上海市嘉定区第一中学2023届高三第五次模拟考试数学试卷含解析.doc

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1使得的展开式中含有常数项的最小的n为( )ABCD2若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）ABCD3已知为等比数列，则（ ）A9B9CD4已知函数，则（ ）ABCD5设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是( )ABCD6已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）ABCD7设，是非零向量，若对于任意的，都有成立，则ABCD8已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（ ）ABCD9已知斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为，则斜率k的取值范围是（ ）ABCD10若复数满足，则的虚部为（ ）A5BCD-511在四面体中，为正三角形，边长为6，则四面体的体积为（ ）ABC24D12半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图，的外接圆半径为，为边上一点，且，则的面积为_.14曲线在处的切线的斜率为_.15直线是圆：与圆：的公切线，并且分别与轴正半轴，轴正半轴相交于，两点，则的面积为_16随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，那么该市身高高于的高中男生人数大约为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知，均为给定的大于1的自然数，设集合，（）当，时，用列举法表示集合；（）当时，且集合满足下列条件：对任意，；证明：（）若，则（集合为集合在集合中的补集）；（）为一个定值（不必求出此定值）；（）设，其中，若，则18（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点，已知.（）证明:平面平面；（）求二面角的余弦值.19（12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照，分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.理科方向文科方向总计男110女50总计（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.参考公式：，其中.参考临界值： 0.100.050.0250.0100.0050.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.82820（12分）如图，D是在ABC边AC上的一点，BCD面积是ABD面积的2倍，CBD=2ABD=2（）若=，求的值；（）若BC=4，AB=2，求边AC的长21（12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，为的中点，为棱上的一点.（1）证明：面面；（2）当为中点时，求二面角余弦值.22（10分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用2、A【解析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B, 为 奇函数可判断B错误;对于选项C,当时, ,可判断C错误;对于选项D, ,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;故选:A.【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.3、C【解析】根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.【详解】,又,可解得或设等比数列的公比为,则当时, ；当时, ,.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.4、A【解析】根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.【详解】依题意，.故选：A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.5、D【解析】令，可得.在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.当时，.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点，则有，解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时，有，解得.结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.6、A【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案.【详解】解：，在复平面内对应的点的坐标是.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题7、D【解析】画出，根据向量的加减法，分别画出的几种情况，由数形结合可得结果.【详解】由题意，得向量是所有向量中模长最小的向量，如图，当，即时，最小，满足，对于任意的，所以本题答案为D.【点睛】本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.8、C【解析】由题可推断出和都是直角三角形，设球心为，要使三棱锥的体积最大，则需满足，结合几何关系和图形即可求解【详解】先画出图形，由球心到各点距离相等可得，故是直角三角形，设，则有，又，所以，当且仅当时，取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高，此时，故选：C【点睛】本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题9、C【解析】设，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，由得，利用韦达定理结合已知条件得，代入上式即可求出的取值范围【详解】设直线的方程为：， ，联立方程，消去得：，且，线段的中点为,，把 代入，得，故选：【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题10、C【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】由（1+i）z|3+4i|，得z，z的虚部为故选C【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题11、A【解析】推导出，分别取的中点,连结，则，推导出，从而，进而四面体的体积为，由此能求出结果.【详解】解： 在四面体中，为等边三角形，边长为6，分别取的中点，连结，则，且，平面，平面，四面体的体积为：.故答案为：.【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.12、B【解析】设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，在中，化为，当且仅当时取等号，此时.故选：B.【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先由正弦定理得到，再在三角形ABD、ADC中分别由正弦定理进一步得到B=C，最后利用面积公式计算即可.【详解】依题意可得，由正弦定理得，即，由图可知是钝角，所以，在三角形ABD中，在三角形ADC中，由正弦定理得即，所以，故，故的面积为.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档题.14、【解析】求出函数的导数，利用导数的几何意义令，即可求出切线斜率.【详解】，即曲线在处的切线的斜率.故答案为：【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于基础题.15、【解析】根据题意画出图形，设，利用三角形相似求得的值，代入三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设，由与相似，可得，解得，再由与相似，可得，解得，由三角形的面积公式，可得的面积为.故答案为：. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.16、3000【解析】根据正态曲线的对称性求出，进而可求出身高高于的高中男生人数.【详解】解：全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，则，该市身高高于的高中男生人数大约为.故答案为：.【点睛】本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）；（）（）详见解析（）详见解析.（）详见解析.【解析】（）当，时，即可得出（）（i）当时，2，3，又，必然有，否则得出矛盾（ii）由可得又，即可得出为定值（iii）由设，其中，2，可得，通过求和即可证明结论【详解】（）解：当，时，（）证明：（i）当时，2，3，又，必然有，否则，而，与已知对任意，矛盾因此有（ii），为定值（iii）由设，其中，2，【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题18、（）证明见解析；（）.【解析】() 先证明 ，再证明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；()根据题意以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.【详解】()证：由已知得又 平面，平面，而故，平面 平面，平面平面()由()知，推理知梯形中，有，又，故所以相似，故有，即所以，以为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，设平面的法向量为，则令，则，是平面的一个法向量设平面的一个法向量为 令，则 是平面的一个法向量= 又二面角为钝二面角，其余弦值为.【点睛】本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.19、（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析， .【解析】（1）由频率分布直方图可得分数在、之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算的值，结合参考临界值表可得到结论；（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率.由题意，求出分布列，根据公式求出期望和方差.【详解】（1）由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为，在之间的学生人数为，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科方向文科方向总计男8030110女405090总计12080200又，所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为.依题意知，所以（），所以的分布列为0123P所以期望，方差.【点睛】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.20、（）；（）【解析】（）利用三角形面积公式以及并结合正弦定理，可得结果.（）根据，可得，然后使用余弦定理，可得结果.【详解】（），所以所以；（），所以，所以，所以，所以边【点睛】本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）要证明面面，只需证明面即可；（2）以为坐标原点，以，分别为，轴建系，分别计算出面法向量，面的法向量，再利用公式计算即可.【详解】证明：（1）因为底面为正方形，所以又因为，满足，所以又，面，面，所以面.又因为面，所以，面面.（2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，以，分别为，轴建系如图所示，则，,，则，.所以，设面法向量为，则由得，令得，即；同理，设面的法向量为，则由得，令得，即，所以，设二面角的大小为，则所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角，考查学生的运算求解能力，此类问题关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.22、【解析】将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数的值.【详解】由，得， 即圆的方程为，又由消，得， 直线与圆相切，【点睛】本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.