2015年新人教版高中数学必修4全册导学案.pdf

人教版高中数学必修4全册学案目 录工1.1 任意角、弧度学案工1.2 任意角的三角函数学案4-2.1 平面向量的实际背景及基本概念学案J 2.2 平面向量的线性运算学案*2.3 平面向量的基本定理及坐标表示学案工2.4 平面向量的数量积学案4-2.5 平面向量的应用举例学案4-3.1 两角和与差的三角函数学案上3.2 二倍角的三角函数学案工3.3 简单的三角恒等变换学案第1章三角函数1.1任意角、弧度一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议任 意 终边相同的角的角 的 概 念 表 示判断角所在的象 理解限弧 度 弧度与角度的换的意义 算特殊角的弧度数弧度制下的弧长公式二、预习指导1.预习目标正角、负角的引入可类比正、负数；用集合和符号语言正确表示终边相同的角；弄 清1弧度的角的含义；了解角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系.学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角.(1)理解正角、负角、零角等概念；掌握象限角的概念及判定方法.(2)会写出终边相同的角的集合、某个区间上角的集合、终边在坐标轴上的角的集合以及象限角的集合.(3)准确地掌握1弧度的角的定义以及弧度制引进的意义；能根据弧长与半径的关系，用弧度制确定角的大小.(4)能熟练地进行弧度制和角度制这两种量角制之间的换算，并能熟记特殊角的弧度数.(5)掌握弧度制卜弧长和扇形的面积公式，并能运用其解决简单的实际问题.(6)理解用弧度制度量角，使角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系.2.预习提纲(1)查阅小学教材，复习角的概念，并与高中教材中角的概念进行对比；查阅初中教材(九年级上册)“弧长及扇形的面积”，复习角度制下的弧长公式、扇形面积公式，并尝试与高中弧度制下公式的互化.(2)对任意角的概念可从实际生活中寻找实例，请举例并与同学交流辨析.(3)从具体实例中观察终边相同的角的关系并归纳小结，学会用集合和符号语言正确地表示出来.(4)理 解1弧度的角的含义，体会弧度制引入的意义掌握“弧度数”与“角度数”换算的关键.(5)教材第6页例2求解中蕴含着分类讨论的思想，为什么要对k分奇数和偶数进行分类,思考其中的缘由.(6)上网查阅弧度制的历史和有关欧拉的资料.(7)上网查阅了解军事匕用密位制度量角，了解密位制与角度值的关系.3.典型例题例1判断下列说法是否正确.(1)终边相同的角一定相等；(2)锐角都是第一象限角；(3)第一象限的角都是锐角；(4)小于90的角都是锐角.分析：根据各类角的定义、范围加以辨别.第 1页共 84页解：(D不正确.如3 9 0 角与3 0 角的终边相同，但不相等.(2)正确.因为锐角是指大于0 小于9 0 的角，其终边落在第一象限.(3)不正确.如3 9 0 角的终边在第一象限，但它不是锐角.(4)不正确.如负角都是小于9 0 的角，但都不是锐角.点评：本题考查了关于各类角的定义及范围，要求学生概念清晰，并善于用举.反例的方法进行概念辨析.例2试写出终边在直线y =x上的.所有角的集合，并指出上述集合中介于-1 8 0 和1 8 0。之间的角.分析：先找出终边在直线y =x上且在(0,3 6 0)内的角，再写出与其终边相同的角的集合,最后再考虑形式上的合并，然后给k赋值得出介于-1 8 0 和1 8 0 之间的角解：终边在直线y =x上且在(0,3 6 0)内的角为4 5 和2 2 5,所以终边与其相同的角的集合为 x|x =h 3 6 0 +4 5 ,或=人3 6 0+2 2 5,k e Z,即 x|x =h l 8 0 +4 5,%w Z.取左=1和0,得一 1 3 5 和4 5 介于一 1 8 0 和1 8 0 之间.点评:本题考查了终边相同的角的集合表示，并要求在具体范围内找出与之终边相同的角.本题终边是一条直线，解题时需要先从射线入手，最后再进行合并，有一定难度.例3如图，用弧度制写出顶点在原点，始边重合于x轴正半轴，终边落在阴影部分的角的集合(包括边界).分析：先确定角的终边0 A、0 B的角，再依照逆时针方向旋转规则，用终边相同的角的写法表示出符合条件的范围.解：(1)图中以如为终边的角看成万，以物为终边的角看成一，再根据终边相同的6角的表示方法，得到阴影部分的角的集合为 x 2k7r +7 r x 2 k +,k&Z.6r r 2 7 r(2)图中以勿为终边的角看成-勺，以施为终边的角看成二，所以得到阴影部第2页 共8 4页T T )7T分的角的集合为 x 2k兀 一 H G x S Z kT i+a ,k e Z.6 3T T(3)把图中阴影部分看成是由4/逆时针旋转一至x 轴得到，所以阴影部分的角的集657r合为 x|后 乃 +x k7t+K,k e Z).6点评：此类问题需要注意的是阴影部分的边界所表示的角是互相联系的.按逆时针方向选定前者为区域的起始边界，后者为终止边界，若起始边所表示的角为a,由起始边旋转至终止边所旋转的最小正角为。，则终止边所表示的角=a+6.本题还需要注意两点，一是弧度制的正确使用；二是旋转边为直线的表示方法.例 4 一扇形力加的面积是1C012,它的周长是4cm,求扇形的半径及圆心角N/组.分析：根据弧长及扇形面积计算公式列出方程组求解即可.解：设扇形的半径为r e m,圆心角/必 为 a ra d,2r+a r -4,(_、a =2,贝 l 1 2 解之得4 a r=1,r=1.2 1答：扇形的半径为lc m,圆心角N/如的弧度数为2rad.点评：本题考查了弧长及扇形面积计算公式及方程(组)的思想方法，需要注意的是公式中的圆心角应采用弧度制，尽量避免初中所学的角度制下的计算公式.4.自我检测(1)在 0.360之间，与-5530终 边 相 同 的 角 是；与-9 9 0 终边相同的角是.(2)若 a 是第四象限角，则%-a 是第 象限角.(3)写出与角1 5 终边相同角的集合，并把该集合中适合不等式7080 W -3 6 0 的元素B求出来.T T(4)=度；-72=rad.(5)在 回 中，若/：N 8：NC=3：5：7,则NA=_ rad,ZB=rad.(6)半径为2 的圆中，T T大小为。的 圆 周 角 所 对 的 弧 长 是;3长为2 的弧所对应的圆心角为.rad.三、课后巩固练习A组1.若将忖钟拨慢5 分钟，则分针转了 度，忖针转了 度.2.与 120角终边相同的角的集合是.3.把下列各角写成h 360+a(0 a 360)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.第3页 共84页(1)-1 3 5 (2)5 4 0(3)1 1 1 0 (4)7 65 4 .与-1 7 7 8 角终边相同且绝对值最小的角是5 .(1)将 3 1 5 化为弧度是；将-空 行温化为角度是1 26.把-8 8 5 化成2k兀+a(0 a 2 乃,k e z)的形式是.7 .已知四边形的四个内角之比是1 ：3 ：5 ：6,分别用角度和弧度将这些内角的大小表示出来.8 .第四象限角的集合可以表示为.9 .若 2弧度的圆心角所对的弧长为4 c m,求这个圆心角所夹的扇形的面积.B组TT1 0 .a =%+(%z)是第 象限的角.41 1 .写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界).k冗 r r1 2 .在直角坐标平面内画出角a =+(ez)的终边.2 61 3 .若角a的终边.经过点P(-l,-石)，试写出角a的集合A,并求出A中绝对值最小的角.211 4 .若4 a 6)，且a与-的角的终边垂直，求 a.31 5 .若a是第三象限角，问区是第几象限角？2。的终边在哪里？21 6.在直径为1 0 c m的轮子上有一长为6c m的弦，P是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 秒钟后点P 转过的弧长是多少？1 7 .已知扇形周长为2 0 c m,当扇形的圆心角为多大时它有最大面积？C 组1 8 .终边经过点(劣a)(a W O)的角a的集合是.第4 页 共 84页19.若 a 的终边落在x+y=O 上，求出在-360,360 之间的所有角a.20.试写出终边在坐标轴上的角的集合.21.若角a 的终边与216。角的终边相同，求在0。3 6 0 内终边与巴 的终边重合的角.322.设集合 A =x x=左 1+(1)左 z,B=x|x=2左 九+,左 z ,试判断集合A与集合B之间的关系.k冗 冗 k冗 冗(2)集合/仁x|1+7，X-eZ),N x x +,AGZ,则与/V间的关系为23.已知 A =a 12k 兀 a 2k兀+兀，k e z ,B=a|-4 a 4,则 ACB=24.(D 若角a 与角B 的终边重合，则 a 与 B 的关系是；(2)若角a 与角B 的终边互为反向延长线，则 a 与 B 的关系是；(3)若角a 与角B 的终边在同一条直线上，则 a 与 B 的关系是.25.一个扇形的面积为4 cm2,周长为8 cm,则扇形的圆心角及相应的弦长分别是26.若 a 是第三象限的角，则 一/。是第 象限角.知识点任意角的概念终边相同的角的表示区间角的表示弧长与扇形面积综合题题号注意点注意角的正负k jr注 意2k兀,k兀,苗(k G Z)的区另注意边界能否取到熟知弧度制下的弧长与扇形面积公式体会弧度制表示的角与实数的一一对应关系;在数轴或在单位圆中看两角的集合的关系.四、学习心得五、拓展视野欧拉与弧度制1 8 世纪以前，人们一直是用线段的长来定义三角函数 的.瑞士数学家欧拉(LeonhardoEuler。，1707年1783年),在他于1748年出版的一部划时代的著作 无穷小分析概论第5页共84页中，提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径的比值，并令圆的半径为1,使得对三角函数的研究大为简化.这是欧拉在数学史上的重要功绩之其次，欧拉在上述著作的第八章中提出了弧度制的思想.他认为，如果把半径作为1个单位长度，那么半圆的长就是兀，所对圆心角的正弦是0,即 S i n n =0.同理，圆的的长是，所对圆心角的正弦是1,可记作.si n=1.这一思想将线段与弧的度量单位统起来，2大大简化了某些三角公式及计算.1 8 73 年 6月 5 日，数学教师汤姆生（J a m e s T h om-son）在北爱尔兰首府贝尔法斯特（B e l f a st）女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了“弧度”一词.当时，他 将“半径”（ra d i u s）的前四个字母与“角”（a n g l e）的前两个字母合在起，构成ra d i a n,并被人们广泛接受和引用.我国学者曾把ra d i a n 译成“骁”（山“弧”与“径”两字的一部分拼成）.建国以来，中学数学教科书中都把ra d i a n 译 作“弧度”.1 8 8 1 年，学者哈尔斯特（G.B.H a l ste d）等用希腊字母0表示弧度的单位，例如用（兀。表示|兀弧度.1 9 0 7年，学者包尔（G.N.B a u e r）用 r 表示；1 9 0 9 年，学者霍尔（A.G.H a l l）等又用R来表示.现在人们习惯把弧度的单位省略.值得指出的是，1 73 5 年，欧拉右眼失明，无穷小分析概论这部著作出版于他这一不幸之后.他的著作,在样式、范围和记号方面堪称典范，因此被许多大学作为教科书采用.1 7 6 6年，他回到圣彼得堡研究院后不久，又转成双目失明.他以惊人的毅力，在圣彼得堡又用口述由别人记录的方式工作了近1 7 年，直到1 7 8 3 年 7 6 岁时突然去世.他一生发表过5 3 0 部（篇）著作和论文：还留下大量手稿，让圣彼得堡科学院编辑出版的会报在欧拉去世后利用了 4 7年.1 9 0 9 年，瑞士自然科学学会开始出版欧拉全集，其中将包含他的8 8 6 部（篇）著作和论文，预计会超过1 0 0 卷（大四，开本）.欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的.欧拉在数学.上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究.欧拉还发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数e、面数/之间总有v-e +/=2 这个关系.v-e +/被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念.在数论中，欧拉首先引进了重要的欧拉函数夕（），用多种方法证明了费马小定理.以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见，其中欧拉公式的一个特殊公式e *+l =0,将数学上的5个常数0,1,i,e,兀联在一起.与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学等方面取得了辉煌的成就.欧拉还创设了许多数学符号，例如兀（1 7 3 6 年），数1 7 7 7 年）,e（1 7 4 8 年），s i n 和 c o s（1 7 4 8年），t g（1 7 5 3 年），A x （1 7 5 5 年），7 5 5 年）,/（x）（1 7 3 4 年）等.第6页 共8 4页1.2任意角的三角函数一、学习内容、要求及建议.知识、方法要求 建议任 意角的三角函数值的定义三角函数的定义域和函数值在各象限的符号、三角函数线同 角三 角函数的基本关系平方关系、商数关系三 角函数的诱导公式奇变偶不变，符号看象限在锐角三角函数定义的基础上引出对任意角的三角函数值的定义，理解此定义关键把握有向线段及其数量的概念；同角三角函数的理解 基本关系教学中应突出“同角”两字.，并深化对公式逆用、变用；理解诱导公式时应抓住角的终边的对称性，借助于图像看三角函数值的关系.二、预习指导1.预习目标(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；掌握各三角函数在每一象限的符号；(2)能在单位圆中作出一个角的正弦线、余弦线、正切线；(3)掌握同角三角函数的基本关系式“并能灵活应用于求值、化简三角函数式、证明三角恒等式.(4)能正确地运用诱导公式求任意角的三角函数值，进行简单三角函数的化简和证明.2.预习提纲(1)查阅初中教材(九年级下册)第7.1至7.4节，复习锐角三角函数正弦、余弦、正切函数的定义及相关求值问题；(2.)理解任意三角函数值的定义，并与初中锐角三角函数的定义相比较，理解三角函数值与点P在终边上的位置无关；(3)对三角函数线的理解，首先了解有向线段及其数量的概念，三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意他们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒；(4)借助于三角函数值的定义推导同角三角函数关系，并体会公式的应用：已知角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个：化简三角函数式；证明简单的三角恒等式；(诱导公式的推导突出了对称思想，从图形的角度来理解诱导公式，理解角a的任意性；(6)课本第16页 例1、例2题型是根据角的正弦、余弦、正切值中的个求出其余两个值(简称“知一求二”)时，要注意这个角所在的象限.一般涉及开方运算时，要分类讨论.课本第17页 例4由两种解法体会证明恒等式常用方法：从一边开始，证明它等于另一边；证明左、右两边等于同一式子；分析法，寻找等式成立的充分条件.证明的指向一般“山繁到 简”.例4中 证 法1使 用 的 是 作 差 法，它 是 上 述 方 法 的 变 形，其 依 据 是 ：a =b =a-b =O.3.典型例题例1已知角a的终边经过点P(3 a,-4 a)(a +(4。)2 =5|a|=-5q,”y-4(7 4 x 3a 3 y -4a 4所以 sma=L=-=；c o s a-=一一；t a n e z =-=.r -5a 5 r -5a 5 x 3a 3点评：本题考查任意角三角函数定义，需要注意的是字母运算中字母的符号.若去除a C O的条件，那么本题又该如何解答？请 同 学 们 试 试.兀例2当a w l。,)时，比较a,s i n a,t a n a的大小.分析：在单位圆中根据三角函数线及弧长公式将问题转化为比较几何线段的长短.解：如图，设角a的终边与单位圆交于点P,过P作P M，x轴于点M,则有向线段M P=s i n a .过点A(l,0)作单位圆的切线，交角a的终边于点T,则有向线段A T=t a n .连结A P,由弧长公式可得Z P =a,S oA P=OA-MP=a S扇形=jr因为I a (0,)时,有 S O A P S扇 形0/p S O A T,所以s i n a a 工 t a n a ,即 s i n a a t a n a .2 2 2点评：本题巧用单位圆中的三角函数线及弧长公式将抽象的问题具体化，利用显而易见的面积大小关系比较线段长短，很好地体现了数形结合的优越性.例3已知s i n a =-2c o s a ,求a的正弦值、余弦值及正切值.分析：灵活运用同角三角函数关系求解.s i n(7解：由题可得c o s a W O,则t a n a =-=-2 0,故a为第二或第四象限角.c os a又s i n2 a+c o s2-a =1,所以s i n 2 a =4,c o s?a=1.5 5当 c t 为第二：象限角，则 t a n a 2,s i n ex ,c o soc =；5 5当a 为第四象限角，则 t a n a =-2,s i n a =-2,c o s a =5 5点评：根据条件要能灵活运用同角三角函数关系解题.如本题采用先求正切值，并利用其符号判断a象限的方法，回避了其他不必要的讨论.例4已知t a n a =-,，求下列各式的值.3 s i n a +2c o s a2s i n a-c o s a(2)3s i n2+2 s i n a c o s a -c o s2 a .分析：可以根据例4的方法，求解出s i n。、c o s a的值代入，也可以先对代数式进行变形,将所求式化成只含t a n a的式子再代入，此处采用后一种方法.第8页 共84页公 力 z.s i n c r +2c o s(7 t a n a+2 3 1解：-=-=J=-1；2 s i n 6r -c o s a 2 t a n c r -1 2x(-)-l/、-.2 c .2 3 s i n2 a +2 s i n c o s a -c o s2 a(2)3 s i n a+2s n a c o s a -c o s a =-；-；-s i n-a +c o s a1?12 ”1 3x()+2x()1 人_ 3 t a n a +2 t a n a -1 _ v y v y _ 6t a n%+l (1)2+1 5-点评：本题是关于s i n。、c o s a的齐次式的处理，将分子、分母同除以c osa,得到只含有ta na的式子再代值计算是处理此类问题的主要方法.值得一提的是对式的变形，此处灵活运用了恒等式si Y a +c os2 a =1,从而将原式转化为齐次式.例 5 已知si na +8 s a =-，且O c a 肛 求 值：si na c osa ；(2)ta na .分析：(1)根据si n?a +c os2 a =1寻求si n a +c os a与si n a c os a的整体关系;(2)类比(1)的方法求si n a-c os a ,进而得si na、c osa ,最后求出ta na.&1 2 2 1解：(1)因为si na +c osa =一,所以si n a +c os a +2 si na c osa =一，5 2 5nl.1 2贝ij si n a c os a =-；2 51 2(2)因为 si na c osa =-0 ,且 0。0,c osa 0 .2 524 9 7又(si n a -c os a)=1 2 si n a c os c i r =,所以 si n a -c os a =y,&.4 3 b si n a 4故sm a =,c osa =，所以ta na =-=.5 5 c os a 3点评：本题围绕恒等式si n?a +c os?a =1考查了 si na +c osa ,si n c r-c os or及si na c osa之间的整体关系，其中对。角函数值符号的判断也值得关注.例6设已知si nac os。是方程一 一(石-1)%+加=0的两个根，求：(1)勿的值；si n2 0 c os2 0 人(2)-+-的值si n 0-c os 0 c os 夕 一 sm g分析：(1)利用韦达定理及同角的平方关系得到关于 的方程求解；(2)先化简再代入.行 有、.却 士 f si n0 +c os6=百 一1,解：(1)山已知，有si n 6 c os 6=第9 页 共 84页因为(sinO+cose)2=i+2sin。cos。，所 以(J J-l)=1+2加得加=?-2百,经检验符合；2 sin-+漏。=包生遗 =sin e+cos0=6-1.sin O-co s。co sO-sin。sin 0-cos 0点评：本题依然围绕恒等式sin2a+cos2a=l 考杳sin a+c o s a 与 s in a c o s a 的整体联系，但以韦达定理为背景，因此还要注意对判别式的检验；对于代数式求值问题，一般都是采取先化简后求值的方法.例 7求值(1)sin(-1320)cos 1110+cos(-780)sin 750+tan 495；小 c 2 19 2 10 笈 Z 7、(2)2 sin 7i+tun-tan(兀).4 3 4分析：诱导公式的运用.解：(1)原式=sin(-4 x 360+120)cos(3 x 3600+30)+cos(-3 x 360+300)sin(2 x 360+30)+tan(360+135)=sin 1200 cos 300+cos 300 sin 30+tan 135sin 600 cos 30+cos 60 sin 300-tan 45=x+l x l-l=0：2 2 2 23万 4万 7T(2)原式=2sin(4TT+tan-(24 H)tan(27r+-)c .2 3%2 4 1 712 s i n-F tan tan 4 3 4c .2 力 2 兀=2 sin +tan tan 4 3 4=2 x()2+(V 3)2xl=4.点评：本题属于灵活使用诱，导公式进行计算，首先将问题转化为求0 360之间角的三第 10页 共 84页角函数值，然后将问题转化成求0 90之间角的三角函数值，体现化归的数学思想.已知s in Z(2例8I 3,且2左左+a 2左）+,乃（攵G Z）,求sin（0 74）的值.分析：结合诱导公式和同角函数关系式加以解决.解：由sing a =；,有s in(|a)=；,所以sin15 _ a)=；，1 _3_即cosa=-,又因为2人 乃+)a 24)+5万(左 Z)由、及同角三角函数关系可得：sin a-V l-cos2 a_J3_所以 sin（。-74）=-sin（77r-cr）=一 sin（乃一 a）=一 sin ar回12 J百T点评：本题先考虑利用诱导公式对已知和所求进行化简，再用同角三角函数关系来沟通已知与所求.对于此类三角函数求值问题，也需要关注已知与所求之间的直接联系，例 如“已知cos(75+a)=；，且一 180 a -90,求cos(15-a)的值例9a,求值:.（15）（13）sin（亍乃+a J+3cosa-7乃 J.（20 7 22）sin 7 i-a -cos a-JC【7）I 7 J分析：注意对角a +包 的整体处理.7解：原式二sinsin-sin a +一 万-3cos a +乃 tan a +一 万 +3 _ I 7 J I 7 人 I 7 J=+3.(8)(8)J 8 A .a+TI 7)I 7 J I 7 J点评：化简时需要向已知条件看齐，运用整体思想.4.自我检测(1)已知角a的终边经过点P(4,-3),则2sina+cosa=(2)当a为第二象限角时，回 回 的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.sin a|cos a 第11页 共84页已知“a (乃,2乃)，ta n a=；,贝ij sin a+cos a的值是.(4)已知 sin a cos a =，且工 a 工，贝 II cos a-sin a 二8 4 2,-4 sin a-2 co sa(5)设 tana=2,求-；5 cos a +3 sin a的值.求值:sin(-等)；cos(-840u)；sin 3150-sin(-480)+cos(-330).1 3乃(7)已知 cos(乃-cr)=-,则 sin(+a)=.三、课后巩固练习A组31.已知点P(3,y)在角。的终边上，且满足y V 0,cos a =-,求tan a.2.若sin a tana )填空:(1)sin a sin 0 ；(2)cos a cos 3；(3)tan a tan 3.4 7 C6.已知sina=M，a(,；T),则tana 的值等于.7.化 简V l-2sin4cos4的结果是.8.己知：3sina=-c o s a,求下列各式的值：/八 2sin2+3cos2 a 小 .(1)；-；(2)1 +sin a cos a.sirr a+sinacosa9.若sina,co sa是方程2系-x-勿=0的两个根，求立的值.10.化 简:(1)sin2 a+sin2 p -sin2 crsin2 p 4-cos2 trcos2(3；第 12页 共 84页/、sin4 O c os2 0+sin2 c os4 0(2)A A*1-sin4。一 c os 0 7 1-2 sinl 0 c osl 0 sin 1 0 0 -7 1-sin21 0 1 1 .化简：sin2 6 2 +tan 5 4 0 tan 4 5 0 tan3 6 +sin2 2 8 0.1 2.设a是第二象限角，且J l-C O S2(乙二0),则4是第_ _ _ _象限角.2 V 2 24/3 5 、./4 6 、3 7 5 5 .1 3.求 tan(-71)sin(-r)c os7t tan-的值；6 3 6 61 4.化简：(1)J 1 一2 sin(万一a)c os(+a)(a是第三象限角)；1 +sin2 a+sin(2-a)-c os2(%-a)(w .2 sin(乃 +a)c os(万 一 a)+c os(乃 +a)1 5.若sin(a-T T)=2 c os(2-a),求值：-.3 c osQr-a)-sin(a)兀、7 7 r1 6.己知 c os(+a)=m(m|1),求c os(+a)的值.6 61 7 .已知 c os(7 5 0 +a)=为第三象限角，求c os(1 5 -a)+sin(a-1 5)的值.B组31 8 .已 知 角a的终边在直线y=j x上，贝i j 2 sin a+c os。的值是.1 9 .角a的终边在直线y=3 x上，且s i n a 0,若P(初，力是a角终边上一点，且：P 0|=(0为原点)，则加一=.2 0 .若角。为第二或第四象限角，则-7-a .+：二 c os.的值等于J l sin2 a c osa2 1 .已知|sin。.=-sin。，I c os。=c os 6,H.sin 0 c os 0 0 ,试判断 P(tan。，sin 6)在第 象限.2 2 .利用单位圆写出符合下列条件的角x：第 13页 共 84页(1)若 sinx ,，则 x e _.21?23.3 e(0,乃)且sin。，cos。是方程弘之一%-二 0 的两根，求sir?O+cos。，5tan 夕 +!，tan 夕-的值.tan 3 tan 024.若s in a ta n a 0,化简：2 cos3 0+sin?(2乃 一。)+sin(+6)-325.设.3=-2-,求人工)的值，2+2 cos(乃 +。)+cos(。)326.已知sinx+sin3(乃+x)=0,求 tanxd-的值.2tan(+x)27.若 f(s in x)=cos2x,则 f (cosl5)的值为.7 7 7 3-128.设 sin(+a)=-,cosr-a)=-，求加与 tan a 的 值.m+1 w+1C组29.已 知 角。的终边经过点尸(sirA g,co s-),且0W 0),则使/1(a)=一普的一个函数是31.若 f 5)=s i n g,则/U)A3)A5)f(7)f(9)f(ll)=19 1 132.已知 tan a+-=：,贝 lj tan2 a+-+2-=.tan a 4 s in。cos。tan a-33.(1)若sin6+sin2e=l,则cos2 夕 +cos 8=.(2)已知4 s in e c o s 6-5 s in e-5 c o s e-l=0,那么 sin，6+cos 0-34.已知 s in(a+)=1,求值：tan(2a+/)+tan 尸.35.(1)若 f (sinx)=sin3x,求/(c o s x)；(2)若 f(cosx)=cos(2009x),求 F(s in x).第14页 共84页乃 兀3 6.化简：(1)c os(-a)+c os(H a);4 43 7.(2)sin设/。）=4%+1+s i n 制 匚)I 4sin 7r x(x 0)、万一 a/g(x)=SEZ)c os%x(x )4求的值3 8.在三角形 A B C 中，若 sin(2%-4)=-夜 sin(%-8),V 3 c os(2 -A)=-V 2 c os(+B)求A A B C 的三个内角 A、B、C 的大小.3 9.已知 1 -c os a -c os/?+sin a c os/?=0,l +c os a -sin +sin a sin =0,求 sin a .4 0.若等式Qtan2 x-sin?x=tanxsinx成立,知识点 题号任意角三角函数值的定义三角函数值的符号诱导公式三角函数线的应用同角三角函数关系综合题四、.学习心得求X的集合.注意点注意分类讨论的思想方法注意分类讨论的思想方法熟练运用公式，体会化归思想注意三角函数线由方向确定数量的正负注意平方关系的灵活运用灵活运用同角关系和诱导公五、拓展视野三角学在我国的发展我国对三角知识的研究渊源较早.西汉末东汉初（约一世纪），我国古老的数学书籍 周髀算经一书里，记载着公元前7,8世纪人们如何计算地面一点到太阳距离的方法.当时人在周城（周成李所建的都城洛邑，就是现在河南洛阳），立 8尺高的竿，如图所示.某一天第 15页 共 84页正午测得竿影长是6尺，又在北方相距2 0 0 0 里的地方立同样高的竿子，测得它的影长为6尺 2寸.他就用相似三角形的原理求得周城到日下地的距离是迎 空 竺=6 0 0 0 (里)，太6 2-6 0阳距离地面的高是208。=8 o o o o 俚).然后根据勾股定理，求出测者到太阳的距离是6 2-6 01 0 0 0 0 0 里.据记载，周代的天文官员，利 用“重差术”测得太阳高远.三国时著名数学家刘徽，在古 人“重差术”的基础上，编 撰 了 海岛算经一书.春秋时代的 考工说一书，对“角”已有初步认识.用“倨句”表示角度的多少，其中直角叫做“矩唐朝开元六年(7 1 8 年)，在司天监任职的印度人瞿传悉达编译 开元占经 一百二卜卷,讲印度数学家阿利耶毗陀编制的三角函数表载于卷一零四 九执历中，这是传入我国的最早的三角函数表.明朝初年，西洋三角学传入我国.在 崇祯历书中载有 大测、测量全义等有关三角学书籍，1 6 3 1 年，瑞士人邓玉函(1 5 7 6 1 6 3 0)、德国人汤若望(1 5 9 1 1 6 6 6)与我国数学家徐光启共同编译 大测二卷，邓玉函在序言中说：“大测者，测三角形之法也.我国“三角学”一词，即由此而来.该书讲了三角函数的造表方法和正、余弦的关系，倍、半角的公式，以及正弦定理、余弦定理与正切定理.1 6 3 1 年，意大利人罗雅谷(1 5 9 3 1 6 3 8)撰写了另一部有关三角学的著作 测量全义十卷.卷七称：“每弧、每角有8种线，曰正弦，曰余弦，曰正切线，曰正割线，曰正矢，曰余切，曰余割，曰余矢.”这是我国三角八线名称的由来.测量全义中所介绍的三角学内容比 大测丰富全面，除正、余弦定理和正切定理外，还有同角的三角函数公式与积化和差公式等.此外，崇祯历书中还记载有 割圆八线 六卷，是一个每隔r 的五位三角函数表.其中包括正弦、正切、正割、余弦、余切、余割，另外的三角函数.中的正矢、余矢可有余弦、正弦推出.1 6 5 3 年，我国明末清初数学家薛凤柞著 三角算法一书，是我国数学家自己撰写的第一部三角学著作.书中所介绍的三角学知识，要 比 大测、测量全义的内容更详细、完备.其中平面三角学的许多定理(除余弦定理外)都首次用对数来计算.清初著名数学家梅文鼎(1 6 3 3 1 7 2 1)研究三角多年，对所传入的三角学知识进行了通俗易懂的解释，著 有 平三角举要五卷.其内容由浅入深，循序渐进，条理清晰，是当时及以后青年人学习三角学的主要教科书.第16页 共84页第17页 共8 4页第 2章 平面向量2.1 向量的概念及表示一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议向量的实际背景：物理中位移、速度、力和儿何中有向线段等了解结合具体背景学习向量概念、与物理中矢量进行比较，认识向量是既有大小又有方向的量.平面向量的基本概念和几何表示：向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等理解向量相等的含义理解二、预习指导1 .预习目标.(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等概念；(2)掌握向量的表示方法；(3)能在图形中辨认共线向量与相等向量，能用有向线段表示已知向量.2 .预习提纲(1)复习物理中位移、速度、力和几何中有向线段等概念，理解平面向量的含义.(2)阅读课本P 5 7-5 8,思考下列内容：向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.符号而表示以/为起点，6 为终点的向量.向量也可以用小写字母5,b ,5 等表示.向量的模：向量诟的大小称为向量的长度或向量的模，记作I 刀.向量的其他概念及表示方法.3 .典型例题(1)向量的有关概念例 1给出下列命题：若卜卜问，则4 =九 若口 同，则a兀 若a =B，则a 石;若 7否，则a =5；若卜卜0,则a=0；若 7 =坂，则忖=恸.其 中 正 确 命 题 的 序 号 是.分析：解答本题可借助于相等向量、共线向量的概念等基本知识逐一进行判断.解：山相等向量定义可知，若6 耳,则方，B的模相等，方向相同，故不正确，正确.同 恸知模的大小，而不能确定方向，故不正确.共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故正确，不正确.零向量与数字0 是两个不同的概念，零向量不等于数字0,故不正确.第18页 共84页所以答案为.点评：此类题目关键是理解、区分向量的有关概念，从向量的长度与方向两方面认识向量,可举特例选择.(2)共线向量与相等向量方向相同或相反的的非零向量为平行向量，零向量与任意向量平行.在图形中要能识别共线向量与相等向量.例 2如图.：是 的 中 位 线，/是 的 灰 边 上 的 中 线，以 4、B、C.D、E、F为端点的有向线段表示的向量中_A(D 与向量而共线的向量有哪几个？请分别写出这些向量；z(2)与向量而的模一定相等的向量有哪几个？请写出这些向量；/xfrX-BDC(3)写出与向量。E 相等的向量.分析：根据共线向量与相等向量的定义即可解决.解：(1)与8共线的向量有7 个，它们分别是C B,D B,F E,E F,B D,B C,D C；(2)与向量。尸的模一定相等的向量有5 个，它们分别是；(3)如图，D E C F=F A.(3)向量的应用例 3若 画 =|四 月 京=而，判断四边形/死9 的形状.分析：先 由 第=而得出四边形为平行四边形，再由。理=|而|得出结论.解：由 说=丽 知 历 1 C。且氏4=0所以四边形加以为平行四边形，又因为|而|=|而|,所以四边形4 此为菱形.点评：矶=而 隐 含 A 4 C