云南省元江第一中学2023年高三第三次测评数学试卷含解析.doc

2023年高考数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，则抛物线方程为（ ）ABCD2设为虚数单位，为复数，若为实数，则（ ）ABCD3我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，）ABCD4已知数列中，()，则等于（ ）ABCD25过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）ABCD6在中，点D是线段BC上任意一点，则（ ）AB-2CD27已知与分别为函数与函数的图象上一点，则线段的最小值为( )ABCD68若复数，则（ ）ABCD209已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ）AB复数的共轭复数是CD10从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A48B72C90D9611已知集合A0，1，B0，1，2，则满足ACB的集合C的个数为（）A4B3C2D112已知是等差数列的前项和，则（ ）A85BC35D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，则下列结论中正确的是_.是周期函数；的对称轴方程为，；在区间上为增函数；方程在区间有6个根.14已知数列满足对任意，若，则数列的通项公式_15已知抛物线，点为抛物线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，则线段长度的取值范围为_.16已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则=_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设抛物线过点.（1）求抛物线C的方程；（2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值.18（12分）已知椭圆，过的直线与椭圆相交于两点，且与轴相交于点.（1）若，求直线的方程；（2）设关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.19（12分）在中，为边上一点，.（1）求；（2）若，求.20（12分）已知函数.（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.21（12分）已知分别是内角的对边，满足（1）求内角的大小（2）已知，设点是外一点，且，求平面四边形面积的最大值.22（10分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名学生的竞赛成绩均在50，100内，并得到如下的频数分布表：分数段50，60)60，70)70，80)80，90)90，100人数51515123（1）将竞赛成绩在内定义为“合格”，竞赛成绩在内定义为“不合格”请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？合格不合格合计高一新生12非高一新生6合计（2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这50名学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生竞赛成绩都合格的概率参考公式及数据：，其中参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值.【详解】不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.2、B【解析】可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解【详解】设，则.由题意有，所以.故选：B【点睛】本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题3、C【解析】由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：，解出即可得出【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为 据题意得：， 解得2n12， n21故选：C【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4、A【解析】分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决.【详解】解：，()，数列是以3为周期的周期数列，故选：A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.5、A【解析】过圆外一点，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选6、A【解析】设，用表示出，求出的值即可得出答案.【详解】设由，.故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.7、C【解析】利用导数法和两直线平行性质，将线段的最小值转化成切点到直线距离.【详解】已知与分别为函数与函数的图象上一点，可知抛物线存在某条切线与直线平行，则，设抛物线的切点为，则由可得，所以切点为，则切点到直线的距离为线段的最小值，则.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.8、B【解析】化简得到，再计算模长得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.9、D【解析】首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确.故选：D【点睛】本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.10、D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛当甲参加另外3场比赛时，共有=72种选择方案；当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题11、A【解析】由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.12、B【解析】将已知条件转化为的形式，求得，由此求得.【详解】设公差为，则，所以，.故选：B【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由函数，对选项逐个验证即得答案.【详解】函数，是周期函数，最小正周期为，故正确；当或时，有最大值或最小值，此时或，即或，即.的对称轴方程为，故正确；当时，此时在上单调递减，在上单调递增，在区间上不是增函数，故错误；作出函数的部分图象，如图所示方程在区间有6个根，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题.14、【解析】由可得，利用等比数列的通项公式可得，再利用累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论.【详解】由，得，数列是等比数列，首项为2，公比为2，满足上式，.故答案为:.【点睛】本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.15、【解析】连接，易得，可得四边形的面积为，从而可得，进而求出的取值范围，可求得的范围.【详解】如图，连接，易得，所以四边形的面积为，且四边形的面积为三角形面积的两倍，所以，所以，当最小时，最小，设点，则，所以当时，则，当点的横坐标时，此时，因为随着的增大而增大，所以的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.16、【解析】根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代入表达式，结合对数式的化简即可求解.【详解】等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则，由等比数列通项公式可知，所以，解得或（舍），所以由对数式运算性质可得，故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的简单应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】(1)代入计算即可.(2) 设直线AB的方程为,再联立直线与抛物线的方程,消去可得的一元二次方程,再根据韦达定理与求解,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线过点,所以,所以,抛物线的方程为 （2）由题意知直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为,.因为,所以,联立,化简得,所以,所以,解得,所以.【点睛】本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.18、（1）或；（2）见解析【解析】（1）由已知条件利用点斜式设出直线的方程，则可表示出点的坐标，再由的关系表示出点的坐标，而点在椭圆上，将其坐标代入椭圆方程中可求出直线的斜率；（2）设出两点的坐标，则点的坐标可以表示出，然后直线的方程与椭圆方程联立成方程，消元后得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系，再结合直线的方程，化简可得结果.【详解】（1）由条件可知直线的斜率存在，则可设直线的方程为，则，由，有，所以，由在椭圆上，则，解得，此时在椭圆内部，所以满足直线与椭圆相交，故所求直线方程为或.（也可联立直线与椭圆方程，由验证）（2）设，则，直线的方程为.由得，由，解得，当时，故直线恒过定点.【点睛】此题考查的是直线与椭圆的位置关系中的过定点问题，计算过程较复杂，属于难题.19、（1）；（2）4【解析】（1），利用两角差的正弦公式计算即可；（2）设，在中，用正弦定理将用x表示，在中用一次余弦定理即可解决.【详解】（1），所以， .（2），设，在中，由正弦定理得，.【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.20、（1）.（2）【解析】（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求t，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；（2）由已知代入可得，x2+（t2）xtlnx0在x0时恒成立，构造函数g（x）x2+（t2）xtlnx，结合导数及函数的性质可求.【详解】（1），x0，由题意可得，0，解可得t4，易得，当x2，0x1时，f（x）0，函数单调递增，当1x2时，f（x）0，函数单调递减，故当x1时，函数取得极大值f（1）3；（2）由f（x）x2+（t2）xtlnx+22在x0时恒成立可得，x2+（t2）xtlnx0在x0时恒成立，令g（x）x2+（t2）xtlnx，则，（i）当t0时，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以g（x）ming（1）t10，解可得t1，（ii）当2t0时，g（x）在（）上单调递减，在（0，），（1，+）上单调递增，此时g（1）t11不合题意，舍去；（iii）当t2时，g（x）0，即g（x）在（0，+）上单调递增，此时g（1）3不合题意；（iv）当t2时，g（x）在（1，）上单调递减，在（0，1），（）上单调递增，此时g（1）t13不合题意，综上，t1时，f（x）2恒成立.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值，利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题.21、（1）（2）【解析】（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本关系得到，即可求出角；（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理可得：，则，得到，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值；【详解】解：（1）由，；（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理得：，所以当时有最大值【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.22、（1）见解析；（2）【解析】（1）补充完整的列联表如下：合格不合格合计高一新生121426非高一新生18624合计302050则的观测值， 所以有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关（2）抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有名学生，记为，竞赛成绩不合格的有名学生，记为，从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有：，共10种， 这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：，共3种， 所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为