不等同于频率；C 错误，概率是预测，不必然出现；D 正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关.题型二用随机事件的频率估计其概率典例 2某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共 1 000 支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组700,900)900,1 100)1 100,1 300)1 300,1 500)1 500,1 700)1 700,1 900)1 900，)(1)将各组的频率填入表中；频数4812120822319316542频率(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率.解析(1)利用频率的定义可得：700,900)的频率是 0.048；900,1 100)的频率是 0.121；1 100,1 300)的频率是 0.208；1 300,1 500)的频率是 0.223；1 500,1 700)的频率是 0.193；1700,1 900)的频率是 0.165；1 900，)的频率是 0.042所以频率依次是 0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042(2)样本中使用寿命不足 1 500 小时的灯管的频率是0.0480.1210.2080.2230.6，所以估计灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率是 0.6归纳提升由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生.从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.【对点练习】假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于 200 h 的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了 200 h，试估计该产品是甲品牌的概率.5201解析(1)甲品牌产品寿命小于 200 h 的频率为，用频率估计概率，所以甲品10041牌产品寿命小于 200 h 的概率为.4(2)根据抽样结果，寿命大于 200 h 的产品共有 7570145(个)，其中甲品牌产品是 757515，用频率估计概率，个，所以在样本中，寿命大干 200 h 的产品是甲品牌的频率是15所以已使用了 200 h 的该产品是甲品牌的概率为.2914529题型三简单的随机模拟试验的应用典例 3一份测试题包括 6 道选择题，每题 4 个选项且只有一个选项是正确的，如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对 3 道题的概率.(已知计算机或计算