2019年北京市中考数学试题、试卷(解析版).pdf

20192019 年北京市中考数学试题、试卷（解析版）年北京市中考数学试题、试卷（解析版）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 1616 分分,每小题每小题 2 2 分分)1（2 分）（2019北京）4 月 24 日是中国航天日.1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000 米，将 439000 用科学记数法表示应为（）A0.439106B4.39106C4.39105D4391032（2 分）（2019北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）ABCD3（2 分）（2019北京）正十边形的外角和为（）A180B360C720D14404（2 分）（2019北京）在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a，2，将点 A向右平移 1 个单位长度，得到点 C，若 COBO，则 a 的值为（）A3B2C1D15（2 分）（2019北京）已知锐角AOB，如图，（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作连接 CD；（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交（3）连接 OM，MN根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）于点 M，N；，交射线 OB 于点 D，ACOMCODCMNCDB若 OMMN则AOB20DMN3CD+）（m2n2）的值为（）D36（2 分）（2019北京）如果m+n1，那么代数式（A3B1C17（2 分）（2019北京）用三个不等式 ab，ab0，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A0B1C2D38（2 分）（2019北京）某校共有200 名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分时间 t人数学生类型性别男女学段初中高中7831292525263630324448110t10 10t20 20t30 30t40t40下面有四个推断：这 200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5 25.5之间这 200 名学生参加公益劳动时间的中位数在2030 之间这 200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在2030 之间这 200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在2030 之间所有合理推断的序号是（）A BCD 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 1616 分，每小题分，每小题 2 2 分）分）9（2 分）（2019北京）分式的值为 0，则 x的值是10（2 分）（2019北京）如图，已知ABC，通过测量、计算得 ABC的面积约为cm2（结果保留一位小数）11（2 分）（2019北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是（写出所有正确答案的序号）12（2 分）（2019北京）如图所示的网格是正方形网格，则 PAB+PBA（点A，B，P 是网格线交点）13（2 分）（2019北京）在平面直角坐标系xOy 中，点 A（a，b）（a0，b0）在双曲线y上，点 A 关于 x 轴的对称点 B 在双曲线 y，则 k1+k2的值为14（2 分）（2019北京）把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图 3 所示的正方形，则图1 中菱形的面积为15（2 分）（2019北京）小天想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差 s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去 90，得到一组新数据 2，0，4，4，9，5，记这组新数据的方差为s12，则 s12s02（填“”，“”或”）16（2 分）（2019北京）在矩形 ABCD 中，M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点重合），对于任意矩形 ABCD，下面四个结论中，存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形；存在无数个四边形 MNPQ 是矩形；存在无数个四边形 MNPQ 是菱形；至少存在一个四边形MNPQ 是正方形所有正确结论的序号是二、解答题（本题共二、解答题（本题共6868 分，第分，第 17-2117-21 题，每小题题，每小题 5 5 分，第分，第 22-2422-24 题，每小题题，每小题 5 5 分，第分，第 2525 题题5 5 分，第分，第 2626 题题 6 6 分，第分，第 27-2827-28 题，每小题题，每小题 5 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，程，17（5 分）（2019北京）计算：|（4）0+2sin60+（）118（5 分）（2019北京）解不等式组：19（5 分）（2019北京）关于 x 的方程 x22x+2m10 有实数根，且 m 为正整数，求 m的值及此时方程的根20（5 分）（2019北京）如图，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E，F 分别在 AB，AD上，BEDF，连接 EF（1）求证：ACEF；（2）延长EF 交 CD 的延长线于点 G，连接BD 交 AC 于点 O若BD4，tanG，求AO 的长21（5 分）（2019北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数 对国家创新指数得分排名前40 的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析下面给出了部分信息：a国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7 组：30 x40，40 x50，50 x60，60 x70，70 x80，80 x90，90 x100）；b国家创新指数得分在60 x70 这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d中国的国家创新指数得分为69.5（以上数据来源于国家创新指数报告（2018）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第；（2）在 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是相比于点 A，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；相比于点 B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值22（6 分）（2019北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点 A，B，C，如图所示，点O 到点 A，B，C 的距离均等于 a（a 为常数），到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形G，ABC 的平分线交图形 G 于点 D，连接 AD，CD（1）求证：ADCD；（2）过点D 作 DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF 交图形 G 于点 M，连接 CM若 ADCM，求直线 DE 与图形 G 的公共点个数23（6 分）（2019北京）小云想用 7 天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：将诗词分成 4 组，第 i 组有 xi首，i1，2，3，4；对于第 i 组诗词，第 i 天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i1，2，3，4；第 1 组第 2 组第 3 组第 4 组第 1 天x1第 2 天x1x2第 3 天x2第 4 天x1x4第 5 天x2x4第 6 天第 7 天x4每天最多背诵 14 首，最少背诵 4 首解答下列问题：（1）填入 x3补全上表；（2）若 x14，x23，x34，则 x4的所有可能取值为；（3）7 天后，小云背诵的诗词最多为首24（6 分）（2019北京）如图，P 是一动点，连接 PC 交弦 AB 于点 D小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD 的长度之间的关系进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C 在组值，如下表：PC/cmPD/cmAD/cm位置 13.443.440.00位置 23.302.690.78位置 33.072.001.54位置 42.701.362.30位置 52.250.963.01位置 62.251.134.00位置 72.642.005.11位置 82.832.836.00上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD 的长度的几与弦 AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是上在 PC，PD，AD 的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC2PD 时，AD 的长度约为cm25（5 分）（2019北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线l：ykx+1（k0）与直线xk，直线 yk 分别交于点 A，B，直线 xk 与直线 yk 交于点 C（1）求直线 l 与 y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA 围成的区域（不含边界）为 W当 k2 时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数；若区域 W 内没有整点，直接写出 k 的取值范围26（6 分）（2019北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx与 y 轴交于点 A，将点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点B，点 B 在抛物线上（1）求点 B 的坐标（用含 a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点 P（，），Q（2，2）若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围27（7 分）（2019北京）已知AOB30，H 为射线 OA 上一定点，OH+1，P 为射线 OB 上一点，M 为线段 OH 上一动点，连接PM，满足OMP 为钝角，以点P 为中心，将线段 PM 顺时针旋转 150，得到线段 PN，连接 ON（1）依题意补全图 1；（2）求证：OMPOPN；（3）点M 关于点 H 的对称点为 Q，连接QP写出一个OP 的值，使得对于任意的点M总有 ONQP，并证明28（7 分）（2019北京）在ABC 中，D，E 分别是ABC 两边的中点，如果点都在ABC 的内部或边上，则称一条中内弧为ABC 的中内弧例如，图 1 中上的所有是ABC 的（1）如图 2，在 RtABC 中，ABACABC 的最长的中内弧，并直接写出此时，D，E 分别是 AB，AC 的中点，画出的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t0），在ABC中，D，E 分别是 AB，AC 的中点若 t，求ABC 的中内弧若在ABC 中存在一条中内弧直接写出 t 的取值范围所在圆的圆心 P 的纵坐标的取值范围；，使得所在圆的圆心 P 在ABC 的内部或边上，20192019 年北京市中考数学试卷年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本题共一、选择题（本题共 1616 分分,每小题每小题 2 2 分分)1（2 分）（2019北京）4 月 24 日是中国航天日.1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000 米，将 439000 用科学记数法表示应为（）A0.439106B4.39106C4.39105D439103【解答】解：将 439000 用科学记数法表示为 4.39105故选：C2（2 分）（2019北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）ABCD【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误故选：C3（2 分）（2019北京）正十边形的外角和为（）A180B360C720D1440【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360，所以正十边形的外角和等于360，故选：B4（2 分）（2019北京）在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a，2，将点 A向右平移 1 个单位长度，得到点 C，若 COBO，则 a 的值为（）A3B2C1D1【解答】解：点 C 在原点的左侧，且COBO，点 C 表示的数为2，a213故选：A5（2 分）（2019北京）已知锐角AOB，如图，（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作连接 CD；（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交（3）连接 OM，MN根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）于点 M，N；，交射线 OB 于点 D，ACOMCODCMNCD【解答】解：由作图知CMCDDN，COMCOD，故 A 选项正确；B若 OMMN则AOB20DMN3CDOMONMN，OMN 是等边三角形，MON60，CMCDDN，MOAAOBBONMON20，故 B 选项正确；设MOAAOBBON，则OCDOCMMCD180，又CMNOCN，MCD+CMN180，MNCD，故 C 选项正确；MC+CD+DNMN，且 CMCDDN，3CDMN，故 D 选项错误；故选：D6（2 分）（2019北京）如果m+n1，那么代数式（A3【解答】解：原式当 m+n1 时，原式3故选：D7（2 分）（2019北京）用三个不等式 ab，ab0，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A0B1C2D3B1C1（m+n）（mn）+）（m2n2）的值为（）D3（m+n）（mn）3（m+n），【解答】解：若 ab，ab0，则，真命题；若 ab0，则 ab，真命题；若 ab，则 ab0，真命题；组成真命题的个数为 3 个；故选：D8（2 分）（2019北京）某校共有200 名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分时间 t人数学生类型性别男女学段初中高中7831292525263630324448110t10 10t20 20t30 30t40t40下面有四个推断：这 200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.525.5 之间这 200 名学生参加公益劳动时间的中位数在2030 之间这 200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在2030 之间这 200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在2030 之间所有合理推断的序号是（）ABCD【解答】解：解这 200 名学生参加公益劳动时间的平均数：（24.597+25.5103）20025.015，一定在 24.525.5 之间，正确；由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为 15，60，51，62，12，则中位数在2030 之间，故正确由统计表计算可得，初中学段栏 0t10 的人数在 015 之间，当人数为 0 时中位数在 2030 之间；当人数为 15 时，中位数在 2030 之间，故正确由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为 015，35，15，18，1，当 0t10 时间段人数为 0 时，中位数在 1020 之间；当 0t10 时间段人数为 15 时，中位数在 1020 之间，故错误故选：C二、填空题（本题共二、填空题（本题共 1616 分，每小题分，每小题 2 2 分）分）9（2 分）（2019北京）分式【解答】解：分式x10 且 x0，x1故答案为 110（2 分）（2019北京）如图，已知ABC，通过测量、计算得ABC 的面积约为1.9cm2（结果保留一位小数）的值为 0，则 x 的值是1的值为 0，【解答】解：过点 C 作 CDAB 的延长线于点 D，如图所示经过测量，AB2.2cm，CD1.7cm，SABCABCD2.21.71.9（cm2）故答案为：1.911（2 分）（2019北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是（写出所有正确答案的序号）【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，故答案为：12（2 分）（2019北京）如图所示的网格是正方形网格，则PAB+PBA45（点A，B，P 是网格线交点）【解答】解：延长 AP 交格点于 D，连接 BD，则 PD2BD21+225，PB212+3210，PD2+DB2PB2，PDB90，DPBPAB+PBA45，故答案为：4513（2 分）（2019北京）在平面直角坐标系xOy 中，点 A（a，b）（a0，b0）在双曲线y上，点 A 关于 x 轴的对称点 B 在双曲线 y，则 k1+k2的值为0上，【解答】解：点 A（a，b）（a0，b0）在双曲线 yk1ab；又点 A 与点 B 关于 x 轴的对称，B（a，b）点 B 在双曲线 y上，k2ab；k1+k2ab+（ab）0；故答案为：014（2 分）（2019北京）把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图 3 所示的正方形，则图1 中菱形的面积为12【解答】解：如图 1 所示：四边形 ABCD 是菱形，OAOC，OBOD，ACBD，设 OAx，OBy，由题意得：解得：，AC2OA6，BD2OB4，菱形 ABCD 的面积ACBD6412；故答案为：1215（2 分）（2019北京）小天想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差 s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去 90，得到一组新数据 2，0，4，4，9，5，记这组新数据的方差为s12，则 s12s02（填“”，“”或”）【解答】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，则 s12S02故答案为16（2 分）（2019北京）在矩形 ABCD 中，M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点重合），对于任意矩形 ABCD，下面四个结论中，存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形；存在无数个四边形 MNPQ 是矩形；存在无数个四边形 MNPQ 是菱形；至少存在一个四边形MNPQ 是正方形所有正确结论的序号是【解答】解：如图，四边形 ABCD 是矩形，连接 AC，BD 交于 O，过点 O 直线 MP 和 QN，分别交 AB，BC，CD，AD 于 M，N，P，Q，则四边形 MNPQ 是平行四边形，故当 MQPN，PQMN，四边形 MNPQ 是平行四边形，故存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形；故正确；如图，当 PMQN 时，四边形 MNPQ 是矩形，故存在无数个四边形MNPQ 是矩形；故正确；如图，当 PMQN 时，存在无数个四边形MNPQ 是菱形；故正确；当四边形 MNPQ 是正方形时，MQPQ，则AMQDQP，AMQD，AQPD，PDBM，ABAD，四边形 ABCD 是正方形与任意矩形ABCD 矛盾，故错误；故答案为：二、解答题（本题共二、解答题（本题共6868 分，第分，第 17-2117-21 题，每小题题，每小题 5 5 分，第分，第 22-2422-24 题，每小题题，每小题 5 5 分，第分，第 2525 题题5 5 分，第分，第 2626 题题 6 6 分，第分，第 27-2827-28 题，每小题题，每小题 5 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，程，17（5 分）（2019北京）计算：|【解答】解：原式1+2|（4）0+2sin60+（）1+41+43+18（5 分）（2019北京）解不等式组：【解答】解：解得：x2，解得 x，则不等式组的解集为 x2，19（5 分）（2019北京）关于 x 的方程 x22x+2m10 有实数根，且 m 为正整数，求 m的值及此时方程的根【解答】解：关于 x 的方程 x22x+2m10 有实数根，b24ac44（2m1）0，解得：m1，m 为正整数，m1，x22x+10，则（x1）20，解得：x1x2120（5 分）（2019北京）如图，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E，F 分别在 AB，AD上，BEDF，连接 EF（1）求证：ACEF；（2）延长EF 交 CD 的延长线于点 G，连接BD 交 AC 于点 O若BD4，tanG，求AO 的长【解答】（1）证明：连接 BD，如图 1 所示：四边形 ABCD 是菱形，ABAD，ACBD，OBOD，BEDF，AB：BEAD：DF，EFBD，ACEF；（2）解：如图 2 所示：由（1）得：EFBD，GADO，tanGtanADOOAOD，BD4，OD2，OA1，21（5 分）（2019北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数 对国家创新指数得分排名前40 的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析下面给出了部分信息：a国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7 组：30 x40，40 x50，50 x60，60 x70，70 x80，80 x90，90 x100）；b国家创新指数得分在60 x70 这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d中国的国家创新指数得分为69.5（以上数据来源于国家创新指数报告（2018）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第17；（2）在 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是相比于点 A，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；相比于点 B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值【解答】解：（1）国家创新指数得分为69.5 以上（含 69.5）的国家有 17 个，国家创新指数得分排名前40 的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；（2）如图所示：（3）由 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8 万美元；故答案为：2.8；（4）由 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，相比于点 A、B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；相比于点 B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：22（6 分）（2019北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点 A，B，C，如图所示，点O 到点 A，B，C 的距离均等于 a（a 为常数），到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形G，ABC 的平分线交图形 G 于点 D，连接 AD，CD（1）求证：ADCD；（2）过点D 作 DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF 交图形 G 于点 M，连接 CM若 ADCM，求直线 DE 与图形 G 的公共点个数【解答】（1）证明：到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G，图形 G 为ABC 的外接圆O，AD 平分ABC，ABDCBD，ADCD；（2）如图，ADCM，ADCD，CDCM，DMBC，BC 垂直平分 DM，BC 为直径，BAC90，ODAC，ODAB，DEAB，ODDE，DE 为O 的切线，直线 DE 与图形 G 的公共点个数为 123（6 分）（2019北京）小云想用 7 天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：将诗词分成 4 组，第 i 组有 xi首，i1，2，3，4；对于第 i 组诗词，第 i 天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i1，2，3，4；第 1 组第 2 组第 3 组第 4 组第 1 天x1第 2 天x1x2第 3 天x2第 4 天x1x4第 5 天x2x4第 6 天第 7 天x4每天最多背诵 14 首，最少背诵 4 首解答下列问题：（1）填入 x3补全上表；（2）若 x14，x23，x34，则 x4的所有可能取值为4，5，6；（3）7 天后，小云背诵的诗词最多为23首【解答】解：（1）第 1 组第 2 组第 3 组第 4 组第 1 天x1第 2 天x1x2第 3 天x2x3第 4 天x1x3x4第 5 天x2x4第 6 天x3第 7 天x4（2）每天最多背诵 14 首，最少背诵 4 首，x14，x34，x44，x1+x38，x1+x3+x414，把代入得，x46，4x46，x4的所有可能取值为 4，5，6，故答案为：4，5，6；（3）每天最多背诵 14 首，最少背诵 4 首，由第 2 天，第 3 天，第 4 天，第 5 天得，x1+x214，x2+x314，x1+x3+x414，x2+x414，+得，3x228，x2，+14，x1+x2+x3+x4x1+x2+x3+x423，7 天后，小云背诵的诗词最多为23 首，故答案为：2324（6 分）（2019北京）如图，P 是一动点，连接 PC 交弦 AB 于点 D小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD 的长度之间的关系进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C 在组值，如下表：PC/cmPD/cmAD/cm位置 13.443.440.00位置 23.302.690.78位置 33.072.001.54位置 42.701.362.30位置 52.250.963.01位置 62.251.134.00位置 72.642.005.11位置 82.832.836.00上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD 的长度的几与弦 AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是上在 PC，PD，AD 的长度这三个量中，确定AD的长度是自变量，PD的长度和PC的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC2PD 时，AD 的长度约为2.3 和 4cm【解答】解：（1）根据函数的定义，PC、PD 不可能为自变量，只能是AD 为自变量故答案为：AD、PC、PD；（2）描点画出如图图象；（3）PC2PD，从图和表格可以看出位置4 和位置 6 符合要求，即 AD 的长度为 2.3 和 4.025（5 分）（2019北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线l：ykx+1（k0）与直线xk，直线 yk 分别交于点 A，B，直线 xk 与直线 yk 交于点 C（1）求直线 l 与 y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA 围成的区域（不含边界）为 W当 k2 时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数；若区域 W 内没有整点，直接写出 k 的取值范围【解答】解：（1）令 x0，y1，直线 l 与 y 轴的交点坐标（0，1）；（2）由题意，A（k，k2+1），B（，k），C（k，k），当 k2 时，A（2，5），B（，2），C（2，2），在 W 区域内有 6 个整数点：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（1，1），（1，2）；直线 AB 的解析式为 ykx+1，当 xk+1 时，yk+1，则有 k2+2k0，k2，当 0k1 时，W 内没有整数点，当 0k1 或 k2 时 W 内没有整数点；26（6 分）（2019北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx与 y 轴交于点 A，将点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点B，点 B 在抛物线上（1）求点 B 的坐标（用含 a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点 P（，），Q（2，2）若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围【解答】解：（1）A（0，）点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点B（2，）；（2）A 与 B 关于对称轴 x1 对称，抛物线对称轴 x1；（3）对称轴 x1，b2a，yax22ax，a0 时，当 x2 时，y2，当 y时，x0 或 x2，函数与 AB 无交点；a0 时，当 y2 时，ax22ax2，x当或 x2 时，a；当 a时，抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点；27（7 分）（2019北京）已知AOB30，H 为射线 OA 上一定点，OH+1，P 为射线 OB 上一点，M 为线段 OH 上一动点，连接PM，满足OMP 为钝角，以点P 为中心，将线段 PM 顺时针旋转 150，得到线段 PN，连接 ON（1）依题意补全图 1；（2）求证：OMPOPN；（3）点M 关于点 H 的对称点为 Q，连接QP写出一个OP 的值，使得对于任意的点M总有 ONQP，并证明【解答】解：（1）如图 1 所示为所求（2）设OPM，线段 PM 绕点 P 顺时针旋转 150得到线段 PNMPN150，PMPNOPNMPNOPM150AOB30OMP180AOBOPM18030150OMPOPN（3）OP2 时，总有 ONQP，证明如下：过点 N 作 NCOB 于点 C，过点 P 作 PDOA 于点 D，如图 2NCPPDMPDQ90AOB30，OP2PDOP1ODOH+1DHOHOD1OMPOPN180OMP180OPN即PMDNPC在PDM 与NCP 中PDMNCP（AAS）PDNC，DMCP设 DMCPx，则 OCOP+PC2+x，MHMD+DHx+1点 M 关于点 H 的对称点为 QHQMHx+1DQDH+HQ1+x+12+xOCDQ在OCN 与QDP 中OCNQDP（SAS）ONQP28（7 分）（2019北京）在ABC 中，D，E 分别是ABC 两边的中点，如果点都在ABC 的内部或边上，则称一条中内弧为ABC 的中内弧例如，图 1 中上的所有是ABC 的（1）如图 2，在 RtABC 中，ABACABC 的最长的中内弧，并直接写出此时，D，E 分别是 AB，AC 的中点，画出的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t0），在ABC中，D，E 分别是 AB，AC 的中点若 t，求ABC 的中内弧若在ABC 中存在一条中内弧直接写出 t 的取值范围【解答】解：（1）如图 2，以 DE 为直径的半圆弧连接 DE，A90，ABACBC，就是ABC 的最长的中内弧，所在圆的圆心 P 的纵坐标的取值范围；，使得所在圆的圆心 P 在ABC 的内部或边上，D，E 分别是 AB，AC 的中点，4，DEBC42，弧2；（2）如图 3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE，作 DE垂直平分线 FP，作 EGAC 交 FP 于 G，当 t时，C（2，0），D（0，1），E（1，1），F（，1），设 P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线 FP 上均可，m1，OAOC，AOC90ACO45，DEOCAEDACO45作 EGAC 交直线 FP 于 G，FGEF根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G）直线FP 上时也符合要求；m综上所述，m或 m1如图 4，设圆心 P 在 AC 上，P 在 DE 中垂线上，P 为 AE 中点，作 PMOC 于 M，则 PM，P（t，），DEBCADEAOB90AEPDPE，AEDPDEAED+DAEPDE+ADP90，DAEADPAPPDPEAE由三角形中内弧定义知，PDPM，AE，AE3，即t00t3，解得：t，